Toán 11 Chương 2 Bài 3: Nhị thức Niu-tơn

Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em khái niệm Nhị thức Niu-tơn cùng các dạng bài tập liên quan. Bên cạnh đó là những ví dụ minh họa có hướng dẫn giải sẽ giúp các em dễ dàng làm chủ nội dung bài học.

Toán 11 Chương 2 Bài 3: Nhị thức Niu-tơn

1. Tóm tắt lý thuyết

1.1. Công thức nhị thức Niu - Tơn

a) Công thức nhị thức Niu - Tơn:

Với \(a, b\) là những số thực tùy ý và với mọi số tự nhiên \(n ≥ 1\), ta có:

\({(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... +\)

\(C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}(1)\)

b) Quy ước:

Với \(a\) là số thực khác \(0\) và \(n\) là số tự nhiên khác \(0\), ta quy ước: \(a^0 = 1\); \(a^{-n}= {1 \over {{a^n}}}\).

c) Chú ý:

Với các điều kiện và quy ước ở trên, đồng thời thêm điều kiện \(a\) và \(b\) đều khác \(0\), có thể viết công thức (1) ở dạng sau đây:

\({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k} = \sum\limits_{k = 0}^n {{a^k}{b^{n - k}}} } \)

1.2. Tam giác Pa-xcan

a) Tam giác Pa-xcan là tam giác số ghi trong bảng (SGK)

b) Cấu tạo của tam giác Pa-xcan:

- Các số ở đầu và cuối hàng đều bằng \(1\).

- Xét hai số ở cột \(k\) và cột \(k + 1\), đồng thời cùng thuộc dòng \(n\), (\(k ≥ 0; n ≥1\)), ta có: tổng của hai số này bằng số đứng ở giao của cột \(k + 1\) và dòng \(n + 1\).

c) Tính chất của tam giác Pa-xcan:

Từ cấu tạo của tam giác Pa-xcan, có thể chứng minh được rằng:

- Giao của dòng \(n\) và cột \(k\) là \(C_n^k\)

- Các số của tam giác Pa-xcan thỏa mãn công thức Pa-xcan: \(C_n^k + C_n^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1}\)

- Các số ở dòng \(n\) là các hệ số trong khai triển của nhị thức \({(a + b)}^n\) (theo công thức nhị thức Niu - Tơn), với \(a, b\) là hai số thực tùy ý. Chẳng hạn, các số ở dòng \(4\) là các hệ số trong khai triển của \((a + b)^4\) (theo công thức nhị thức Niu - Tơn) dưới đây:

\({\left( {a{\rm{ }} + {\rm{ }}b} \right)^4} = {\rm{ }}{a^4} + {\rm{ }}4{a^3}b{\rm{ }} + {\rm{ }}6{a^2}{b^{2}} + {\rm{ }}4a{b^3}{\rm{ }} + {\rm{ }}{b^4}\). 

2. Bài tập minh họa

2.1. Bài tập 1

Khai triển biểu thức (a + b)4 thành tổng các đơn thức.

Hướng dẫn giải

(a + b)4 = (a + b)3(a + b)

= (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 )(a + b)

= a4 + 3a3b + 3a2b2 + ab3 + a3b + 3a2b2 + 3ab3 + b4

= a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

2.2. Bài tập 2

Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu - Tơn: \({\left( {a{\rm{ }} + {\rm{ }}2b} \right)^5}\)

Hướng dẫn giải

Theo dòng 5 của tam giác Pascal, ta có:

\({(a + 2b)^5} = {a^5} + 5{a^4}.2b + 10{a^3}.{(2b)^2} + 10{a^2}{(2b)^3}\)

\(+ 5a.{(2b)^4} + {(2b)^5}\)\(={a^5} + 10{a^4}b + 40{a^3}{b^2} + 80{a^2}{b^3} + 80a{b^4} + 32{b^5}\)

\(\begin{array}{l}
C2:{\left( {a + 2b} \right)^5}  \\
= C_5^0{a^5} + C_5^1{a^4}{\left( {2b} \right)^1} + C_5^2{a^3}{\left( {2b} \right)^2}\\
+ C_5^3{a^2}{\left( {2b} \right)^3} + C_5^4{a^1}{\left( {2b} \right)^4} + C_5^5{\left( {2b} \right)^5}\\
= {a^5} + 10{a^4}b + 40{a^3}{b^2} + 80{a^2}{b^3} + 80a{b^4} + 32{b^5}
\end{array}\)

2.3. Bài tập 3

Tìm hệ số của \(x^3\) trong khai triển của biểu thức: \({\left( {x + {2 \over {{x^2}}}} \right)^6}\).

Hướng dẫn giải

Số hạng tổng quát:

\(\begin{array}{l}
{T_{k + 1}} = C_6^k.{x^{6 - k}}.{\left( {\dfrac{2}{{{x^2}}}} \right)^k}\\ = C_6^k.{x^{6 - k}}.\dfrac{{{2^k}}}{{{{\left( {{x^2}} \right)}^k}}}\\
= C_6^k.{x^{6 - k}}.\dfrac{{{2^k}}}{{{x^{2k}}}}\\
= C_6^k{x^{6 - k - 2k}}{.2^k}\\
= C_6^k{.2^k}.{x^{6 - 3k}}
\end{array}\)

Số hạng chứa \(x^3\) ứng với \(6 - 3k = 3 \Leftrightarrow k = 1\)

Do đó hệ số của \(x^3\) trong khai triển của biểu thức đã cho là: \(C_6^1.2^1 = 2.6 = 12\)

3. Luyện tập

3.1. Bài tập tự luận

Câu 1: Tìm số hạng thứ năm trong khai triển \({\left( {x + \dfrac{2}{x}} \right)^{10}}\), mà trong khai triển đó số mũ của \(x\) giảm dần.

Câu 2: Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu - Tơn: \({\left( {a{\rm{ }} - {\rm{ }}\sqrt 2 } \right)^6}\)

Câu 3: Viết khai triển của \({\left( {1 + x} \right)^6}\)

a) Dùng ba số hạng đầu để tính gần đúng \(1,{01^6}\).

b) Dùng máy tính để kiểm tra kết quả trên

Câu 4: Trong khai triển \({\left( {1 + ax} \right)^n}\) ta có số hạng đầu là \(1\), số hạng thứ hai là \(24x\), số hạng thứ ba là \(252{x^2}\). Hãy tìm \(a\) và \(n\).

3.2. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Tìm hệ số của \(x^{4}\) trong khai triển \(P(x)=(1-x-3x^{3})^{n}\) với n là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức \(C_{n}^{n-2}+6n+5=A_{n+1}^{2}\)

A. 210

B. 840

C. 480

D. 270

Câu 2: Tìm hệ số của \(x^{10}\) trong khai triển \((1+x+x^{2}+x^{3})^{5}\)

A. 5

B. 50

C. 101

D. 105

Câu 3: Đa thức \(P(x)=32x^{5}-80x^{4}+80x^{3}-40x^{2}+10x-1\) là khai triển của nhị thức nào dưới đây?

A. \((1-2x)^{5}\)

B. \((1+2x)^{5}\)

C. \((2x-1)^{5}\)

D. \((x-1)^{5}\)

Câu 4: Số hạng không chứa x trong khai triển của \((x-\frac{1}{x^{3}})^{8}\) là:

A. -28

B. 28 

C. 56

D. -56

Câu 5: Hệ số của số hạng chứa \(x^{4}\) trong khai triển của \((x+\frac{2}{x^{2}})^{10}\) là:

A. 85

B. 108

C. 180

D. 95

3.3. Trắc nghiệm Online

Các em hãy luyện tập bài trắc nghiệm Nhị thức Niu-tơn Toán 11 sau để nắm rõ thêm kiến thức bài học.

Trắc Nghiệm

4. Kết luận

Qua bài học này, các em nắm được một số nội dung chính như sau:

  • Khai triển thành thạo nhị thức niutơn với n xỏc định.
  • Xác định số hạng thứ k trong khai triển của khai triển nhị thức Niu-tơn
  • Biết tính tổng nhờ công thức Niutơn.
  • Sử dụng thành thạo tam giác Pascal để triển khai nhị thức Niutơn.
Ngày:15/08/2020 Chia sẻ bởi:Thi

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM