Giải bài tập 63,64,65,66,67,68,69,70 trang 87,88 sách giáo khoa Hình học 7 tập 2

Chia sẻ: Nguyễn Mai | Ngày: | 1

0
36
lượt xem
2
download
  Download Vui lòng tải xuống để xem file gốc
Giải bài tập 63,64,65,66,67,68,69,70 trang 87,88 sách giáo khoa Hình học 7 tập 2

Mô tả BST Giải bài tập SGK Hình học 7 tập 2: Ôn tập chương 3 - Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác, Các đường đồng quy của tam giác

Với mong muốn giúp các em học sinh dễ dàng và thuận tiện hơn trong việc hoàn thành các bài tập trong SGK, thư viện eLib xin gửi tới các em tài liệu hướng dẫn giải bài tập trang 87,88 SGK Hình học 7 tập 2: Ôn tập chương 3 - Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác, Các đường đồng quy của tam giác. Mời các em cùng tham khảo tài liệu để nắm bắt nội dung chi tiết hơn. 

LIKE NẾU BẠN THÍCH BỘ SƯU TẬP

Tóm tắt Giải bài tập 63,64,65,66,67,68,69,70 trang 87,88 sách giáo khoa Hình học 7 tập 2

A. Tóm tắt lý thuyết Ôn tập chương 3 - Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác, Các đường đồng quy của tam giác SGK Hình học 7 tập 2

I. Lý thuyết quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác
 

1. Định lý 1

Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn thi lớn hơn

2. Định lý 2

Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.

2. Nhận xét

- Trong tam giác ABC: AC > AB  <=>   > 

- Trong tam giác ABC cân: AB = AC <=>  =  

- Trong tam giác tù ( hoặc là tam giác vuông) cạnh đối diện với góc tù ( hoặc góc vuông là cạnh lớn nhất.

II. Lý thuyết quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chi

1.Khái niệm về đường vuông góc, đường xiên và hình chiếu của đường xiên

+ Đoạn AH gọi là đoạn vuông góc hay đường vuông góc

+ Đoạn AB gọi là đường xiên

+ Đoạn HB gọi là hình chiếu của đường xiên AB lên đường thẳng ra

2.Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

Định lý 1: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.

3. Quan hệ giữa các đường xiên và hình chiếu của chúng

Định lý 2: Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó;

a) Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn

b) Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn

c) Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau và ngược lại nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.

III. Lý thuyết quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác bất đẳng thức tam giác

1. Bất đẳng thức tam giác

Định lý. Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kỳ bao giờ cũng lớn hơn độ dài hai cạnh còn lại

GT : ∆ ABC

KL :  AB +AC > BC

       AB + BC >AC

       AC + BC > AB

2. Hệ quả của bất đẳng thức tam giác

Hệ quả: Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kỳ bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại

Nhận xét: Trong một tam giác, độ dài một cạnh bao giờ cũng lớn hơn tổng độ dài của hai cạnh còn lại

Trong tam giác ABC, với cạnh BC ta có:

AB – AC < BC < AB + AC

IV. Lý thuyết tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

1. Đường trung tuyến của tam giác

Đường trung tuyến của tam giác là đoạn thẳng có một đầu là đỉnh của tam giác đầu kia là trung điểm của cạnh đội diện với đỉnh đó.

Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến.

2. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Định lý: Ba đương trung tuyến của tam giác cùng đi qua  điểm. điểm đó cách đỉnh một khoảng bằng  độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Giao điểm của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm

GT : G là trọng tâm ∆ ABC

KL :  =  =  = 

V. Lý thuyết tính chất ba đường phân giác của một góc

1. Định lí 1 (thuận)

Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó

GT : M ε Oz là tia phân giác của ;

MA ⊥ Ox; MB ⊥ Oy

  KL: MA = MB

2. Định lý  2 (đảo)

Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên phân giác của góc đó.

GT : M ở miền trong ∆ABC

MA ⊥ Ox; MB ⊥ Oy

KL: OM là tia phân giác của ;

3. Nhận xét.

Tập hợp các điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc là tia phân giác của góc đó.

Tập hợp

VI. Lý thuyết tính chất ba đường phân giác của tam giác

1. Đường phân giác của tam giác

Trong tam giác ABC, tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại điểm M.

+ Đoạn thẳng AM được gọi là đường phân giác của tam giác ABC

+ Đường thẳng AM cũng được gọi là đường phân giác của tam giác ABC

+ Mỗi tam giác có ba đường phân giác.

Tính chất:

Trong một tam giác cân, đường phân giác xuất phát từ đỉnh đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy

2. Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Định lí: Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó.

GT : ∆ABC

       Hai phân giác BE, CF cắt nhau tại I

KL: AI là tia phân giác của góc A

     IH = IK = IL

VII. Lý thuyết tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng

 

1. Định nghĩa đường trung trực của một đoạn thẳng

Đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng gọi là đường trung trực của đoạn thẳng ấy

d là đường trung trực của đoạn thẳng AB

2. Định lí 1:

Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó

GT : d là trung trực  của AB

       M ∈ d

KL : MA = MB

Định lí 2:

Điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó

3. Nhận xét

Từ định lí thuận và đảo ta có:

Tập hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó.

VIII. Lý thuyết tính chất ba đường trung trực của tam giác

1. Đường trung trực của tam giác

Trong một tam giác, đường trung trực cảu một cạnh gọi là một đường trung trực của tam giác đó

Mỗi tam giác có ba đường trung trực

Định lí 1: 

Trong một tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh này.

GT: ∆ABC cân tại A

AM là đường trung trực của cạnh BC

KL: MB = MC

2. Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Định lí 2:

Ba đường trung trực của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó

GT: ∆ABC

      a là đường trung trực của BC

      b là đường trung trực của AC

      c là đường trrung trực của AB

      a, b, c cắt nhau tai O

KL: O nằm trên đường trung trực của BC

      OA = OB = OC

 


B. Ôn tập chương 3 - Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác, Các đường đồng quy của tam giác SGK Hình học 7 tập 2

Bài 63 trang 87 SGK Hình học 7 tập 2

Cho ∆ ABC với AC < AB.
Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BD = AB
Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE = AC.
Vẽ các đoạn thẳng AD, AE
a) Hãy so sánh góc ADC và góc AEB
b) Hãy so sánh các đoạn thẳng AD và AE

Hướng dẫn giải bài 63 trang 87 SGK Hình học 7 tập 2

a) Xét ∆ABC có AC < AB (gt)

∠B1 < ∠C1 (1) (Quan hệ cạnh – góc đối diện trong tam giác)

Xét ∆ABD có AB = BD (gt)

∆ABD cân ⇒∠A1 = ∠D1 (t/c tg cân)

Mà ∠B1 = ∠A1 + D (Góc ngoài tam giác)

⇒∠D = ∠A1 = ∠B1 /2 (2)

Chứng minh tương tự ta có: ∠E = ∠C1 /2 (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra: ∠ADC < ∠AEB

b) Xét ∆ADE có ∠D < ∠E (Chứng minh câu a)

⇒ AE < AD (Quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác)


Bài 64 trang 87 SGK Hình học 7 tập 2

Gọi MHH là đường cao của tam giác MNP. Chứng minh rằng: Nếu MN < MP thì HN < HP và góc ∠NMH < ∠PMH (Yêu cầu xét hai trường hợp: Khi góc N nhọn và khi góc N tù)

Hướng dẫn giải bài 64 trang 87 SGK Hình học 7 tập 2

a) Trường hợp góc N nhọn
MNP có đgx MN < đgx MP
nên hchiếu HN < hchiếu HP
MNP có MN < MP
nên (đl) (1)
MHN vuông tại H nên: (2)
MHP vuông tại H nên:
(3)
Từ (1,2,3) suy ra:

b) Trường hợp góc N tù
Vìtù nên đường cao MH nằm ngoài MNP
N nằm giữa H và P
HN

Vì N nằm giữa H và P
tia MN nằm giữa MH và MP.

⇒ PMN + NMH = PMH
⇒ NMH < PMH


Bài 65 trang 87 SGK Hình học 7 tập 2

Có thể vẽ được mấy tam giác (phân biệt) với ba cạnh nằm trong năm đoạn thẳng có độ dài như sau: 1cm, 2cm, 3cm, 4cm và 5cm.

Hướng dẫn giải bài 65 trang 87 SGK Hình học 7 tập 2

Để tạo được một tam giác thì độ dài ba cạnh phải thoả mãn bất đẳng thức tam giác đó là tổng độ dài hai cạnh bất kỳ phải lớn hơn cạnh còn lại.
Vì vậy chỉ có bộ ba độ dài sau thoả mãn (2,3,4); (2,4,5); (3,4,5).

Bài 66 trang 87 SGK Hình học 7 tập 2

Đố: Bốn điểm dân cư được xây dựng như hình 58. Hãy tìm vị trí đặt một nhà máy sao cho tổng các khoảng cách từ nhà máy đến bốn điểm dân cư này là nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải bài 66 trang 87 SGK Hình học 7 tập 2

Nhà máy sẽ xây dựng ở giữa trung tâm hình tròn trên hình vẽ thì tổng các khoảng cách từ nhà máy đến bốn điểm dân cư này là nhỏ nhất.

Bài 67 trang 87 SGK Hình học 7 tập 2

Cho tam giác MNP với đường trung tuyến MR và trọng tâm Q.
a) Tính tỷ số diện tích của 2 tam giác MPQ và RPQ.
b) Tính tỷ số diện tích của 2 tam giác MNP và RNQ.
c) So sánh các diện tích của 2 tam giác RPQ và RNQ.
Từ các kết quả trên hãy chứng minh tam giác QMN, QNP, QPM có cùng diện tích.
Gợi ý: Hai tam giác ở mỗi câu a, b, c có chung đường cao

Hướng dẫn giải bài 67 trang 87 SGK Hình học 7 tập 2

a) Vẽ PB ⊥ MR
Vậy tam giác MPQ và RPQ có chung đường cao PB
Vì Q là trọng tâm của ΔMNR nên MQ = 2QR
Ta có: SΔMPQ = 1/2MQ.PB = 1/2.2QR.pb = QR.PB
và SΔRPQ = 1/2 QR.PB

b) Vẽ NA ⊥ MR
Vậy NA là đường cao của ΔMNQ
đồng thời là đường cao của ΔRNQ
Vì Q là trọng tâm của ΔMNQ nên MQ = 2QR
Ta có: SΔMNQ = 1/2MQ.NA = 1/2.2QR.NA = QR.NA và SΔRNQ

= 1/2 QR.NA

c) Xét hai tam giác vuông ARN và BPR ta có:
RN = RP (gt)
∠NRA = ∠PRB (đối đỉnh)
⇒ ΔANR = ΔBPR ⇒ NA = PB
Ta có: SΔRPQ = 1/2 QR.PB = 1/2QR.NA = SΔRNQ
Vậy ΔRPQ = ΔRNQ
*Từ kết quả câu a ta có:

SΔMPQ = 2SΔPRQ = SΔQNP (do câu c) (1)

* Từ kết quả câu b ta có:
SΔMNQ = 2SΔRNQ = SΔQNP (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
SΔQMN = SΔQNP = SΔQPM (đpcm)

Bài 68 trang 88 SGK Hình học 7 tập 2

Cho góc xOy, hai điểm A,B lần lượt nằm trên Ox và Oy.
a) Hãy tìm điểm M cách đều hai cạnh của góc xOy và cách đều hai điểm A,B.
b) Nếu OA = OB thì có bao nhiêu điểm M thoả mãn yêu cầu ở câu a?

