Bài tập đạo hàm cấp cao có lời giải tuyển chọn

Chia sẻ: Dương Thị Tố Như | Ngày: | 2 tài liệu

0
3.988
lượt xem
58
download
Xem 2 tài liệu khác
  Download Vui lòng tải xuống để xem file gốc
Bài tập đạo hàm cấp cao có lời giải tuyển chọn

Bài tập đạo hàm cấp cao có lời giải tuyển chọn
Mô tả bộ sưu tập

Cùng củng cố và luyện tập về chuyên đề đạo hàm cao cấp qua bộ sưu tập Bài tập đạo hàm cấp cao có lời giải này các bạn nhé. Bộ sưu tập gồm nhiều bài tập tính đạo hàm cấp cao, bài tập vận dụng công thức tính đạo hàm cấp cao,.. Tài liệu này có đáp án chi tiết kèm theo, dễ dàng cho các bạn học sinh kiểm tra lại phần giải bài tập của mình. Hy vọng, thông qua việc giải bài tập trong BST này, các bạn học sinh sẽ nhuần nhuyễn việc giải bài tập này tại lớp, các kỳ thi. Chúc các bạn ôn tập hiệu quả.

LIKE NẾU BẠN THÍCH BỘ SƯU TẬP
Bài tập đạo hàm cấp cao có lời giải tuyển chọn

Bài tập đạo hàm cấp cao có lời giải tuyển chọn
Tóm tắt nội dung

Mời quý thầy cô và các em cùng tham khảo đoạn trích Bài tập đạo hàm cấp cao có lời giải tuyển chọn được lấy từ bộ sưu tập cùng tên dưới đây:
 

Ta có thể tính đạo hàm của đạo hàm, có nghĩa là:
- Đạo hàm cấp 2 bằng cách đạo hàm của đạo hàm đầu tiên
- Đạo hàm cấp 3 bằng cách đạo hàm của đạo hàm cấp 2
Ví dụ 1: Cho phương trình
x5+3x3−2x+7
Hỏi đạo hàm cấp cao hơn của phương trình này là gì ?
Trả lời
Đạo hàm cấp 1:
dydx=y′=5x4+9x2−2
Bây giờ để tìm đạo hàm cấp 2, ta chỉ việc vi phân phương trình đạo hàm cấp 1:
d2ydx2=y′′=20x3+18x
Tiếp tục tìm đạo hàm cấp 3, cấp 4:
d3ydx3=y′′′=60x2+18
d4ydx4=y(4)=120x
Đạo hàm cấp 5 là:
y(5)=120
Đạo hàm cấp 6,7,8,.... đều có kết quả đạo hàm là 0 do đạo hàm của một hằng số bằng 0.
I. Ứng dụng: Gia tốc
Như ta đã biết gia tốc chính là tốc độ thay đổi của vận tốc
a=dvdt
Nhưng đồng thời vận tốc cũng chính là tốc độ thay đổi của độ dịch chuyển:
v=dsdt
Vì vậy đạo hàm cấp hai của độ dịch chuyển sẽ cho ta gia tốc
a=d2sdt2
Ví dụ 2: Cho phương trình chuyển động (tính theo m) theo thời gian t (tính theo s) của một vật thể là:
s=4t3+7t2−2t
Tính gia tốc vật thể tại t=10
Trả lời
s=4t3+7t2−2t
v=dsdt=12t2+14t−2
a=d2sdt2=24t+14
Tại thời điểm t=10 thì vật có gia tốc là:
a=24.(10)+14=254m/s2
II. Đạo hàm cấp cao của hàm ẩn :
Ví dụ 3:
a. Tìm đạo hàm cấp 2 của hàm ẩn
xy+y2=4
Trả lời
Đạo hàm cấp 1:
Ta có xy là tích nên ta dùng công thức tích để làm:
ddx(xy)=xy′+y
Ta đã nghiên cứu về vi phân hàm ẩn ở bài trước:
ddxy2=2ydydx
Ta có thể viết lại là:
ddxy2=2yy′
Ráp lại và ta đã có đạo hàm bậc 1 của phương trình:
xy′+y+2yy′=0
(Ở đây tôi sử dụng y′ thay cho dydx để thuận tiện hơn trong việc đọc và viết)
Tôi đã sử dụng công thức tích (cho tích xy) và công thức chuỗi cho y2
Đạo hàm cấp 2:
(xy′′+y′)+(y′)+[2yy′′+y′(2y′)]=0
Đơn giản hóa, ta được:
(x+2y)y′′+2y′+2(y′)2=0
Ta có thể giải theo y′′
y′′=−2y′−2(y′)2x+2y
Đây là một đoạn phim nhỏ cho ta góc nhìn khác về ví dụ này, trong phim sử dụng:
- Ký hiệu dydx
- Một cách tiếp cận khác với vấn đề (trong đoạn phim ta sẽ tìm biểu thức cho dydx trước, sau đó vi phân để tìm ra đạo hàm bậc hai). Kết quả sẽ cho ta một phương trình đạo hàm cấp 2 đơn giản hơn.
Câu trả lời khá khác, nhưng giá trị thì như nhau, xem tại đây
b. Tìm giá trị đạo hàm cấp 2 của hàm ẩn ở phần a với x=2 và y>0
Trả lời
Ta cần tìm y với x=2
Thay vào phương trình, ta được:
2y+y2=4
Giải phương trình bậc hai này, kết hợp điều kiện y>0, ta được:
y=−1+5√
Ta cũng cần tìm giá trị dydx khi x=2
Ta đã tìm phương trình đạo hàm đầu tiên là:
xdydx+y+2ydydx=0
Giải theo dydx, ta được:
y′=dydx=−yx+2y
Thay x=2,y=−1+5√ ta được kết quả (xấp xỉ):
y′=dydx≈−0,276
Tiếp tục thay vào phương trình đạo hàm bậc hai đã tìm ở phần (a) để tìm ra câu trả lời:
y′=−2y′−2(y′)2x+2y≈0,0894

 

Công thức tổng quát : f(n)(x)=[f(n−1)(x)]′
Phương pháp :
+ Tính đạo hàm cấp 1,2,3,... từ đó suy ra công thức tổng quát của đạo hàm cấp n.
+ Dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức tổng quát tren đúng.

