Toán 12 Chương 1 Bài 2: Cực trị của hàm số

Nội dung bài học sẽ giúp các em nắm được hai khái niệm quan trọng là cực đại và cực tiểu, cùng với đó là điều kiện cần và điều kiện đủ để hàm số có cực trị. Bên cạnh đó là các ví dụ minh họa sẽ giúp các em hình thành các kĩ năng giải bài tập liên quan đến cực trị của hàm số.

Toán 12 Chương 1 Bài 2: Cực trị của hàm số

1. Tóm tắt lý thuyết

1.1. Định nghĩa 

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a ; b) và điểm x∈ (a ; b).

  • Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x0), ∀x ∈ (x- h ; x+ h), x \(\neq\) xthì ta nói hàm số f đạt cực đại tại x.
  • Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x0), ∀x ∈ (x- h ; x+ h), x \(\neq\) xthì ta nói hàm số f đạt cực tiểu tại x.

1.2. Định lí 1

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x- h ; x+ h) (h > 0) và có đạo hàm trên K hoặc trên K \(\setminus\){ x}.

  • Nếu \(\left\{ \matrix{f'\left( x \right) > 0|\forall \left( {{x_0} - h;\,\,{x_0}} \right) \hfill \cr f'\left( x \right) < 0|\forall \left( {{x_0};\,\,{x_0} + h} \right) \hfill \cr} \right.\) thì x0 là điểm cực đại của hàm số
  • Nếu \(\left\{ \matrix{f'\left( x \right) < 0|\forall \left( {{x_0} - h;\,\,{x_0}} \right) \hfill \cr f'\left( x \right) > 0|\forall \left( {{x_0};\,\,{x_0} + h} \right) \hfill \cr} \right.\) thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số 

1.3. Định lí 2

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng K = (x- h ; x+ h) (h > 0).

  • Nếu f '(x0) = 0, f ''(x0) > 0 thì xlà điểm cực tiểu của hàm số f.
  • Nếu f '(x0) = 0, f ''(x0) < 0 thì xlà điểm cực đại của hàm số f.

1.4. Quy tắc tìm cực trị

Quy tắc 1

  • Tìm tập xác định.
  • Tính f '(x). Tìm các điểm tại đó f '(x) bằng 0 hoặc f '(x) không xác định.
  • Lập bảng biến thiên.
  • Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Quy tắc 2

  • Tìm tập xác định.
  • Tính f '(x). Tìm các nghiệm \(x_{i}\) của phương trình f '(x)=0.
  • Tính f ''(x) và f ''(\(x_{i}\)) suy ra tính chất cực trị của các điểm \(x_{i}\).

(Chú ý: nếu f ''(\(x_{i}\))=0 thì ta phải dùng quy tắc 1 để xét cực trị tại \(x_{i}\)).

2. Bài tập minh hoạ

2.1. Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số

Tìm các điểm cực đại, cực tiểu của các hàm số sau: \(y = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} - 3x + \frac{4}{3}\)

Hướng dẫn giải

Xét hàm số: \(y = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} - 3x + \frac{4}{3}\)

Cách 1

Hàm số có TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)

\(y' = {x^2} - 2x - 3\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 3 \end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Kết luận

Hàm số đạt cực đại tại \(x=-1\), giá trị cực đại tương ứng là \(y(-1)=3\);

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=3\), giá trị cực tiểu tương ứng là \(y_{CD}=-\frac{23}{3}\)

Cách 2

Hàm số có TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)

\(y' = {x^2} - 2x - 3\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 3 \end{array} \right.\)

\(y ''= 2x - 2\)

 \(y''\left( { - 1} \right) = - 4 < 0\) suy ra hàm số đạt cực đại tại \(x=-1\), giá trị cực đại tương ứng là \(y(-1)=3\).

​\(y''\left( 3 \right) = 4 > 0\) suy ra hàm số đạt cực tiểu tại \(x=3\), giá trị cực tiểu tương ứng là \(y_{CD}=-\frac{23}{3}\).

2.2. Dạng 2: Tìm tham số để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước

Tìm m để hàm số \(y = \left( {m + 2} \right){x^3} + 3{x^2} + mx - 5\) có 2 cực trị

Hướng dẫn giải

Với m=-2 hàm số trở thành \(y = 3{x^2} - 2x - 5\) không thể có hai cực trị. (1)

Với \(m\ne-2\) ta có: \(y' = 3\left( {m + 2} \right){x^2} + 6x + m\)

Hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi phương trình \(y'=0\) có hai nghiệm phân biệt.

Điều này xảy ra khi: \(\Delta ' = - 3\left( {{m^2} + 2m - 3} \right) > 0 \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 3 < 0 \Leftrightarrow - 3 < m < 1.\) (2)

Từ (1) (2) suy ra hàm số có hai cực trị khi: \(m \in \left( { - 3; - 2} \right) \cup \left( { - 2;1} \right)\)

3. Luyện tập

3.1. Bài tập tự luận

Câu 1: Tìm cực trị của các hàm số sau

a) \(y =  - 2{x^2} + 7x - 5\)

b) \(y = {x^3} - 3{x^2} - 24x + 7\)

c) \(y = {x^4} - 5{x^2} + 4\)            

d) \(y = {(x + 1)^3}(5 - x)\)

Câu 2: Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) \(y = {{x + 1} \over {{x^2} + 8}}\)

b) \(y = {{{x^2} - 2x + 3} \over {x - 1}}\)

c) \(y = {{{x^2} + x - 5} \over {x + 1}}\)

Câu 3: Tìm cực trị của các hàm số sau

a) \(y = {x \over {\sqrt {10 - {x^2}} }}\)

b) \(y = {{{x^3}} \over {\sqrt {{x^2} - 6} }}\)

Câu 4: Tìm cực trị của các hàm số sau

a) \(y = \sin 2x\)

b) \(y = \cos x - \sin x\)

c) \(y = {\sin ^2}x\)

Câu 5: Xác định giá trị của m để hàm số sau có cực trị: \(y = {x^3} + 2m{x^2} + mx - 1\)

3.2. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho hàm số f(x) có đạo hàm là \(f'\left( x \right) = {x^4}\left( {x - 1} \right){\left( {2 - x} \right)^3}{\left( {x - 4} \right)^2}\). Hỏi hàm số \(f(x)\) có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

Câu 2: Gọi A và B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 1.\) Tính độ dài AB.

A. \(AB = 2\sqrt 2\)

B. \(AB = 4\sqrt 2\)

C. \(AB = \sqrt 2\)

D. \(AB = \frac{\sqrt 2}{2}\)

Câu 3: Biết \(M\left( {0;5} \right),N\left( {2; - 11} \right)\)  là các điểm cực trị của đồ thị hàm số \(f(x)= a{x^3} + b{x^2} + cx + d\). Tính giá trị của hàm số tại x=2.

A. f(2) = 1

B. f(2) = -3

C. f(2) = -7

D. f(2) = -11

Câu 4: Hàm số \(y = {x^4} - 5{x^2} + 4\) có mấy điểm cực đại?

A. \(0\)                            B. \(2\)

C. \(3\)                            D. \(1\)

Câu 5: Xác định giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + mx - 5\) có cực trị:

A. \(m = 3\)             B. \(m \in \left[ {3; + \infty } \right)\)

C. \(m < 3\)             D. \(m > 3\)

3.3. Trắc nghiệm Online

Các em hãy luyện tập bài trắc nghiệm Cực trị của hàm số Toán 12 sau để nắm rõ thêm kiến thức bài học.

Trắc Nghiệm

4. Kết luận

Qua bài học này giúp các em nắm được

  • Biết các khái niệm cực đại, cực tiểu.
  • Biết phân biệt các khái niệm lớn nhất, nhỏ nhất.
  • Biết các điều kiện đủ để hàm số có cực trị và các quy tắc tìm cực trị.
Ngày:02/07/2020 Chia sẻ bởi:Thi

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM