Các bài toán tích phân mặt

Chia sẻ: Nguyễn Thị Thanh Hằng | Ngày: | 1 tài liệu

0
190
lượt xem
6
download
  Download Vui lòng tải xuống để xem file gốc
Các bài toán tích phân mặt

Các bài toán tích phân mặt
Mô tả bộ sưu tập

Sau thời gian dài biên tập chỉnh sửa lại, hôm nay xin gửi tới thầy cô và các em học sinh BST Các bài toán tích phân mặt. Bộ tài liệu được eLib dày công biên soạn và đã được thử nghiệm kiểm tra, tuyển chọn, chỉnh sửa qua nhiều thế hệ học sinh. Hy vọng, BST này là tài liệu hữu ích dành cho các bạn học sinh. Chúc các bạn ôn tập hiệu quả.

LIKE NẾU BẠN THÍCH BỘ SƯU TẬP
Các bài toán tích phân mặt

Các bài toán tích phân mặt
Tóm tắt nội dung

Đây là một đoạn trích hay trong BST Các bài toán tích phân mặt. Mời quý thầy cô tham khảo:

1. Tích phân mặt loại 1
Giả sử mặt S, xác định bởi phương trình với D là hình chiếu của S lên mặt phẳng Oxy, D đóng hữu hạn. Giả sử là hàm liên tục xác định trên S.
Ta có công thức tính tích phân (chuyển từ tích phân mặt loại 1 sang tích phân kép)
Bài tập
Bài 1. Tính các tích phân sau:
a) trong đó S là mặt lập phương .
b) trong đó S là phần mặt Parabolit hypecbolic nằm trong mặt trụ .
c) , trong đó S là phần mặt phẳng x + y + z = 1 nằm trong góc phần tám thứ nhất.
d) ) trong đó S là nửa mặt cầu .
e) trong đó S là phần mặt nón nằm trong mặt trụ .

2. Tích phân mặt loại 2
a) Định nghĩa và cách tính
Giả sử S là một mặt hai phía trong không gian. Trên đó xác định các hàm P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z). Tích phân mặt loại 2:
(*)
Hay còn viết dưới dạng
(**)
Có 2 cách tính:
Cách 1: Đưa về tích phân mặt loại 1 bởi công thức (*) ở đó nếu S là mặt có phương trình z = z(x, y) thì tọa độ của véctơ pháp tuyến đơn vị là
Nếu ( , ) < thì là dấu “+”, nếu ( , ) > thì là dấu “- ’’
Cách 2: Ta có thể chia thành việc tính 3 tích phân sau
Sau đó tính .
*) Chẳng hạn tính
Khi đó trong đó dấu “+” khi véc tơ pháp tuyến tạo với chiều dương trục Oz ( chú ý tích phân tính theo hai biến dx, và dy “khuyết dz”) một góc nhọn, và dấu “-” nếu nó là góc tù.
*) Chẳng hạn tính
Khi đó trong đó dấu “+” khi véc tơ pháp tuyến tạo với chiều dương trục Ox ( chú ý tích phân tính theo hai biến dy, và dz “khuyết dx”) một góc nhọn và dấu “-” nếu góc đó là góc tù.
*) Chẳng hạn tính
Khi đó trong đó dấu “+” khi véc tơ pháp tuyến tạo với chiều dương trục Oy (chú ý tích phân tính theo hai biến dx, và dz “khuyết dy”) một góc nhọn và dấu “-” nếu góc đó là góc tù.
b) Công thức Stoke: Công thức này thiết lập mối quan hệ giữa tích phân đường lấy theo một phía xác định của mảnh mặt (S) giới hạn bởi chu tuyến đóng L với tích phân đường lấy theo chu tuyến đó.
Hướng dương của chu tuyến L được quy ước như sau: nếu một người quan trắc đứng trên phía được chọn của mặt (tức là hướng từ chân lên đầu trùng với hướng của véc tơ pháp tuyến ) thì khi người quan tắc di chuyển trên L theo hướng dương thì mặt luôn nằm phía bên trái đường đi.
Hình vẽ
Nếu các hàm P = P(x, y, z), Q = Q(x, y, z), và R = R(x,y,z) là những hàm khả vi liên tục, còn L là chu tuyến đóng giới hạn bởi mặt hai phía (S) thì ta có công thức Stoke:
c) Công thức Ostrogradski: liên hệ giữa tích phân mặt loại hai va tích phân bội ba.
Giả sử V là miền đóng, giới nội trong không gian có biên là mặt kín, trơn từng mảnh S. Nếu các hàm P = P(x, y, z), Q = Q(x, y, z), R = R(x,y,z) và các đạo hàm riêng liên tục trong miền đóng V. Ta có công thức Ostrogradski sau:
Bài tập
Bài 1. Tính các tích phân sau:
a) , S là phía trên của phần mặt phẳng x + z – 1 = 0 nằm giữa hai mặt phẳng y = 0, y = 4 và thuộc phần tám thứ nhất.
b) trong đó S là phía ngoài mặt nón
c) , S là phía dưới hình tròn
Bài 2. Tính các tích phân sau:
a) trong đó L là đường tròn và S là nửa trên của mặt cầu
b) trong đó S là phía ngoài mặt cầu
c) trong đó tích phân tính theo phía ngoài của mặt trụ giới hạn bởi . 

Quý thầy cô giáo và các em học sinh cùng tham khảo toàn bộ BST Các bài toán tích phân mặt bằng cách đăng nhập vào Website eLib.vn nhé!
Đồng bộ tài khoản