Toán 12 Ôn tập chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số được xem là nội dung trọng tâm quan trọng bậc nhất trong chương trình phổ thông, thể hiện rõ nhất cho điều đó là trong các kì thi THPT QG môn Toán đây luôn là phần chiếm tỉ lệ điểm số cao nhất. Nội dung bài ôn tập chương sẽ giúp các em hệ thống lại kiến thức đã được học, ôn tập một số dạng toán điển hình và phương pháp giải, rèn luyện kĩ năng giải bài tập, từng bước chinh phục các bài toán khó hơn.

Toán 12 Ôn tập chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

1. Tóm tắt lý thuyết

1.1. Kiến thức cần nhớ

  • Sự đơn điệu của hàm số.
  • Cực trị của hàm số.
  • Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất của hàm số.
  • Tiệm cận của đồ thị hàm số. 
  • Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.

1.2. Một số dạng toán về sự đơn điệu của hàm số thường gặp

  • Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số
  • Dạng 2: Định giá trị của tham số m để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên TXĐ.

1.3. Một số dạng toán về cực trị của hàm số thường gặp

+ Dạng 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số: Dùng quy tắc 1 hoặc quy tắc 2.

+ Dạng 2: Định giá trị tham số m để hàm số đạt cực trị tại \(x_0.\)

  • Tìm tập xác định.
  • Tính \(y' \Rightarrow y'\left( {{x_0}} \right).\)
  • Lập luận: Hàm số đạt cực đại tại \({x_0} \Rightarrow y'\left( {{x_0}} \right) = 0\), giải phương trình tìm được m.
  • Với từng giá trị m vừa tìm được ta dùng quy tắc 1 hoặc quy tắc 2 kiểm tra lại xem có thỏa điều kiện đề bài không.
  • Kết luận giá trị m thỏa điều kiện.

+ Dạng 3: Định giá trị của tham số m để các hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\,(a \ne 0)\) và \(y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{mx + n}}\,\,(a,m \ne 0)\)cực đại, cực tiểu:

  • Tìm tập xác định D.
  • Tính \(y'\).
  • Tính \(\Delta _{y'}\).
  • Lập luận: Hàm số luôn luôn có CĐ, CT khi và chỉ khi phương trình \(y'=0\) có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu hai lần khác nhau khi qua hai nghiệm đó. Phương trình \(y'=0\) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(\Delta _{y'}>0\) giải tìm m.

+ Dạng 4: Định giá trị của tham số m để các hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\,(a \ne 0)\) và \(y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{mx + n}}\,\,(a,m \ne 0)\) không có cực đại, cực tiểu:

  • Tìm tập xác định D.
  • Tính \(y'\).
  • Tính \(\Delta _{y'}\).
  • Lập luận: Hàm số không có CĐ, CT khi và chỉ khi phương trình \(y'=0\) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép. Phương trình \(y'=0\) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(\Delta _{y'}\leq 0\) giải tìm m.

+ Dạng 5: Chứng minh với mọi giá trị của tham số m hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\,(a \ne 0)\) luôn luôn có cực đại, cực tiểu.

  • Tìm tập xác đinh D.
  • Tính \(y'\). 
  • Tính \(\Delta _{y'}\) (nếu y’ là tam thức bậc 2 theo x).
  • Chứng minh: \(\Delta _{y'}>0\) và y’ đổi dấu hai lần khác nhau khi qua hai nghiệm đó suy ra hàm số luôn luôn có cực đại, cực tiểu.

1.4. Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất của hàm số

  • Tìm GTLN - GTNN của hàm sô trên một khoảng, nửa khoảng.
  • Tìm GTLN - GTNN của hàm số trên một đoạn.

1.5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

  • Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc ba.
  • Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc bốn (trùng phương)
  • Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số phân thức bậc nhất/bậc nhất (hàm nhất biến).

1.6. Bài toán về sự tương giao của đồ thị hàm số

  • Tìm số giao điểm của hai đường \((C_1):y=f(x)\) và \((C_2):y=g(x).\)
  • Biện luận theo m nghiệm của phương trình \(f(x)=m.\)

2. Bài tập minh họa

2.1. Dạng 1: Tìm GTLN và GTNN

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=x^2-ln4x\) trên đoạn [1;e].

Hướng dẫn giải

Hàm số xác định và liên tục trên đoạn [1;e].
\(f'(x)=2x-\frac{4}{x}=\frac{2x^2-4}{x}\); với \(x\in [1;e],f'(x)=0\Leftrightarrow x=\sqrt{2}\)
\(f(1)=1;f(e)=e^2-4;f(\sqrt{2})=2-2ln2\)
Do đó:
\(\underset{x\in [1;e]}{min}f(x)=f(\sqrt{2})=2-2ln2\).
\(\underset{x\in [1;e]}{max}f(x)=f(e)=e^2-4\).

2.2. Dạng 2: Tìm cực trị của hàm số

 Cho hàm số: \(y=\frac{1}{3}x^3-mx^2+(m^2-m+1)x+1\). Tìm m để hàm số:
a) Có cực đại và cực tiểu. 
b) Đạt cực đại tại điểm x=1.

Hướng dẫn giải

TXĐ: \(D=\mathbb{R}.\) 

Đạo hàm: \(y'=x^2-2mx+m^2-m+1\).

a) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi: y'=0 có 2 nghiệm phân biệt.
Điều này xảy ra khi: \(\left\{\begin{matrix} a_{y'}\neq 0\\ \Delta '_{y'}>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1\neq 0\\ (-m)^2-(m^2-m+1)>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow m-1>0\Leftrightarrow m>1\)
b) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1
\(y'=x^2-2mx+m^2-m+1\) và \(y''=2x-2m\)
Ta có: \(\left\{\begin{matrix} y'(1)=0\\ y''(1)<0 \end{matrix}\right. \ \ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m^2-3m+2=0\\ 2-2m<0 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m=1\vee m=2\\ m>1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=2\)
Thử lại với m=2 hàm số đạt cực đại tại x=1.

2.3. Dạng 3: Tìm tham số m để hàm số có nghiệm

 Cho hàm số \(y=-x^4+(m+2)x^2-m-1\) có đồ thị (C). Tìm m để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ đều nhỏ hơn 2.

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục Ox:
\(-x^4+(m+2)x^2-m-1=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x^2=1\Leftrightarrow x=\pm 1\\ x^2=m+1 \end{matrix}\) (1)

(C) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt 
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m+1>0\\ m+1\neq 1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m>-1\\ m\neq 0 \end{matrix}\right.\)
Khi đó: \((1)\Leftrightarrow x=-1\cup x=1\cup x=-\sqrt{m+1}\cup x=\sqrt{m+1}\)
Yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow \sqrt{m+1}<2\Leftrightarrow m+1<4\Leftrightarrow m<3\)
So với điều kiện (*) ta có giá trị cần tìm là: \(\left\{\begin{matrix} -1

2.4. Dạng 4: Định tham số m để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến

 Định m để hàm số \(y=x^3+3x^2+(m+1)x+4m\) nghịch biến trên khoảng (-1;1).

Hướng dẫn giải

TXĐ: \(D=\mathbb{R}.\)
Đạo hàm: \(y'=3x^2+6x+m+1\)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;1) khi và chỉ khi \(y'\leq 0,\forall x\in (-1;1)\)
\(\Leftrightarrow 3x^2+6x+m+1\leq 0, \forall x\in (-1;1) \ \ (1)\)
Xét BPT (1) \(\Leftrightarrow m\leq -3x^2-6x-1=g(x)\)
Xét hàm số  \(g(x), x\in (-1;1)\)
Có: \(g'(x)=-6x-6\leq 0, \forall x\in (-1;1)\)
BBT:

Từ BBT suy ra \(m\leq g(x), \forall x\in (-1;1)\Leftrightarrow m\leq -10\)
Vậy, hàm số nghịch biến trên khoảng \((-1;1)\) khi và chỉ khi \(m\leq 10.\)

3. Luyện tập

3.1. Bài tập tự luận

Câu 1: Cho hàm số: \(y = 4{x^3} + mx\) (\(m\) là tham số) (1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với \(m = 1\).

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng \(y = 13x + 1\).

c) Xét sự biến thiên của hàm số (1) tùy thuộc giá trị của \(m\).

Câu 2: Cho hàm số \(y = \dfrac{{(a - 1){x^3}}}{3} + a{x^2} + (3a - 2)x\).

a) Xác định \(a\) để hàm số luôn luôn đồng biến.

b) Xác định \(a\) để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.

Câu 3: Cho hàm số: \(y = {x^3}-3{x^2}\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.

b) Tìm các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({x^3}-3{x^2}-m = 0\;\) có ba nghiệm phân biệt.

Câu 4: Cho hàm số: \(y = f\left( x \right) = {x^4}-2m{x^2} + {m^3}-{m^2}\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi \(m = 1\).

b) Xác định \(m\) để đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\) của hàm số đã cho tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm phân biệt.

3.2. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = \frac{x}{{{x^2} + 1}}\) trên đoạn [0;2].

A. \(M = \frac{2}{5};\,m = 0\)

B. \(M = \frac{1}{2};m = 0\)

C. \(M = 1;m = \frac{1}{2}\)

D. \(M = \frac{1}{2};\,m = - \frac{1}{2}\)

Câu 2: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) biết \(f'\left( x \right) = x{\left( {x - 1} \right)^2}.\) Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số có 2 điểm cực trị tại x=0 và x=1.   

B. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=0 và cực đại tại điểm x=1.

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\) và đồng biến trên khoảng (0;1).

D. Hàm số không có điểm cực đại.

Câu 3: Cho hàm số \(y = \frac{{\left( {m - 1} \right)\sin x - 2}}{{\sin x - m}}.\) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right).\)

A. \(m \in \left( { - 1;2} \right)\)

B. \(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\)

C. \(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\)

D. \(m \in \left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\)

Câu 4: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình \({x^3} + {x^2} + x = m{\left( {{x^2} + 1} \right)^2}\) có nghiệm thuộc đoạn [0;1].

A. \(m\geq 1\)

B. \(m \leq 1\)

C. \(0\leq m \leq 1\)

D. \(0\leq m \leq \frac{3}{4}\)

Câu 5: Tìm tất cả các điểm cực đại của hàm số \(y = - {x^4} + 2{x^2} + 1.\)

A. \(x=\pm 1\)

B. \(x=- 1\)

C. \(x= 1\)

D. \(x=0\)

Các em hãy luyện tập bài trắc nghiệm Ôn tập chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Toán 12 sau để nắm rõ thêm kiến thức bài học.

Trắc Nghiệm

4. Kết luận

Qua bài học này giúp học sinh

  • Hiểu định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và mối liên hệ giữa khái niệm này với đạo hàm.
  • Nắm được qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số.
  • Biết vận dụng quy tắc xét tính đơn điệu của một hàm số và dấu đạo hàm ủa nó
Ngày:09/07/2020 Chia sẻ bởi:Nguyễn Minh Duy

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM