Toán 9 Chương 1 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Định lý 1: Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.

Cụ thể ở hình 1 ta có: Tam giác ABC vuông tại A suy ra:

\(b^2=a.b'\) , \(c^2=a.c'\)

Định lý 2: Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

Cụ thể ở hình 1 ta có: Tam giác ABC vuông tại A suy ra:

\(h^2=b'.c'\) 

Định lý 3: Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng.

Cụ thể ở hình 1 ta có: Tam giác ABC vuông tại A suy ra:

\(b.c=a.h\)

Định lý 4: Trong một tam giác vuông, nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông.

Cụ thể ở hình 1 ta có: Tam giác ABC vuông tại A suy ra:

\(\frac{1}{h^2}=\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\) hay  \(h=\frac{b.c}{\sqrt{b^2+c^2}}\)

Chú ý: Trong các ví dụ và các bài tập tính toán bằng số của chương này, các số đo độ dài ở mỗi bài nếu không ghi đơn vị ta quy ước là cùng đơn vị đo.

Câu 1: Tính: \(x, y\) ở hình dưới đây

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lý 1 ta có: \(x^2=3,6.(3,6+6,4)=3,6.10=36\Rightarrow x=6\) 

Tương tự: \(y^2=6,4.(3,6+6,4)=6,4.10=64\Rightarrow y=8\)

Câu 2: Tính: \(x,y\)

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lý số 2, ta có: \(4^2=2.y\Rightarrow y=8\).

Áp dụng định lý 1, ta có: \(x^2=2.(2+8)=2.10=20\Rightarrow x=2\sqrt{5}\)

Câu 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB:AC = 3:4 và AH=12. Tính chu vi tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

Đặt: \(AB=3k, AC=4k\Rightarrow BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{9k^2+16k^2}=5k\) 

Áp dụng định lý 3, ta có: \(AB.AC=BC.AH\Leftrightarrow 3k.4k=5k.12\Rightarrow k=5\)

\(\Rightarrow AB=15; AC=20; BC=25\) và \(P=60\)

Câu 4: Tính: \(x,y\)

Hướng dẫn giải

 Áp dụng định lý 4, ta có: \(\frac{1}{x^2}=\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\Rightarrow x=\frac{b.c}{\sqrt{b^2+c^2}}=\frac{3.4}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{12}{5}\)

Áp dụng định lý 3, ta có: \(x.y=3.4\Rightarrow y=\frac{3.4}{x}=\frac{12}{\frac{12}{5}}=5\)

(có thể tính \(y\) trước bằng định lý pi-ta-go sau đó tính \(x\))

Câu 1: Tính x, y trong mỗi hình sau

Câu 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB : AC = 7 : 24, BC = 625 cm. Tính độ dài hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

Câu 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AC = 20 cm, BH = 9cm. Tính độ dài BC và AH

Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB/AC = 20/21 và AH = 420. Tính chu vi tam giác ABC

Câu 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH

Cho biết AC/AB = √2; HC - HB = 2cm.Tính:

a) Tỉ số HC : HB

b) Các cạnh của tam giác ABC

Câu 1. Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. AB = 9cm, AC = 12cm. Tìm khẳng định sai 

A. BC =15cm

B. AH=6,2cm

C. BH=5,4cm

D. CH=9,6cm

Câu 2. Cho tam giác OEF vuông tại O có đường cao OI. Có IE =3, IF =12. Tính OE,OF

A. \(OE=3\sqrt5;OF=6\sqrt5\)

B. \(OE=5\sqrt3;OF=3\sqrt2\)

C. \(OE=4\sqrt2;OF=6\sqrt3\)

D. Một đáp số khác

Câu 3. Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AI có AB = 13, AI = 12. Diện tích tam giác ABC là:

A. 90,8

B. 189,5

C. 202,8

D. 220

Câu 4. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH=12, Biết BH-CH=7. Độ dài cạnh BC là bao nhiêu

A. BC=23

B. BC=24

C. BC=25

D. BC=26

Câu 5. Tam giác vuông ABC có: AB:AC lần lượt tỉ lệ với 3:4. Biết AH=6. Cạnh BC có độ dài là bao nhiêu

A. BC=11,5

B. BC=12

C. BC=12,5

D. BC=13

Qua bài học này, các em cần nắm được những nội dung sau:

• Nắm vững hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền, một số hệ thức liên quan đến đường cao.
• Làm được các bài Toán liên quan.