Ngân hàng câu hỏi ôn tập môn Toán cao cấp

Cùng nhau ôn tập và củng cố kiến thức thông qua Ngân hàng câu hỏi tự luận môn Toán cao cấp mà eLib.VN đã tổng hợp dưới đây nhé. Hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích, giúp các bạn chuẩn bị cho kì thi kết thúc môn đạt kết quả cao. Mời các bạn tham khảo!

Ngân hàng câu hỏi ôn tập môn Toán cao cấp

Câu 1:

Tìm các tiệm cận dưới  và tiệm cận trên đúng trong R nếu chúng tồn tại của tập 

\(X = \left\{ {\frac{1}{{\mathop 2\nolimits^n }} + \frac{{\mathop {( - 1)}\nolimits^n }}{n},n \in \mathop N\nolimits^* } \right\} = \left\{ {\mathop u\nolimits_n ,n \in \mathop N\nolimits^* } \right\}\)

Đáp án

Với mọi p thuộc N∗

Ta có: \(\begin{array}{l} \mathop u\nolimits_{2p} = \frac{1}{{\mathop 2\nolimits^{2p} }} + \frac{1}{{2p}} \Rightarrow 0 < \mathop u\nolimits_{2p} < \mathop u\nolimits_2 = \frac{3}{4}\\ \mathop u\nolimits_{2p + 1} = \frac{1}{{\mathop 2\nolimits^{2p + 1} }} - \frac{1}{{2p + 1}} \Rightarrow \frac{{ - 1}}{3} \le \frac{{ - 1}}{{2p + 1}} \le \mathop u\nolimits_{2p + 1} \le \frac{1}{{\mathop 2\nolimits^{2p + 1} }} \le \frac{1}{8}\\ \mathop u\nolimits_1 = \frac{{ - 1}}{2} \end{array}\)

Suy ra với mọi n thuộc N∗N∗

ta có: \(\frac{{ - 1}}{2} = \mathop u\nolimits_1 \le \mathop u\nolimits_n \le \mathop u\nolimits_2 = \frac{3}{4}\)

InfX=minX=-1/2,SupX=maxX=3/4

Câu 2:

Cho A,B là hai tập không rỗng của R và bị chặn trên 

a: Chứng minh Sup(A∪BA∪B=Max(Sup(A),sup(B))

b: Gọi A+B={\(x \in R,\exists (a,b) \in A.B,x = a + b\)},chứng minh rằng Sup(A-B)=Sup(A)+Sup(B)

Đáp án

Kí hiệu: \(\alpha = SupA,\beta = SupB,\gamma = Max(\alpha ,\beta )\)

Vậy tập hợp các cận trên của \(A \cup B\) chính là \(X = {\rm{\{ }}x,x \ge \alpha ,x \ge \beta\)

Câu 3:

Hãy tìm tất cả các ánh xạ f: C--->C sao cho

Với mọi z thuộc C,f(z)+zf(-z)=1+z

Đáp án

Nếu tồn tại f(-z)-zf(z)=1-z đúng

suy ra \((1 + \mathop z\nolimits^2 )f(z) = 1 + \mathop z\nolimits^2\)

Chứng tỏ f(z)=1 nếu \(z \pm i\)

Đạt f(i)=\(\alpha + i\beta \in C,\alpha ,\beta \in R \Rightarrow f( - i) = 1 - i + i\alpha - \beta\)

f:C--->C 

Kiểm tra \(z \to \left\{ \begin{array}{l} 1\\ \alpha \\ 1 - \beta + i(\alpha - 1) \end{array} \right.\)

Câu 4:

Tính \(\begin{array}{l} a.\frac{{\sqrt 3 - i}}{{1 + i}}\\ b.(1 - i)(1 - \sqrt 3 i)(\sqrt 3 + 1) \end{array}\)

Đáp án

\(a.z = \mathop z\nolimits_1 \mathop z\nolimits_2 \mathop z\nolimits_{3,} \mathop z\nolimits_1 = 1 - i,\mathop z\nolimits_2 = 1 - \sqrt 3 i,\mathop z\nolimits_3 = \sqrt 3 + i\)

Ta đi tìm mooddun và acgumen của các số phức này

\(\begin{array}{l} \mathop r\nolimits_1 = \left| {\mathop z\nolimits_1 } \right| = \sqrt {1 + 1} = \sqrt 2 ,\mathop \theta \nolimits_1 = \arg \mathop z\nolimits_1 ,\left\{ \begin{array}{l} tg\mathop \theta \nolimits_1 = - 1\\ tg\mathop \theta \nolimits_1 > 0 \end{array} \right.\\ = = > \mathop \theta \nolimits_1 = \frac{{ - 3,14}}{4} \end{array}\)

Tương tự nhận được \(\mathop r\nolimits_2 = 2,\mathop \theta \nolimits_2 = \frac{{ - \pi }}{3},\mathop r\nolimits_2 = 2,\mathop \theta \nolimits_2 = \frac{\pi }{6}\)

Câu 5:

Chứng minh rằng với mọi z thuộc C thì 

\(\left[ \begin{array}{l} \left| {1 + z} \right| \ge \frac{1}{2}\\ \left| {1 + \mathop z\nolimits^2 } \right| < 1 \end{array} \right.\)

Đáp án:

Giả sử tồn tại z=x+iy thuộc c sao cho 

\(\left( \begin{array}{l} |1 + z| < \frac{1}{2}\\ |1 + \mathop z\nolimits^2 | < 1 \end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l} \mathop {(\mathop x\nolimits^2 + \mathop y\nolimits^2 )}\nolimits^2 + 2\mathop {(x}\nolimits^2 - \mathop y\nolimits^2 ) < 0\\ \mathop x\nolimits^2 + \mathop y\nolimits^2 + 2x + \frac{3}{4} < 0 \end{array} \right.\)

Câu 6 

Cho f,g : R-->R thỏa mãn mọi x,y thuộc R,(f(x)-f(y))(g(x)-g(y))=0

Chứng minh rằng ít nhất một trong hai hàm số là hằng số 

Đáp án:

Giả sử a,b thuộc R,f(a) khác f(b),ta sẽ chỉ ra g(x) là hằng số.trước hết có 

với mọi x thuộc R \(\left\{ \begin{array}{l} \left( {f\left( a \right) - f\left( x \right)} \right)\left( {g\left( a \right) - g\left( x \right)} \right) = 0\\ \left( {f\left( b \right) - f\left( x \right)} \right)\left( {g\left( a \right) - g\left( x \right)} \right) = 0 \end{array} \right.\)

Trừ từng vế và để ý đến g(a)=g(b) suy ra

(f(a)-f(b))(g(a)-g(x))=0==>g(x)=g(a)

Mời các bạn bấm nút TẢI VỀ hoặc XEM ONLINE để tham khảo đầy đủ Ngân hàng câu hỏi ôn tập môn Toán cao cấp có lời giải chi tiết!

Ngày:26/11/2020 Chia sẻ bởi:Chương

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM