Toán 11 Chương 3 Bài 2: Dãy số

Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em khái niệm mới, cơ sở để các em học phân môn Giải tích trong chương trình Toán 11 là dãy số. Thông qua các ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết các em sẽ nắm được phương pháp giải bài tập của nội dung này.

Toán 11 Chương 3 Bài 2: Dãy số

1. Tóm tắt lý thuyết

1.1. Dãy số

Dãy số là tập hợp các giá trị của hàm số \(u:\mathbb{N}* \to \mathbb{R},{\rm{ }}n \to u(n)\)

Được sắp xếp theo thứ tự tăng dần liên tiếp theo đối số tự nhiên \(n\):

\(u(1),u(2),u(3),...,u(n),...\)

  • Ta kí hiệu \(u(n)\) bởi \({u_n}\) và gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát của dãy số, \({u_1}\) được gọi là số hạng đầu của dãy số.
  • Ta có thể viết dãy số dưới dạng khai triển \({u_1},{u_2},...,{u_n},...\) hoặc dạng rút gọn \(({u_n})\).

1.2. Cách cho dãy số

Người ta thường cho dãy số theo các cách:

Cho số hạng tổng quát, tức là: cho hàm số u xác định dãy số đó

Cho bằng công thức truy hồi, tức là:

  • Cho một vài số hạng đầu của dãy
  • Cho hệ thức biểu thị số hạng tổng quát qua số hạng (hoặc một vài số hạng) đứng trước nó.

1.3. Dãy số tăng, dãy số giảm

  • Dãy số \(({u_n})\) gọi là dãy tăng nếu \({u_n} < {u_{n + 1}}{\rm{  }}\forall n \in \mathbb{N}*\)
  • Dãy số \(({u_n})\) gọi là dãy giảm nếu \({u_n} > {u_{n + 1}}{\rm{  }}\forall n \in \mathbb{N}*\)

1.4. Dãy số bị chặn

  • Dãy số \(({u_n})\) gọi là dãy bị chặn trên nếu có một số thực \(M\) sao cho \({u_n} < M{\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N}*\).
  • Dãy số \(({u_n})\) gọi là dãy bị chặn dưới nếu có một số thực \(m\) sao cho \({u_n} > m{\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N}*\).
  • Dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới gọi là dãy bị chặn, tức là tồn tại số thực dương  \(M\) sao cho \(\left| {{u_n}} \right| < M{\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N}*\).

2. Bài tập minh họa

2.1. Bài tập 1

Cho hàm số \(\displaystyle f(n) ={1 \over {2n - 1}}\), n ∈ N*. Tính f(1), f(2), f(3), f(4), f(5).

Hướng dẫn giải

\(\eqalign{
& f(1) = {1 \over {2.1 - 1}} = {1 \over {2 - 1}} = {1 \over 1} = 1 \cr
& f(2) = {1 \over {2.2 - 1}} = {1 \over {4 - 1}} = {1 \over 3} \cr
& f(3) = {1 \over {2.3 - 1}} = {1 \over {6 - 1}} = {1 \over 5} \cr
& f(4) = {1 \over {4.2 - 1}} = {1 \over {8 - 1}} = {1 \over 7} \cr
& f(5) = {1 \over {5.2 - 1}} = {1 \over {10 - 1}} = {1 \over 9} \cr} \)

2.2. Bài tập 2

Cho các dãy số (un) và (vn) với un = 1 + \({1 \over n}\); v= 5n – 1.

a) Tính un+1, vn+1.

b) Chứng minh un+1 < un và vn+1 > vn, với mọi n ∈ N*.

Hướng dẫn giải

a) un = 1 + \({1 \over {n+1}}\); vn+1= 5(n + 1) - 1 = 5n + 4

b) Ta có:

\({u_{n + 1}} - {u_n} = (1 + {1 \over {n + 1}}) - (1 + {1 \over n}) \) \(= {1 \over {n + 1}} - {1 \over n}  = \frac{{n - \left( {n + 1} \right)}}{{n\left( {n + 1} \right)}}= {{ - 1} \over {n(n + 1)}}<0\)

⇒ un+1 - un < 0 ⇒ un+1 < un , ∀n ∈ N*

\({v_{n + 1}} - {v_n} \) \(= (5n + 4) - (5n - 1) = 5 > 0\)

⇒ vn+1 - vn > 0 ⇒ vn+1 > vn ,∀n ∈ N*

2.3. Bài tập 3

Chứng minh các bất đẳng thức \(\displaystyle{n \over {{n^2} + 1}} \le {1 \over 2};\,\,\,{{{n^2} + 1} \over {2n}} \ge 1\) với mọi n∈N*.