Ví dụ 1. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y=cosx.
Lời giải :
Ta có : y′=−sinx=cos(x+π2)
y′′=(−sinx)′=−cosx=cos(x+π)
y′′′=sinx=cos(x+3π2)
...
Dự đoán : y(n)=cos(x+nπ2) với n€N.
Chứng minh công thức đúng bằng quy nạp :
Với n=1:y′=cos(x+π2)=−sinx => công thức đúng với n=1.
Giả sử công thức đúng với n=k:y(k)=cos(x+kπ2)
Ta sẽ chứng minh công thức đúng với n=k+1
nghĩa là y(k+1)=cos(x+(k+1)π2)
Thật vậy, áp dụng công thức tính đạo hàm cấp n ta được :
y(k+1)(x)=[y(k)(x)]′=[cos(x+kπ2)]′=−sin(x+kπ2)=cos(x+(k+1)π2).
Vậy y(k+1)=cos(x+(k+1)π2) luôn đúng.
Do đó : y(n)=cos(x+nπ2) với n€N.

Ví dụ 2. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y=1x+1.
Lời giải :
Ta có : y′=−1(x+1)2=−(x+1)−2
y′′=2(x+1)−3
y′′′=−2.3(x+1)−4
...
Dự đoán : y(n)=(−1)n.n!.(x+1)−(n+1)=(−1)n.n!(x+1)n+1 với n€N.
Chứng minh công thức đúng bằng quy nạp :
Với n=1:y′=−1(x+1)2=−(x+1)−2 => công thức đúng với n=1.
Giả sử công thức đúng với n=k:y(k)=(−1)k.k!.(x+1)−(k+1)=(−1)k.k!(x+1)k+1
Ta sẽ chứng minh công thức đúng với n=k+1
nghĩa là y(k+1)=(−1)k+1.(k+1)!.(x+1)−(k+2)=(−1)k+1.(k+1)!(x+1)k+2
Thật vậy, áp dụng công thức tính đạo hàm cấp n ta được :
y(k+1)(x)=[y(k)(x)]′=[(−1)k.k!.(x+1)−(k+1)]′=−(−1)k.k!(k+1)(x+1)−(k+1)−1
=(−1)k+1.(k+1)!.(x+1)−(k+2)=(−1)k+1.(k+1)!(x+1)k+2.
Vậy y(k+1)=(−1)k+1.(k+1)!.(x+1)−(k+2)=(−1)k+1.(k+1)!(x+1)k+2 luôn đúng.
Do đó : y(n)=(−1)n.n!.(x+1)−(n+1)=(−1)n.n!(x+1)n+1 với n∈N.

Ví dụ 3. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y=2x+1x2−4x+3.
Lời giải :
Phân tích : y=2x+1x2−4x+3=ax−1+bx−3.
=> 2x+1=(a+b)x−3a−b
Cân bằng hệ số hai vế ta được :
=> {a+b=2−3a−b=1⇔{a=−32b=72
=> y=2x+1x2−4x+3=−32.1x−1+72.bx−3
Đặt y1=1x−1 và y2=1x−3.
Tính đạo hàm cấp n của hàm số y1.
Ta có : y′1=−1(x−1)2=−(x−1)−2
y′′1=2(x−1)−3
y′′′1=−2.3(x−1)−4
...
Dự đoán : y(n)1=(−1)n.n!.(x−1)−(n+1)=(−1)n.n!(x−1)n+1 với n€N.
Chứng minh công thức đúng bằng quy nạp :
Với n=1:y′1=−1(x−1)2=−(x−1)−2⇒ công thức đúng với n=1.
Giả sử công thức đúng với n=k:y(k)1=(−1)k.k!.(x−1)−(k+1)=(−1)k.k!(x−1)k+1
Ta sẽ chứng minh công thức đúng với n=k+1
nghĩa là y(k+1)1=(−1)k+1.(k+1)!.(x−1)−(k+2)=(−1)k+1.(k+1)!(x−1)k+2
Thật vậy, áp dụng công thức tính đạo hàm cấp n ta được :
y(k+1)1(x)=[y(k)1(x)]′=[(−1)k.k!.(x−1)−(k+1)]′=−(−1)k.k!(k+1)(x−1)−(k+1)−1
=(−1)k+1.(k+1)!.(x−1)−(k+2)=(−1)k+1.(k+1)!(x−1)k+2.
Vậy y(k+1)1=(−1)k+1.(k+1)!.(x−1)−(k+2)=(−1)k+1.(k+1)!(x−1)k+2 luôn đúng.
Do đó : y(n)1=(−1)n.n!.(x−1)−(n+1)=(−1)n.n!(x−1)n+1 với n € N.
Tính tương tự như trên ta cũng được :
y(n)2=(−1)n.n!.(x−3)−(n+1)=(−1)n.n!(x−3)n+1
Vậy
y(n)=−32.y(n)1+72.y(n)2
y(n)=(−1)n.n!.[−32.1(x−1)n+1+72.1(x−3)n+1] 

Hãy tham khảo toàn bộ Bài tập đạo hàm cấp cao có lời giải tuyển chọn trong bộ sưu tập nhé!

Đồng bộ tài khoản