Hướng dẫn giải bài 68 trang 88 SGK Hình học 7 tập 2

a) 
Tìm M khi OA ≠ OB
– Vì M cách đều hai cạnh Ox, Oy của góc xOy nên M nằm trên đường phân giác Oz của góc xOy (1)
– Vì M cách đều hai điểm A,B nên M nằm trên đường trung trực của đoạn AB (2)
Từ (1) và 92) ta xác định được điểm M là giao điểm của đường phân giác Oz của góc xOy và đường trung trực của đoạn AB.
b)
Tìm M khi OA = OB
– Vì điểm M cách đều hai cạnh của góc xOy nên M nằm trên đường phân giác của góc xOy (3)
– Ta có OA = OB. Vậy ΔAOB cân tại O.
Trong tam giác cân OAB đường phân giác Oz cũng là đường trung trực của đoạn AB (4)
Từ (3) và (4) ta xác định được vô số điểm M nằm trên Oz thỏa mãn điều kiện bài toán.

Bài 69 trang 88 SGK Hình học 7 tập 2

Cho hai đường thẳng phân biệt không song song, không vuông góc với nhau là a và b, điểm M không nằm trên hai đường này. Qua M lần lượt vẽ đường thẳng c vuông góc với a tại P, cắt b tại Q và vẽ đường thẳng d vuông góc với b tại R, cắt a tại S.
Chứng minh rằng đường thẳng qua M vuông góc với SQ cũng đi qua giao điểm của a và b.

Hướng dẫn giải bài 69 trang 88 SGK Hình học 7 tập 2

Vì a và b không song song nên chúng cắt nhau giả sử tại A.

Xét tam giác AQS có: QP ⊥ AS vì QP ⊥ a.

SR ⊥ AQ vì SR ⊥ b.

Ta có QP và RS cắt nhau tại M
Vậy M là trực tâm của ΔAQS.
=> Đường thẳng đi qua M và vuông góc với QS tại H sẽ là đường cao thứ ba của ΔAQS.
Vậy MH phải đi qua đỉnh A của ΔAQS hay đường thẳng vuông góc với QS đi qua giao điểm của a và b (Điều phải chứng minh).

Bài 70 trang 88 SGK Hình học 7 tập 2

Cho A, B là hai điểm phân biệt và d là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
a) Ta ký hiệu PA là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d có chứa điểm A (không kể d). Gọi N là một điểm của PA và M là giao điểm của đường thẳng NB và d. Hãy so sánh NB với NM + MA. Từ đó suy ra NA < NB.
b) Ta ký hiệu PB là nửa mặt phẳng bờ d có chứa B (không kể d). Gọi N’ là một điểm của PB. Chứng minh rằng N’B < N’A.
c) Gọi L là một điểm sao cho LA < LB. Hỏi điểm L nằm ở đâu?

Hướng dẫn giải bài 70 trang 88 SGK Hình học 7 tập 2

a) So sánh NB với NM + MA
Ta có M nằm trên đường trung trực của AB nên MA = MB
Vì M nằm giữa đoạn NB nên:
NB = NM + MB
hay NB = NM + MA (vì MB = MA)
Vậy NB = NM + MA
Vì MA + NM = NB (trong đó NM > 0)
Suy ra MA < NB (đpcm)
b) Chứng minh N’B < N’A
Tương tự chứng minh câu a
Trong nửa mặt phẳng PB ta lấy điểm N’. Nối N’A cắt (d) tại P.
Vì P nằm trên đường trung trực của đoạn AB nên: PA = PB
Ta có: N’A = N’P + PA = N’P + PB
Trong ΔN’PB ta có: N’P + PB > N’B
Do đó: N’A > N’B (đpcm)
c) Theo chứng minh ở câu a muốn cho LA < LB thì điểm L phải nằm trên PA.  
Để tiện tham khảo, các em vui lòng đăng nhập tài khoản và tải tài liệu về máy. Ngoài ra, các em có thể xem cách giải của:

>> Bài tập trước: Giải bài tập 58,59,60,61,62 trang 83 sách giáo khoa Hình học 7 tập 2
Đồng bộ tài khoản