Giải bài tập SBT Toán 10 Bài 2: Tổng và hiệu của hai vec tơ

Cho năm điểm A, B, C, D và E. Hãy xác định tổng \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DE}\)

Phương pháp giải

Sử dụng quy tắc ba điểm \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \)

Hướng dẫn giải

\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DE} \)\( = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DE} \) \( = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DE} = \overrightarrow {AE}\)

Cho bốn điểm A, B, C và D. Chứng minh \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BD}\)

Phương pháp giải

Chuyển vế và sử dụng quy tắc ba điểm \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \)

Hướng dẫn giải

\(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BD} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} \) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AD}\,\, (luôn \,\,đúng)\)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Cho hai vec tơ \(\overrightarrow a\) và \(\overrightarrow b\) sao cho \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow 0\)

a) Dựng \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {OB} = \overrightarrow b\). Chứng minh O là trung điểm của AB.

b) Dựng \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AB} = \overrightarrow b\). Chứng minh \(O \equiv B\)

Phương pháp giải

Sử dụng quy tắc ba điểm \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC}\)

Hướng dẫn giải

a) \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {OB} = - \overrightarrow {OA} \Rightarrow OB = OA\)

Do đó ba điểm A, O, B thẳng hàng và điểm O ở giữa A và B.

Suy ra O là trung điểm của AB.

b)

\(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {OB} = \overrightarrow 0 \Rightarrow B \equiv O\)

Gọi O là tâm của tam giác đều ABC. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0\)

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất trọng tâm: \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0\)

Hướng dẫn giải

Trong tam giác đều ABC, tâm O của đường tròn ngoại tiếp cũng là trọng tâm của tam giác.

Vậy \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0\)

Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng

\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0\)

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất trung điểm \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0\)

Hướng dẫn giải

ABCD là hình bình hành nên:

+) O là trung điểm AC \(\Rightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0\)

+) O là trung điểm BD \(\Rightarrow \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0\)

Khi đó,

\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} \)\( = \left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} } \right) + \left( {\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} } \right)\) \( = \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 = \overrightarrow 0\)

Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Trên cạnh AC lấy hai điểm E và F sao cho AE = EF= FC; BE cắt AM tại N. Chứng minh \(\overrightarrow {NA}\) và \(\overrightarrow {NM}\) là hai vec tơ đối nhau.

Phương pháp giải

Chứng minh EN là đường trung bình của tam giác AFM

Từ đó suy ra N là trung điểm của AM 

Vậy ta chứng minh được \(\overrightarrow {NA}\) và \(\overrightarrow {NM}\) là hai vec tơ đối nhau.

Hướng dẫn giải

FM // BE vì FM là đường trung bình của tam giác CEB.

Ta có EA = EF. Vậy EN là đường trung bình của tam giác AFM

Do đó N là trung điểm của AM và \(\overrightarrow {NA} = - \overrightarrow {NM}\)

Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm điểm M thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

a) \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {BA}\)

b) \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {AB}\)

c) \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0\)

Phương pháp giải

- Sử dụng công thức tính hiệu hai véc tơ \(\overrightarrow{a}- \overrightarrow{b} = \overrightarrow{a} + (-\overrightarrow{b})\)

- Sử dụng tính chất trung điểm \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0\)

Hướng dẫn giải

a) \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {BA} \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {BA}\)

Vậy mọi điểm M đều thỏa mãn bài toán.

b) \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {AB} \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {AB} \Leftrightarrow A \equiv B,\) vô lí.

Vậy không có điểm M nào thỏa mãn bài toán.

c) \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} = - \overrightarrow {MB} \)

Vậy M là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu \(\left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CB} } \right|\) thì tam giác ABC là tam giác vuông tại C.

Phương pháp giải

- Dựng hình bình hành CADB.

- Sử dụng quy tắc hình bình hành quy tắc trừ véc tơ để nhận xét độ dài các véc tơ.

Nếu ABCD là hình bình hành thì \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}\)

Công thức tính hiệu hai véc tơ  \(\overrightarrow{a}- \overrightarrow{b} = \overrightarrow{a} + (-\overrightarrow{b})\)

Hướng dẫn giải

Vẽ hình bình hành CADB. Ta có \(\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {CD}\), do đó \(\left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right| = CD\)

Vì \(\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {BA}, \,\,Do \,\,đó \,\, \left| {\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CB} } \right| = BA\)

Từ \(\left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CB} } \right|\) suy ra CD = AB

Vậy tứ giác CADB là hình chữ nhật. Ta có tam giác ABC vuông tại C.

Cho ngũ giác ABCDE. Chứng minh \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {DE}\)

Phương pháp giải

Sử dụng quy tắc ba điểm \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC}\)  và  \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB}\)

Hướng dẫn giải

\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {DE} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {ED} \) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AD}\)

Cho ba điểm O, A, B không thẳng hàng. Với điều kiện nào thì vec tơ \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB}\) nằm trên đường phân giác của góc \(\widehat {AOB}\)?

Phương pháp giải

Sử dụng quy tắc hình bình hành

Nếu ABCD là hình bình hành thì \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}\)

Hướng dẫn giải

\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OC}\) trong đó OACB là hình bình hành.

OC là phân giác góc \(\widehat {AOB}\) khi và chỉ khi OACB là hình thoi, tức là OA = OB

Cho hai lực \(\overrightarrow {{F_1}}\) và \(\overrightarrow {{F_2}}\) có điểm đặt O và tạo với nhau góc \({60^0}\). Tìm cường độ tổng hợp lực của hai lực ấy biết rằng cường độ của hai lực \(\overrightarrow {{F_1}}\) và \(\overrightarrow {{F_2}}\) đều là 100N.

Phương pháp giải

Sử dụng quy tắc hình bình hành

Nếu ABCD là hình bình hành thì \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}\)

Hướng dẫn giải

Cố định điểm O, dựng véc tơ \(\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {OC} = \overrightarrow {{F_2}}\)

Dựng hình bình hành OBAC ta có:

\(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OA} \) \( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right| = OA\)

Xét hình bình hành OBAC có OB = OC = 100 nên là hình thoi.

\(\Rightarrow OA \bot BC\) tại H.

Mà \(\widehat {BOC} = {60^0}\) nên tam giác BOC đều.

Do đó BC=100 và \(BH = \frac{1}{2}BC = 50\)

Theo pitago \(OH = \sqrt {O{B^2} - B{H^2}} = \sqrt {{{100}^2} - {{50}^2}} = 50\sqrt 3\)

Vậy cường độ của hợp lực là \(OA = 2OH = 100\sqrt 3 N\)

Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là một điểm bất kì trên đường chéo AC. Qua O kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của hình bình hành. Các đường thẳng này cắt AB và DC lần lượt tại M và N, cắt AD và BC lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng:

a) \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD}\)

b) \(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {FN}\)

Phương pháp giải

a) Chuyển vế và thực hiện phép trừ các véc tơ.

b) Sử dụng quy tắc hình bình hành

Nếu ABCD là hình bình hành thì \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}\)

Hướng dẫn giải

a) 

\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} ; \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OD}\)

Vì \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}\) nên ta có \(\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OD}\)

Vậy \(\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC}\)

b) Tứ giác AMOE là hình bình hành nên ta có \(\overrightarrow {ME} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MO}\)  (1)

Tứ giác OFCN là hình bình hành nên ta có \(\overrightarrow {FN} = \overrightarrow {FO} + \overrightarrow {FC}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\overrightarrow {ME} + \overrightarrow {FN} \)

\(= \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {FO} + \overrightarrow {FC}\)

\(=(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {FO} ) + (\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {FC})\)

\(\begin{array}{l} = \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {BM} } \right) + \left( {\overrightarrow {BF} + \overrightarrow {FC} } \right)\\ = \left( {\overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MA} } \right) + \left( {\overrightarrow {BF} + \overrightarrow {FC} } \right) \end{array}\)

(Vì \(\overrightarrow {FO} = \overrightarrow {BM} ,\overrightarrow {MO} = \overrightarrow {BF}\))

\(= \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BD}\)

Vậy \(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {FN}\)