Phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

Chia sẻ: Trần Phan Bảo Anh | Ngày: | 4 tài liệu

0
288
lượt xem
12
download
Xem 4 tài liệu khác
  Download Vui lòng tải xuống để xem file gốc
Phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

Mô tả BST Phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

Làm thế nào để tăng cường kiến thức và kỹ năng học tập môn Toán? Thư viện ELib gợi ý bộ sưu tập Phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên như một tài liệu tham khảo giúp ích cho quá trình học và ôn thi của bạn. Hi vọng, với đa dạng các bài tập trong bộ sưu tập này sẽ giúp các bạn ôn tập thật hiệu quả.

LIKE NẾU BẠN THÍCH BỘ SƯU TẬP

Tóm tắt Phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

Đây là một đoạn trích hay trong BST Phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên. Mời quý thầy cô tham khảo:

PHƯƠNG PHÁP 1: XÉT SỐ DƯ CỦA TỪNG VẾ
Ví dụ 1:
Chứng minh các phương trình sau không có nghiệm nguyên:
a) x2−y2=1998
b) x2+y2=1999
Giải:
a) Dễ chứng minh x2,y2 chia cho 4 chỉ có số dư 0 hoặc 1 nên x2−y2 chia cho 4 có số dư 0, 1, 3. Còn vế phải 1998 chia cho 4 dư 2
Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên.
b) x2,y2 chia cho 4 có số dư 0, 1 nên x2+y2 chia cho 4 có các số dư 0, 1, 2. Còn vế phải 1999 chia cho 4 dư 3.
Vậy phương trình không có nghiệm nguyên.

Ví dụ 2:
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình
9x+2=y2+y
Giải:
Biến đổi phương trình: 9x+2=y(y+1)
Ta thấy vế trái của phương trình là số chia hết cho 3 dư 2 nên y(y+1) chia cho 3 dư 2.
Chỉ có thể: y=3k+1, y+1=3k+2 với k nguyên
Khi đó: 9x+2=(3k+1)(3k+2)
⇔9x=9k(k+1)
⇔x=k(k+1)
Thử lại, x=k(k+1), y=3k+1 thỏa mãn phương trình đã cho.
Đáp số {=k(k+1)y=3k+1 với k là số nguyên tùy ý

PHƯƠNG PHÁP 2. ĐƯA VỀ DẠNG TỔNG
Phương pháp:
Biến đổi phương trình về dạng: vế trái là tổng của các bình phương, vế phải là tổng của các số chính phương.

Ví dụ 3:
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
x2+y2−x−y=8 (1)
Giải:
(1)⇔4x2+4y2−4x−4y=32
(4x2+4x+1)+(4y2−4y+1)=34⇔|2x−1|2+|2y−1|2=32+52
Bằng phương pháp thử chọn ta thấy 34 chì có duy nhất một dạng phân tích thành tồng của hai số chính phương 32,52. Do đó phương trình thỏa mãn chỉ trong hai khả năng:
⎧⎩⎨2x−1|=3|2y−1|=5 hoặc ⎧⎩⎨2x−1|=5|2y−1|=3
Giải các hệ trên ⇒phương trình (1) có bốn nghiệm nguyên là: (2 ; 3), (3 ; 2), (−1 ; −2), (−2 ; −1)

PHƯƠNG PHÁP 3: DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC
Phương pháp:
Trong khi giải các phương trình nghiệm nguyên rất cần đánh giá các miền giá trị của các biến, nếu số giá trị mà biến số có thể nhận không nhiều có thể dùng phương pháp thử trực tiếp để kiểm tra. Để đánh giá được miền giá trị của biến số cần vận dụng linh hoạt các tính chất chia hết, đồng dư, bất đẳng thức …

1. Phương pháp sắp thứ tự các ẩn
Ví dụ 4:
Tìm ba số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng
Giải:
Cách 1: Gọi các số nguyên dương phải tìm là x,y,z. Ta có:
x+y+z=x.y.z (1)
Chú ý rằng các ẩn x,y,z có vai trò bình đẳng trong phương trình nên có thể sắp xếp thứ tự giá trị của các ẩn, chẳng hạn: 1⩽x⩽y⩽z
Do đó: xyz=x+y+z⩽3z
Chia hai vế của bất đảng thức xyz⩽3z cho số dương z ta được: xy⩽3
Do đó xy∈{1;2;3}
Với xy=1, ta có x=1,y=1. Thay vào (1) được 2+z=z (loại)
Với xy=2, ta có x=1,y=2. Thay vào (1) được z=3
Với xy=3, ta có x=1,y=3. Thay vào (1) được z=2 loại vì y⩽z
Vậy ba số phải tìm là 1; 2; 3.
Cách 2: Chia hai vế của (1) cho xyz≠0 được:
1yz+1xz+1xy=1
Giả sử x⩾y⩾z⩾1 ta có
1=1yz+1xz+1xy⩽1z2+1z2+1z2=3z2
Suy ra 1⩽3z2 do đó z2⩽3 nên z = 1. Thay z = 1 vào (1):
x+y+1=xy
⇔xy−x−y=1
⇔x(y−1)−(y−1)=2
⇔(x−1)(y−1)=2
Ta có x−1⩾y−1⩾0 nên (x−1,y−1)=(2,1)
Suy ra (x,y)=(3,2)
Ba số phải tìm là 1; 2; 3

Ví dụ 5:
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau :
5(x+y+z+t)+10=2xyzt.
Giải:
Vì vai trò của x,y,z,t như nhau nên có thể giả thiết
x ≥ y ≥ z ≥ t.
Khi đó : 2xyzt = 5(x + y + z + t) +10 ≤ 20x + 10
⇒yzt⩽15⇒t3⩽15⇒t⩽2
Với t = 1 ta có : 2xyz = 5(x + y + z) +15 ≤ 15x + 15
⇒2yz⩽30⇒2z2⩽30⇒z⩽3
Nếu z = 1 thì 2xy = 5(x + y) + 20 hay 4xy = 10(x + y) + 40 hay
(2x – 5)(2y – 5) = 65 .
Dễ thấy rằng phương trình này có nghiệm là
(x = 35; y = 3) và (x = 9; y = 5).
Giải tương tự cho các trường còn lại và trường hợp t=2.
Cuối cùng ta tìm được nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho là (x;y;z;t)=(35;3;1;1);(9;5;1;1) và các hoán vị của các bộ số này.

 

Để xem đầy đủ tài liệu này, quý thầy cô và các em học sinh vui lòng download bộ sưu tập Phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên và xem thêm các tài liệu khác. Chúc quý thầy cô giáo giảng dạy hay, các em học tập tốt.
Đồng bộ tài khoản