Luận án TS: Tính liên tục Holder và sự ổn định của nghiệm phương trình Monge-Ampere
Luận án Tính liên tục Holder và sự ổn định của nghiệm phương trình Monge-Ampere được hoàn thành với mục tiêu nhằm nghiên cứu bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampère phức trên miền giả lồi không trơn, đa điều hòa dưới loại m.
Mục lục nội dung
1. Mở đầu
1.1 Lý do chọn đề tài
Toán tử Monge-Ampère phức là đối tượng đóng vai trò trung tâm của lý thuyết đa thế vị, một hướng nghiên cứu đang thu hút nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm, hướng này đã phát triển mạnh mẽ và gặt hái được nhiều thành tựu trong hai thập niên qua bởi một số nhà toán học như: P. ˚Ahag, E. Bedford, Z. B locki, U. Cegrell, L.H. Chinh, R. Czy˙z, J.P. Demailly, V. Guedj, L.M. Hải, P.H. Hiệp, N.X. Hồng, T.V. Khanh, N.V. Khuê, S. Ko lodziej, B.A. Taylor, Y. Xing, A. Zeriahi,..., xem. Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng đối với toán tử MongeAmpère phức đó là bài toán Dirichlet MA(Ω, φ, f). Từ năm 1976 đến 2016, các tác giả đã gặt hái được nhiều kết quả quan trọng đối với bài toán này, với trường hợp từ Ω là miền giả lồi chặt, bị chặn có biên trơn trong C n tới Ω là miền giả lồi bị chặn với biên lớp C2, đa điều hòa dưới loại m. Như vậy, bài toán MA(Ω, φ, f) đối với miền giả lồi không trơn đa điều hòa dưới loại m vẫn là một vấn đề mở.
1.2 Mục tiêu nghiên cứu
Tìm ra các điều kiện đủ đối với dãy hàm {uj} ⊂ PSH(Ω) để có được sự tương đương giữa sự hội tụ theo Cn-dung lượng của dãy hàm {uj} và sự hội tụ yếu của dãy độ đo Monge-Ampère phức tương ứng.
Nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trình Monge-Ampère phức.
Nghiên cứu sự hội tụ theo Cn-dung lượng của dãy hàm thác triển dưới cực đại.
Tiếp tục nghiên cứu tìm hiểu, để tìm ra những vấn đề nghiên cứu mới.
1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Hàm đa điều hòa dưới, thác triển dưới cực đại của hàm đa điều hòa dưới.
Các lớp hàm đa điều hòa dưới được U. Cegrell giới thiệu, nghiên cứu và được phát triển bởi nhiều tác giả.
Toán tử Monge-Ampère phức.
Bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampère phức.
1.4 Phương pháp nghiên cứu
Ứng dụng các phương pháp và kỹ thuật truyền thống đã được các nhà toán học sử dụng, nghiên cứu trong Giải tích phức.
Tham gia seminar nhóm, seminar Tổ bộ môn để thường xuyên trao đổi, thảo luận, nghiên cứu những vấn đề đang vướng mắc, cũng như những vấn đề mới.
1.5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Lý thuyết đa thế vị là một trong những hướng nghiên cứu đang được nhiều tác giả quan tâm bởi những ứng dụng của chúng trong giải tích phức nhiều biến, hình học vi phân phức, phương trình đạo hàm riêng phức, động lực học phức, giải tích hyperbolic,... Kết quả của Luận án góp phần nghiên cứu hoàn thiện lý thuyết đa thế vị, cũng như các kỹ thuật trong hướng nghiên cứu này.
2. Nội dung
2.1 Tính liên tục Holder của nghiệm phương trình MongeAmpère phức
Sự tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet
Tính liên lục Holder của nghiệm bài toán Dirichlet
2.2 Sự ổn định của nghiệm phương trình Monge-Ampère phức
Nguyên lý so sánh cho các hàm lớp Cegrell
Sự hội tụ theo dung lượng của các hàm đa điều hòa dưới
Tính ổn định nghiệm của phương trình Monge-Ampère phức
2.3 Thác triển dưới cực đại của hàm đa điều hòa dưới
Tính chất của các hàm thuộc lớp Cegrell
Sự hội tụ theo dung lượng của các hàm thác triển dưới cực đại
3. Kết luận
Chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán MA (Ω, φ, f) trong trường hợp Ω là miền giả lồi trong Cn, đa điều hòa dưới loại m.
Chứng minh tính liên tục Holder của nghiệm bài toán MA (Ω, φ, f) trong trường hợp Ω là miền giả lồi trong Cn, đa điều hòa dưới loại m.
Đưa ra các điều kiện đủ đối với dãy các hàm đa điều hòa dưới {uj} để có được sự tương đương giữa sự hội tụ theo Cn-dung lượng của dãy {uj} và sự hội tụ yếu của dãy độ đo Monge-Ampère tương ứng {(ddcuj)n}.
4. Tài liệu tham khảo
A. Simioniuc and G. Tomassini (2008), "The Bremermann Dirichlet problem for unbounded domains of Cn", Manuscr. Math., 126(1), 73- 97.
Y. Xing (1996), "Continuity of the complex Monge - Ampère operator", Proc. Amer. Math. Soc., 124(2), 457–467.
L. Baracco, T.V. Khanh, S. Pinton and G. Zampieri (2016), "Holder regularity of the solution to the complex Monge-Ampère equation with Lp density", Calc. Var. PDE, 55-74.
E. Bedford và B.A. Taylor (1976), "The Dirichlet problem for a comlex Monge–Ampère equation", Invent. Math., 37, 1–44.
Z. B locki (1995), "On the Lp-stability for the complex Monge-Ampère operator", Michigan Math. J., 42, 269–275.
L. Caffarelli, J.J. Kohn, L. Nirenberg, J. Spruck (1985), "The Dirichlet problem for nonlinear second-order elliptic equations, II: complex Monge - Ampère, and uniformly elliptic equations". Comm. on Pure and Appl. Math., 38, 209-252.
U. Cegrell (2008), "A general Dirichlet problem for the complex Monge-Ampère operator", Ann. Polon. Math., 94, 131-147.
--- Nhấn nút TẢI VỀ hoặc XEM ONLINE để tham khảo đầy đủ nội dung Luận án tiến sĩ Toán học trên ---
