Luận án TS: Tính cực đại, tính cực đại địa phương và vấn đề xấp xỉ của các hàm F-đa điều hòa dưới
Luận án Tính cực đại, tính cực đại địa phương và vấn đề xấp xỉ của các hàm F-đa điều hòa dưới tập trung nghiên cứu lớp hàm F-đa điều hòa dưới cực đại và vấn đề xấp xỉ của các hàm F-đa điều hòa dưới.
Mục lục nội dung
1. Mở đầu
1.1 Lý do chọn đề tài
Nội dung của toàn bộ luận án này nghiên cứu một lớp đặc biệt các hàm đa điều hòa dưới. Dó là các hàm đa điều hòa dưới plurifine mà ta sẽ viết là F-đa điều hòa dưới. Lịch sử của vấn đề đưa ra nghiên cứu xuất phát từ các kết quả của H. Cartan vào đầu những năm 40 của thế kỉ trước. Khi đó, để khắc phục tính không liên tục của các hàm điều hòa dưới trên C. Cartan đã đưa ra tôpô "fine" trên C như là tôpô yếu nhất trên C mà làm cho mọi hàm điều hòa dưới là liên tục. Ổng đã thiết lập được một số kết quả đáng chú ý đối với lớp hàm nói trên. Sau đó vào những năm 70 (của thế kỉ trước). Fuglede đã đưa ra các hàm điều hòa fine và hàm chỉnh hình fine và thiết lập mối liên hệ giữa chúng như mối liên hệ giữa hàm điều hòa và hàm chỉnh hình trong các giáo trình giải tích phức. Tổng quát các khái niệm trên lên Cn. Wiegerinck và các cộng sự đã xây dựng tôpô plurifine (ta sẽ kí hiệu là F-tôpô) trên Cn và xác định khái niệm hàm F-đa điều hòa dưới. Họ đã phát triển thành Lí thuyết đa thế vị plurifine mà ta viết là F-đa thế vị.
1.2 Mục tiêu nghiên cứu
Luận án tập trung nghiên cứu một số tính chất của các hàm F-đa điều hòa dưới. Cụ thể, nghiên cứu mối quan hệ giữa tính chất địa phương và toàn cục của các hàm F-đa điều hòa dưới thông qua việc chỉ ra điều kiện và đủ để các hàm F-đa điều hòa dưới cực đại là F-đa điều hòa dưới F-cực đại F-địa phương trong một số tình huống nhất định. Sau đó nghiên cứu vấn đề xấp xỉ của các hàm F-đa điều hòa dưới bởi dãy tăng các hàm đa điều hòa dưới thông thường.
1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Hàm đa điều hòa dưới, hàm F-đa điều hòa dưới và hàm F-đa điều hòa dưới cực đại
Toán tử Monge-Ampère phức cho lớp hàm F-đa điều hòa dưới hữu hạn
Một số lớp hàm F-đa điều hòa dưới trên Ω: E0 (Ω), Fp (Ω)
Vấn đề xấp xỉ của các hàm F-đa điều hòa dưới
1.4 Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp nghiên cứu lí thuyết trong nghiên cứu toán học cơ bản với công cụ và kĩ thuật truyền thống của Lí thuyết đa thế vị, Lí thuyết F-đa thế vị, Giải tích hàm, Giải tích phức.
Tham gia seminar nhóm, seminar tổ bộ môn để thường xuyên trao đổi, thảo luận, công bố các kết quả nghiên cứu, nhằm thu nhận các thông tin về tính chính xác khoa học của các kết quả nghiên cứu trong cộng đồng các nhà khoa học chuyên ngành trong và ngoài nước.
1.5 Đóng góp của luận án
Luận án đã đạt được mục đích nghiên cứu đề ra và có những đóng góp nhất nhất định, cụ thể:
- Luận án đã chỉ ra sự tương đương giữa tính chất F-cực đại toàn cục với tính chất F-cực đại F-địa phương của các hàm F-đa điều hòa dưới liên tục trên các tập F-mở của Cn.
- Mở rộng kết quả trên và bằng kĩ thuật chứng minh, luận án đã chỉ ra sự tương đương giữa tính chất F-cực đại toàn cục với tính chất F-cực đại F-địa phương của các hàm F-đa điều hòa dưới bị chặn trên các tập F-mở của Cn. Kết quả này có ý nghĩa khoa học vì nó đúng cho các hàm F-đa điều hòa dưới trên các tập F-mở.
- Luận án đã đưa ra khái niệm miền F-siêu lồi và đưa ra lớp Fp (Ω). Với những khái nhiện thích hợp như vậy, luận án đã chứng minh tính chất xấp xỉ được của hàm F-đa điều hòa dưới bởi dãy tăng các hàm đa điều hòa dưới âm trên dãy giảm các miền siêu lồi rộng hơn.
2. Nội dung
2.1 Hàm F-đa điều hòa dưới và toán tử MongeAmpère phức
F-tôpô và hàm F-đa điều hòa dưới
Toán tử Monge-Ampère phức
Hàm F-đa điều hòa dưới cực đại
2.2 Tính chất địa phương của hàm F-đa điều hòa dưới cực đại
Tính cực đại địa phương của hàm F-đa điều hòa dưới liên tục
Tính cực đại địa phương của hàm F-đa điều hòa dưới bị chặn
2.3 Xấp xỉ hàm F-đa điều hòa dưới
Lớp \({\varepsilon _0}\) của các hàm F-đa điều hòa dưới
Lớp Fp của các hàm F-đa điều hòa dưới
Xấp xỉ hàm F-đa điều hòa dưới
3. Kết luận
Luận án đã chỉ ra các điều kiện để có sự tương đương của tính chất F-cực đại F-địa phương và F-cực đại của hàm F-đa điều hòa dưới và đã chỉ ra các điều kiện để thiết lập vấn đề xấp xỉ của hàm F-đa điều hòa dưới bởi các hàm đa điều hòa dưới âm. Cụ thể:
Luận án đã chỉ ra rằng, đối với một hàm F-đa điều hòa dưới liên tục trên Ω thì hàm đó là F-cực đại trên Ω khi và chỉ khi nó là F-cực đại F-địa phương trên Ω.
Luận án đã chỉ ra rằng, đối với một hàm F-đa điều hòa dưới bị chặn trên Ω thì hàm đó F-cực đại trên Ω khi và chỉ khi nó là F-cực đại F-địa phương trên Ω.
Luận án đã chỉ ra các điều kiện để thiết lập vấn đề xấp xỉ cho các hàm F-đa điều hòa dưới bởi một dãy tăng các hàm đa điều hòa dưới âm trên dãy giảm các miền siều lồi rộng hơn.
4. Tài liệu tham khảo
Nguyễn Quang Diệu. Lê Mậu Hải, Cơ sở lí thuyết đa thế vị, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm, Hà Nội, (2009).
P. Ảliag, U. Cegrell. R. Czyz and P. H. Hiep. Monge-Ampère measures on pluripolar sets. J. Math. Pares Appl., 92 (2009). 613-627.
P. Ảliag, U. Cegrell and P. H. Hiep. Monge-Ampère measures on subvarieties. J. Math. Anal. Appl.. 423 (2015). no. 1. 94-105.
P. Ảliag. R. Czyz and P. H. Hiep. Concerning the energy class \({\varepsilon _p}\) for 0 <p < 1, Ann. Polon. Math.. 91 (2007). 119-130.
B. Avelin. L. Hed and H. Persson. Approximation of plurisubhar-monic functions. Complex Var. Elliptic Equ.. 61 (2016). no. 1. 23-28.
E. Bedford and B. A. Taylor. The Dirich let problem for a complex Monge-Ampère equation. Invent. Math.. 37 (1976). 1-44.
E. Bedford and B. A. Taylor. A new capacity for plurisubharmonic functions. Acta Math.. 149 (1982). 1-40.
E. Bedford and B. A. Taylor. Fine topology, Silov boundary and (ddc)n. J. Funct. Anal.. 72 (1987). 225-251.
S. Benelkourchi. A note on the approximation of pluris ubhar mo nic functions, C. R. Acad. Sci. Paris. 342 (2006). 647-650.
S. Benelkourchi. Approximation of weakly singular plurisubhar-monic functions. Int J. Math.. 22 (2011). 937-946.
--- Nhấn nút TẢI VỀ hoặc XEM ONLINE để tham khảo đầy đủ nội dung Luận án tiến sĩ Toán học trên ---
