Toán 9 Chương 4 Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Ta có phương trình tổng quát: \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\)

Chuyển hạng tử c sang vế phải, ta có: \(ax^2+bx=-c\)

Vì \(a\neq 0\) nên chia cả hai vế cho a, ta có: \(x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}\)

Biến đổi để thành hằng đẳng thức: \(x^2+2.\frac{1}{2}\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a}-\frac{b^2}{4a}=-\frac{c}{a}\)

\(\Leftrightarrow \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\)

Đặt \(\Delta =b^2-4ac\)

Ta có các kết luận sau đây:

Với phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) và biệt thức \(\Delta =b^2-4ac\):

\(\Delta>0\) thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

\(x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}\); \(x_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\)

\(\Delta=0\) thì phương trình có nghiệm kép \(x=x_{1}=x_{2}=-\frac{b}{2a}\)

\(\Delta<0\) phương trình vô nghiệm.

Câu 1: Hãy điền những biểu thức thích hợp vào các ô trống (…) dưới đây:

a) Nếu \(\Delta \) > 0 thì từ phương trình (2) suy ra \(x + \displaystyle{b \over {2a}} =  \pm ...\)

Do đó, phương trình (1) có hai nghiệm x1 = …, x2 = …

b) Nếu \(\Delta \) = 0 thì từ phương trình (2) suy ra \({\left( {x + \displaystyle{b \over {2a}}} \right)^2} = ...\)

Do đó, phương trình (1) có nghiệm kép x = …

Hướng dẫn giải

a) Nếu \(\Delta \) > 0 thì từ phương trình (2) suy ra \(x + \displaystyle{b \over {2a}} = \displaystyle \pm {{\sqrt \Delta  } \over {2a}}\)

Do đó,phương trình (1) có hai nghiệm \({x_1} = \displaystyle{{ { - b + \sqrt \Delta  } } \over {2a}};\,\,\,{x_2} = {{{ - b - \sqrt \Delta  }} \over {2a}}\,\)

b) Nếu \(\Delta \) = 0 thì từ phương trình (2) suy ra \({\left( {x + \displaystyle{b \over {2a}}} \right)^2} = 0\)

Do đó, phương trình (1) có nghiệm kép \(x = \displaystyle{{ - b} \over {2a}}\)

Câu 2: Áp dụng công thức nghiệm để giải các phương trình:

a) \(5x^2 – x +2 = 0\)

b) \(4x^2 - 4x + 1 = 0\)

c) \(-3x^2+ x + 5 = 0\)

Hướng dẫn giải

a) Xét phương trình \(5x^2 – x +2 = 0\) có \(a = 5; b = -1; c = 2\)

\(\Delta  = {b^2} - 4ac = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.5.2 = 1 - 40 =  - 39 < 0\)

Vậy phương trình trên vô nghiệm.

b) Xét phương trình \(4x^2 - 4x + 1 = 0\) có \(a = 4; b = -4; c = 1\)

\(\Delta  = {b^2} - 4ac = {\left( { - 4} \right)^2} - 4.4.1 = 16 - 16 = 0\)

\( \Rightarrow \)  phương trình có nghiệm kép

\(\displaystyle x = {{ - b} \over {2a}} = {{ - \left( { - 4} \right)} \over {2.4}} = {1 \over 2}\)

Vậy phương trình có nghiệm \(\displaystyle x = {1 \over 2}\)

c) Xét phương trình \(-3x^2 + x + 5 = 0\) có  \(a = -3; b = 1; c = 5\)

\(\Delta  = {b^2} - 4ac = {1^2} - 4.\left( { - 3} \right).5 = 1 + 60 =61> 0\)

Do đó \(\Delta \)  > 0 nên áp dụng công thức nghiệm, phương trình có 2 nghiệm phân biệt

\(\displaystyle{x_1} = {{1 - \sqrt {61} } \over 6};\,\,{x_2} = {{1 + \sqrt {61} } \over 6}\)

Câu 1: Hãy giải thích vì sao khi \(\Delta  < 0\) thì phương trình vô nghiệm.

Hướng dẫn giải

Xét phương trình \(\left( 2 \right)\)

\({\left( {x + \dfrac{b}{{2a}}} \right)^2} = \dfrac{{{b^2} - 4ac}}{{4{a^2}}}\)  (Trang 44 SGK)

Hay \({\left( {x + \dfrac{b}{{2a}}} \right)^2} = \dfrac{\Delta }{{4{a^2}}}\) (vì \(\Delta=b^2-4ac\))

Nếu \(\Delta  < 0\) thì \(\dfrac{\Delta }{{4{a^2}}} < 0\) mà \({\left( {x + \dfrac{b}{{2a}}} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x\) nên phương trình \({\left( {x + \dfrac{b}{{2a}}} \right)^2} = \dfrac{\Delta }{{4{a^2}}}\)vô nghiệm

Suy ra phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) đã cho vô nghiệm.

Câu 2: Cho phương trình: \(-x^2+2x+2017^{2017}=0\). Không giải phương trình , hãy cho biết phương trình trên có bao nhiêu nghiệm. 

Hướng dẫn giải

Ta có, \(\Delta =b^2-4ac\).

Nhận thấy \(b^2>0\); \(ac=-2017^{2017}<0\Rightarrow 4ac>0\)

Vậy \(\Delta >0\forall x\epsilon \mathbb{R}\)

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Câu 1: Xác định các hệ số \(a, b, c\) rồi giải phương trình:

a) \(2{x^2} - 2\sqrt 2 x + 1 = 0\)

b) \(\displaystyle 2{x^2} - \left( {1 - 2\sqrt 2 } \right)x - \sqrt 2  = 0\)

c) \(\displaystyle {1 \over 3}{x^2} - 2x - {2 \over 3} = 0\)

d) \(3{x^2} + 7,9x + 3,36 = 0\)

Câu 2: Giải phương trình bằng đồ thị.

Cho phương trình \(2{x^2} + x - 3 = 0\)

a) Vẽ các đồ thị của hai hàm số: \(y = 2{x^2},y =  - x + 3\) trong cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Tìm hoành độ của mỗi giao điểm của hai đồ thị. Hãy giải thích vì sao các hoành độ này đều là nghiệm của phương trình đã cho.

Giải phương trình đã cho bằng công thức nghiệm, so sánh với kết quả tìm được trong câu b.

Câu 3: Đối với mỗi phương trình sau, hãy tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm kép:

a) \(m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2 = 0\)

b) \(3{x^2} + \left( {m + 1} \right)x + 4 = 0\)

Câu 4: Đối với mỗi phương trình sau, hãy tìm các giá trị của \(m\) để phương trình có nghiệm; tính nghiệm của phương trình theo \(m\):

a) \(m{x^2} + \left( {2x - 1} \right)x + m + 2 = 0\)

b) \(2{x^2} - \left( {4m + 3} \right)x + 2{m^2} - 1 = 0\)

Câu 1: Nghiệm của phương trình \(x^2-12x+36=0\) là:

A. \(6\) 

B. \(-6\)

C. \(\pm 6\)

D. \(6\) và \(12\)

Câu 2: Cho m là tham số của phương trình bậc hai ẩn x: \(x^2-2(m-1)x-3-m=0\) có nghiệm

A.​Với mọi m

B. \(m>0\)

C. \(m\leq 0\)

D. \(m\geq 0\)

Câu 3: Nghiệm của phương trình \(x^2+100x+2500=0\) là:

  A. \(50\)

B. \(-50\)

C. \(\pm 50\)

D. \(\pm 100\)

Câu 4: Không giải phương trình, hãy cho biết phương trình \(5x^2+9x-1=0\) có bao nhiêu nghiệm?

A. Vô nghiệm

B. 1 nghiệm kép

C. 2 nghiệm phân biệt

D. Vô số nghiệm

Câu 5: Với giá trị nào của m thì phương trình bậc hai \(x^2+5x-m=0\) có đúng 1 nghiệm?

A. \(\frac{25}{4}\)

B. \(-\frac{25}{4}\)

C. \(\frac{25}{2}\)

D. \(-\frac{25}{2}\)

Qua bài học này giúp học sinh

• Nhớ biệt số Δ =b²−4ac. Với điều kiện nào của D thì phương trình vô nghiệm, có nghiệm kép, có hai nghiệm phân biệt.
• Vận dụng được công thức nghiệm của phương trình bậc hai để giải thành thạo phương trình bậc hai.
• Viết được biệt số Δ =b²−4ac. Thực hiện được việc giải phương trình bậc hai một ẩn nhờ sử dụng biệt số.