Toán 11 Ôn tập chương 4: Giới hạn

Nội dung bài ôn tập chương Giới hạn sẽ giúp các em hệ thống hóa lại toàn bộ kiến thức đã được học ở Chương IV Đại số và Giải tích 11. Bên cạnh đó các em có thể đánh giá mức độ hiểu bài của mình thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm với những câu hỏi có mức độ khó từ cơ bản đến nâng cao

Toán 11 Ôn tập chương 4: Giới hạn

1. Tóm tắt lý thuyết

1.1. Giới hạn của dãy số

a) Các giới hạn đặc biệt

b) Tổng cấp số nhân lùi vô hạn

\(S = {u_1} + {u_1}q + {u_1}{q^2} + ... + {u_1}{q^{n - 1}} + ... = \dfrac{{{u_1}}}{{1 - q}}\left( {\left| q \right| < 1} \right)\)

c) Định lý kẹp

Nếu \(\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}\) và \(\lim {v_n} = 0\) thì \(\lim {u_n} = 0\)

1.2. Giới hạn hàm số

a) Giới hạn đặc biệt

  • \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x = {x_0}\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} c = c,\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } c = c\) (\(c\) là hằng số)
  • \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^k} = + \infty ,\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^k} =  + \infty \) nếu \(k\) chẵn và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^k} =  - \infty \) nếu \(k\) lẻ.
  • \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \dfrac{c}{{{x^k}}} = 0\)
  • \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{1}{x} =- \infty ; \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{1}{x} =  + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{1}{{\left| x \right|}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{1}{{\left| x \right|}} =  + \infty \)

Giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số cũng tương tự với giới hạn dãy số.

b) Giới hạn một bên

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = L\)

1.3. Hàm số liên tục

a) Hàm số liên tục

- Tại một điểm \({x_0}\) \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).

- Trong một khoảng: liên tục tại mọi điểm trong khoảng.

- Trong một đoạn \(\left[ {a;b} \right]\): liên tục trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = f\left( a \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x \right) = f\left( b \right)\).

b) Tính chất có nghiệm của phương trình

- Nếu \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\) thì tồn tại ít nhất một số \(c \in \left( {a;b} \right)\) sao cho \(f\left( c \right) = 0\) hay phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm.

- Nếu \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\), đặt \(m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right),M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\). Khi đó với mọi \(T \in \left( {m;M} \right)\) luôn tồn tại ít nhất một số \(c \in \left( {a;b} \right)\) sao cho \(f\left( c \right) = T\).

2. Bài tập minh hoạ

2.1. Bài tập 1

Cho hai dãy số \((u_n)\) và \((v_n)\). Biết \(|u_n– 2| ≤ v_n\) với mọi \(n\) và \(\lim v_n=0\). Có kết luận gì về giới hạn của dãy số \((u_n)\)?

Hướng dẫn giải

Vì \(\lim v_n=0\) nên \(|{v_n}| \) nhỏ hơn một số dương \(\varepsilon\) bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Nghĩa là \(|{v_n}| < \varepsilon \) kể từ một số hạng nào đó trở đi.

⇒ \(|{u_n}-2| \le {v_n} \le |{v_n}| < \varepsilon \) hay \(|{u_n}-2| < \varepsilon \) bé tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi.

⇒ \(\lim ({u_n}-2) = 0\) (theo định nghĩa dãy số có giới hạn 0)

⇒ \(\lim {u_n} = 2\).

2.2. Bài tập 2

Tính các giới hạn sau

a) \(\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{x + 3} \over {{x^2} + x + 4}}\)

b) \(\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 3} {{{x^2} + 5x + 6} \over {{x^2} + 3x}}\)

c) \(\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} {{2x - 5} \over {x - 4}}\)

Hướng dẫn giải

a) \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{x + 3} \over {{x^2} + x + 4}} = {{2 + 3} \over {{2^2} + 2 + 4}} = {1 \over 2}\)

b)

\(\eqalign{& \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} {{{x^2} + 5x + 6} \over {{x^2} + 3x}}\cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} {{(x + 2)(x + 3)} \over {x(x + 3)}} \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} {{x + 2} \over x} \cr & = {{ - 3 + 2} \over { - 3}} = {1 \over 3} \cr} \)

c) \(\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} {{2x - 5} \over {x - 4}}\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} (2x - 5) =2.4-5= 3 > 0\)

và \(\left\{ \matrix{x - 4 < 0,\forall x < 4 \hfill \cr \mathop {\lim }\limits_{x \to  4^-} (x - 4) = 0 \hfill \cr} \right.\)

\(\displaystyle\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} {{2x - 5} \over {x - 4}} =  - \infty \)

2.3. Bài tập 3

Cho hai hàm số \(f(x) = {{1 - {x^2}} \over {{x^2}}}\) và \(g(x) = {{{x^3} + {x^2} + 1} \over {{x^2}}}\)

Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x);\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g(x);\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x);\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } g(x)\)

Hướng dẫn giải

+)  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{1 - {x^2}} \over {{x^2}}} =  + \infty \)

Vì: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (1 - {x^2}) = 1 > 0,\)

     \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x^2} = 0;{x^2} > 0,\forall x \ne 0\)

+)  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{{x^3} + {x^2} + 1} \over {{x^2}}} =  + \infty \)

Vì: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} ({x^3} + {x^2} + 1) = 1 > 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x^2} = 0,{x^2} > 0,\) \(\forall x \ne 0\)

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{1 - {x^2}} \over {{x^2}}} \cr 
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{{x^2}({1 \over {{x^2}}} - 1)} \over {{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } ({1 \over {{x^2}}} - 1) = - 1 \cr} \) 

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{{x^3} + {x^2} + 1} \over {{x^2}}} \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{{x^3}(1 + {1 \over x} + {1 \over {{x^3}}})} \over {{x^3}({1 \over x})}} \cr 
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{1 + {1 \over x} + {1 \over {{x^3}}}} \over {{1 \over x}}} = + \infty \cr} \)

3. Luyện tập

3.1. Bài tập tự luận

Câu 1: Tính các giới hạn sau

a) \(\lim {{{{\left( { - 3} \right)}^n} + {{2.5}^n}} \over {1 - {5^n}}}\)

b) \(\displaystyle \lim {{1 + 2 + 3 + ... + n} \over {{n^2} + n + 1}}\)

c) \(\lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n + 1}  - \sqrt {{n^2} + n - 1} } \right)\)

Câu 2: Tìm giới hạn của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với

a) \({u_n} = {{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {{n^2} + 1}}\)

b) \({u_n} = {{{2^n} - n} \over {{3^n} + 1}}\)

Câu 3: Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn \(2,131131131…\) (chu kì \(131\)) dưới dạng phân số.

Câu 4: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi

\(\left\{ \matrix{
{u_1} = 1 \hfill \cr 
{u_{n + 1}} = {{2{u_n} + 3} \over {{u_n} + 2}}\,\,{\rm{ với }}\,\,n \ge 1 \hfill \cr} \right.\)

a) Chứng minh rằng \({u_n} > 0\) với mọi n.

b) Biết \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.

3.2. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: \(\underset{x \to -2}{lim}\frac{x^{3}+x^{2}}{x^{2}-x+1}\) bằng:

A. \(+\infty\)

B. \(\frac{12}{9}\)

C. \(\frac{-4}{3}\)

D. \(\frac{-4}{7}\)

Câu 2: \(\underset{x \to -1}{lim}\left | 4x^{3}-3x-4 \right |\) bằng: 

A. 3

B. 5

C. 11

D. -5

Câu 3: \(\underset{x \to 1^{-}}{lim}\frac{2x+1}{x-1}\) bằng:  

A. \(\frac{-1}{2}\)

B. \(\frac{1}{2}\)

C. \(+\infty\)

D. \(-\infty\)

Câu 4: Cho hàm số \(\begin{cases}x^{2}-3x+1 & \text{ với } x<2 \\ 2x+3 & \text{ với } x\geq 2 \end{cases}\)

Khi đó: \(\underset{x \to 2^{-}}{lim}f(x)\) bằng

A. -2

B. 7

C. -1

D. 11

Câu 5: \(\underset{x \to 1}{lim}\frac{2x^{2}-3x+1}{2-2x^{2}}\) bằng:

A. \(\frac{1}{2}\)

B. \(\frac{1}{4}\)

C. \(\frac{-1}{4}\)

D. \(\frac{-1}{2}\)

3.3. Trắc nghiệm Online

Các em hãy luyện tập bài trắc nghiệm Ôn tập chương 4: Giới hạn Toán 11 sau để nắm rõ thêm kiến thức bài học.

Trắc Nghiệm

4. Kết luận

Qua bài học này, các em nắm được một số nội dung chính như sau:

  • Các định lí và các dạng toán giới hạn dãy số và giới hạn hàm số
  • Định nghĩa và các định lí của tính liên tục hàm số, các dạng toán của hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng và một đoạn.
  • Phương pháp chứng minh phương trình tồn tại nghiệm trên một khoảng, trên R
Ngày:15/08/2020 Chia sẻ bởi:Xuân Quỳnh

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM