Toán 11 Chương 3 Bài 3: Cấp số cộng

Cấp số cộng là một dãy số có tính chất đặc biệt. Bài giảng này sẽ cung cấp cho các em khái niệm cấp số cộng và các dạng toán liên quan, cùng với những ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em dễ dàng làm chủ nội dung phần này.

Toán 11 Chương 3 Bài 3: Cấp số cộng

1. Tóm tắt lý thuyết

1.1. Định nghĩa

Dãy số (un) được xác định bởi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = a}\\{{u_{n + 1}} = {u_n} + d}\end{array}} \right.,{\rm{ }}n \in {N^*}\)  gọi là cấp số cộng; \(d\) gọi là công sai.

1.2. Các tính chất

  • Số hạng thứ n được cho bởi công thức: \({u_n} = {u_1} + (n - 1)d\).
  • Ba số hạng \({u_k},{u_{k + 1}},{u_{k + 2}}\) là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi \({u_{k + 1}} = \frac{1}{2}\left( {{u_k} + {u_{k + 2}}} \right)\).
  • Tổng \(n\) số hạng đầu tiên \({S_n}\) được xác định bởi công thức : \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = \frac{n}{2}\left( {{u_1} + {u_n}} \right) = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]\).

2. Bài tập minh họa

2.1. Bài tập 1

Tìm số hạng đầu và công sai của các cấp số cộng sau, biết:

a) \(\,\,\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} - {u_3} + {u_5} = 10\\
{u_1} + {u_6} = 17
\end{array} \right.\)

b) \(\,\,\left\{ \begin{array}{l}
{u_7} - {u_3} = 8\\
{u_2}.{u_7} = 75
\end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có : u3 = u1 + 2d ;

u5 = u1 + 4d ;

u6 = u1 + 5d

Theo đề bài ta có :

\(\begin{array}{l}\,\,\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} - {u_3} + {u_5} = 10\\
{u_1} + {u_6} = 17
\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} - \left( {{u_1} + 2d} \right) + {u_1} + 4d = 10\\
{u_1} + {u_1} + 5d = 17
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} + 2d = 10\\
2{u_1} + 5d = 17
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = 16\\
d = - 3
\end{array} \right.\\\end{array}\)

b) Ta có: u7 = u1 + 6d ; u3 = u1 + 2d ; u2 = u1 + d

Do đó theo đề bài ta có:

\(\begin{array}{l}\,\left\{ \begin{array}{l}
{u_7} - {u_3} = 8\\
{u_2}.{u_7} = 75
\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} + 6d - {u_1} - 2d = 8\\
\left( {{u_1} + d} \right)\left( {{u_1} + 6d} \right) = 75
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4d = 8\\
\left( {{u_1} + d} \right)\left( {{u_1} + 6d} \right) = 75
\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
d = 2\\
\left( {{u_1} + 2} \right)\left( {{u_1} + 12} \right) = 75
\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 2\\u_1^2 + 14{u_1} + 24 = 75\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 2\\u_1^2 + 14{u_1} - 51 = 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 2\\\left[ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_1} = - 17\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
d = 2\\
{u_1} = 3
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
d = 2\\
{u_1} = - 17
\end{array} \right.
\end{array} \right.\)

2.2. Bài tập 2

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = 1 - 7n.\)

a) Khảo sát tính tăng, giảm của dãy số

b) Chứng minh dãy số trên là cấp số cộng. Lập công thức truy hồi của dãy số

c) Tính tổng 100 số hạng đầu của dãy số.

Hướng dẫn giải

a) Xét hiệu \(H = {u_{n + 1}} - {u_n}\)\( = 1 - 7\left( {n + 1} \right) - \left( {1 - 7n} \right)\) \(=1-7n-7-1+7n =  - 7 < 0\)

Do đó \(u_{n+1} < u_n,\forall n\in N^*\)

Vậy dãy số giảm.

b) Do \({u_{n + 1}} - {u_n} =  - 7 \Rightarrow {u_{n + 1}} = {u_n} + \left( { - 7} \right)\) nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng với:

\({u_1} =1-7.1=  - 6;d =  - 7.\)

Công thức truy hồi là \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} =  - 6\\{u_{n + 1}} = {u_n} - 7\text{ với }n \ge 1\end{array} \right.\).

c) \({S_{100}} = \dfrac{{{u_1}\left( {2{u_1} + 99d} \right)}}{2}\) \( = \dfrac{{ - 6\left[ {2.\left( { - 6} \right) + 99.\left( { - 7} \right)} \right]}}{2} =  - 35250\)

3. Luyện tập

3.1. Bài tập tự luận

Câu 1: Tìm cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) biết

a) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} = 27\\u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 = 275\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = a\\u_1^2 + u_2^2 + ... + u_n^2 = {b^2}\end{array} \right.\).

Câu 2: Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau đây, dãy số nào là cấp số cộng ?

a) \({u_n} = 3n - 1\)

b) \({u_n} = {2^n} + 1\)

c) \({u_n} = {\left( {n + 1} \right)^2} - {n^2}\)

Câu 3: Tính số hạng đầu \({u_1}\) và công sai d của cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right),\) biết :

a) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 2{u_5} = 0\\{S_4} = 14\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_4} = 10\\{u_7} = 19\end{array} \right.\)

c) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_5} - {u_3} = 10\\{u_1} + {u_6} = 7\end{array} \right.\)

Câu 4: Tính số các số hạng của cấp số cộng \(\left( {{a_n}} \right),\) nếu \(\left\{ \begin{array}{l}{a_2} + {a_4} + ... + {a_{2n}} = 126\\{a_2} + {a_{2n}} = 42\end{array} \right.\).

3.2. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Xen vào giữa hai số 4 và 40 bốn số để được một cấp số cộng có công sai lớn hơn 3. Tìm tổng 4 số đó.

A. 88

B. 92

C. 128

D. 132

Câu 2: Người ta trồng 3003 cây theo hình tam giác như sau: Hàng thứ nhất có 1 cây. hàng thứ hai có hai cây, hàng thứ ba có ba cây,.... Vậy có tất cả bao nhiêu hàng?

A. 75

B. 76

C. 77

D. 78

Câu 3: Biết các số \(C_{n}^{1};C_{n}^{2};C_{n}^{3}\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với \(n>3\). Tìm n

A. n=5

B. n=7

C. n=9

D. n=11

Câu 4: Nếu các số 5+m;7+2m; 17+m theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì m bằng bao nhiêu?

A. m=2

B. m=3

C. m=4

D. m=5

Câu 5: Với giá trị nào của x và y thì các số \(-7;x;11;y\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng?

A. x=1; y=21

B. x=2; y=20

C. x=3; y=-19

D. x=4; y=18

3.3. Trắc nghiệm Online

Các em hãy luyện tập bài trắc nghiệm Cấp số cộng Toán 11 sau để nắm rõ thêm kiến thức bài học.

Trắc Nghiệm

4. Kết luận

Qua bài học này, các em nắm được một số nội dung chính như sau:

  • Nắm được khái niệm cấp số cộng
  • Nắm được một số tính chất cơ bản của ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng
  • Nắm được công thức số hạng tổng quát và công thức tính tổng n số hạng đầu tiên
Ngày:15/08/2020 Chia sẻ bởi:Xuân Quỳnh

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM