Bài tập giải phương trình nghiệm nguyên

Chia sẻ: Đinh Duy Tiến | Ngày: | 1 tài liệu

0
133
lượt xem
2
download
  Download Vui lòng tải xuống để xem file gốc
Bài tập giải phương trình nghiệm nguyên

Bài tập giải phương trình nghiệm nguyên
Mô tả bộ sưu tập

Để giúp các bạn học sinh ôn tập một cách dễ dàng hơn nhằm chuẩn bị kiến thức cho các kì thi, chúng tôi xin giới thiệu đến các bạn BST Bài tập giải phương trình nghiệm nguyên. Qua đây, các bạn sẽ hệ thống lại kiến thức phù hợp với mục tiêu học tập của mình. Chúc các bạn học tốt.

LIKE NẾU BẠN THÍCH BỘ SƯU TẬP
Bài tập giải phương trình nghiệm nguyên

Bài tập giải phương trình nghiệm nguyên
Tóm tắt nội dung

Bạn có thể tải miễn phí BST Bài tập giải phương trình nghiệm nguyên này về máy để tham khảo phục vụ việc giảng dạy hay học tập đạt hiệu quả hơn.

Bài 1:
Tìm các số nguyên tố x,y,z thỏa mãn :
xy+1=z
Hướng dẫn:
Vì x,y nguyên tố nên x,y≥2.
Từ phương trình đã cho ta suy ra z≥5 và z lẻ (do z nguyên tố). Vì z lẻ nên x chẵn hay x=2. Khi đó, z=1+2y.
Nếu y lẻ thì z chia hết cho 3 (loại). Vậy y=2.
Đáp số : x=y=2 và z=5.

Bài 2:
Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (n,z) thỏa mãn phương trình :
2n+122=z2–32
Hướng dẫn:
Nếu n lẻ thì 2n≡−1 (mod 3).
Từ phương trình đã cho ta suy ra z2≡−1 (mod 3), loại.
Nếu n chẵn thì n=2m(m∈N) và phương trình đã cho trở thành:
z2–22m=153 hay (z–2m)(z+2m)=153.
Cho z+2m và z–2m là các ước của 153 ta tìm được m=2,z=13.
Đáp số : n=4,z=13.

Bài 3:
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :
x+23√−−−−−−−√=y√+z√
Hướng dẫn:
Vì vai trò của x,y,z như nhau nên có thể giả sử y⩾z.
Từ phương trình đã cho ta suy ra x+23√=y+z+2yz−−√. Suy ra:
(x−y−z)2+43√(x−y−z)=4yz−12. (1)
Vì 3√ là số vô tỉ nên từ (1) ta suy ra :
x–y–z=4yz–12=0⇒yz=3⇒y=3,z=1 và x=y+z=4
Đáp số : phương trình có 2 nghiệm là (4; 3; 1) và (4; 1; 3)

Bài 4:
Tìm tất cả các số nguyên dương a,b,c đôi một khác nhau sao cho biểu thức :
A = 1a+1b+1c+1ab+1bc+1ca nhận giá trị nguyên dương.
Hướng dẫn:
Ta có: A.abc=ab+bc+ca+a+b+c (1)
Từ (1) ta CM được a,b,c cùng tính chẵn lẻ. Vì vau trò của a,b,c như nhau và a,b,c đôi một khác nhau nên có thể giả thiết a<b<c.
Nếu a⩾3thì b⩾5,c⩾7 và A<1, loại. Suy ra a=1 hoặc a=2
Nếu a=1 thì b⩾3,c⩾5 do đó 1<A<3 suy ra A=2. Thay a=1,A=2 ta được:
2(b+c)+1=bc hay (b–2)(c–2)=5. Từ đó ta được b=3,c=7. Trường hợp a=2 xét tương tự.
Đáp số : (2; 4; 14), (1; 3; 7) và các hoán vị của 2 bộ số này

Bài 5:
Tìm tất cả các bộ ba số tự nhiên không nhỏ hơn 1 sao cho tích của hai số bất kì cộng với 1 chia hết cho số còn lại
Hướng dẫn:
Giả sử ba số đã cho là a⩾b⩾c⩾1. Ta có
cab+1,abc+1,bac+1
Suy ra
abc(ab+1)(ac+1)(bc+1)
⇒ab+bc+ca+1⋮ abc
⇒ab+bc+ca+1=k.abc,k∈Z+. (1)
Vì ab+bc+ca+1⩽4abc nên k⩽4
Nếu k=4 thì a=b=c=1 (thỏa mãn)
Nếu k=3 thì từ (1) ta suy ra 3abc⩽4ab suy ra c⩽1
Do đó c=1⇒a=2,b=1
Trường hợp k=2,k=1 được xét tương tự như trường hợp k=3
Đáp số : (1;1;1),(2;1;1),(3;2;1),(7;3;2)

Bài 6:
Tìm ba số nguyên dương đôi một khác nhau x,y,z thỏa mãn :
x3+y3+z3=(x+y+z)2
Hướng dẫn:
Vì vai trò của x,y,z như nhau nên có thể giả sử x<y<z
Áp dụng bất đẳng thức
x3+y3+z33⩾(x+y+z3)3
∀x,y,z⩾0 ta suy ra x+y+z ⩽ 9
Dấu bằng không xảy ra vì x,y,z đôi một khác nhau
Vậy x+y+z ⩽ 8 (1)
Mặt khácx+y+z ⩾ 1 + 2 + 3 =6 (2)
Từ (1), (2) ta suy ra x ∈{6,7,8}
Từ đây kết hợp với phương trình ban đầu ta tìm được x,y,z
Đáp số : (1, 2, 3) và các hoán vị của bộ ba số này

Bài 7:
Tìm các số nguyên không âm x,y sao cho :
x2=y2+y+1−−−−√
Hướng dẫn:
Nếu y=0 thì x=1
Nếu y ⩾ 1 thì từ phương trình đã cho ta suy ra y<x<y+1, vô lí

Bài 8:
Tìm tất cả các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn
12x2+6xy+3y2=28(x+y)
Hướng dẫn:
Đáp số (x,y)=(0,0);(1,8);(−1,10)
Phương trình : 12x2+6xy+3y2=28(x+y)(∗)
Ta sẽ đánh giá miền giá trị của `x`:
Từ (*) suy ra:
x2=−3(x+y)2+28(x+y)=1423−3[(x+y)−143]2⩽1963⇒x2⩽7⇒x2∈{0,1,4}
 

Chúc quý thầy cô và các em học sinh có được nguồn tư liệu Bài tập giải phương trình nghiệm nguyên hay mà mình đang tìm.
Đồng bộ tài khoản