Hướng dẫn giải

\(\eqalign{
& {{{n^2}} \over {{n^2} + 1}} - {1 \over 2} = {{2n - ({n^2} + 1)} \over {2({n^2} + 1)}} \cr & = \frac{{ - {n^2} + 2n - 1}}{{2\left( {{n^2} + 1} \right)}} = \frac{{ - \left( {{n^2} - 2n + 1} \right)}}{{2\left( {{n^2} + 1} \right)}}\cr &= {{ - {{(n - 1)}^2}} \over {2({n^2} + 1)}} \le 0;\,\,\forall n \in {N^*} \cr
& \text{Vì } 2\left( {{n^2} + 1} \right) > 0\text { và } - {\left( {n - 1} \right)^2} \le 0,\forall n\in N^*\cr &\Rightarrow {n \over {{n^2} + 1}} \le {1 \over 2};\,\,\forall n \in {N^*} \cr
& {{{n^2} + 1} \over {2n}} - 1 = {{{n^2} + 1 - 2n} \over {2n}} \cr &= {{{{(n - 1)}^2}} \over {2n}} \ge 0;\,\,\forall n \in N* \cr
& \text{Vì } 2n > 0\text { và } {\left( {n - 1} \right)^2} \ge 0,\forall n\in N^*\cr & \Rightarrow {{{n^2} + 1} \over {2n}} \ge 1;\,\,\forall n \in {N^*} \cr} \)

3. Luyện tập

3.1. Bài tập tự luận

Câu 1: Viết 5 số hạng đầu và khảo sát tính tăng, giảm của các dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\) biết

a) \({u_n} = {10^{1 - 2n}}\) 

b) \({u_n} = {3^n} - 7\)

c) \({u_n} = \dfrac{{2n + 1}}{{{n^2}}}\)

Câu 2: Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) cho dưới đây, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn ?

a) \({u_n} = 2n - {n^2}\)

b) \({u_n} = n + \dfrac{1}{n}\)

Câu 3: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 5\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 3n - 2{\rm{ voi }} n\ge {\rm{1}}{\rm{.}}\end{array} \right.\)

a) Tìm công thức tính \({u_n}\) theo \(n\) 

b) Chứng minh \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng

Câu 4: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = {n^2} - 4n + 3.\)

a) Viết công  thức truy hồi của dãy số

b) Chứng minh dãy số bị chặn dưới

3.2. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho dãy số \((u_{n})\), biết \(u_{n}=cosn+sinn\)

Dãy số \((u_{n})\) bị chặn trên bởi số nào dưới đây?

A. 0

B. 1

C. \(\sqrt{2}\)

D. Không bị chặn trên.

Câu 2: Cho dãy số \((u_{n})\), biết \(u_{n}=sinn-cosn\)

Dãy số \((u_{n})\) bị chặn dưới bởi số nào dưới đây?

A. 0

B. -1

C. \(-\sqrt{2}\)

D. Không bị chặn dưới.

Câu 3: Cho dãy số \(u_{n}\), với \(u_{n}=(-1)^{n}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Dãy số \(u_{n}\) là dãy số tăng

B. Dãy số \(u_{n}\) là dãy số giảm

C. Dãy số \(u_{n}\) là dãy số bị chặn 

D. Dãy số \(u_{n}\) là dãy số không bị chặn.

Câu 4: Cho dãy số \(u_{n}\), biết \(u_{n}=\frac{-n}{n+1}\). Năm số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là:

A. \(-\frac{1}{2};-\frac{2}{3};-\frac{3}{4};-\frac{4}{5};-\frac{5}{6}\)

B. \(-\frac{2}{3};-\frac{3}{4};-\frac{4}{5};-\frac{5}{6};-\frac{6}{7}\)

C. \(\frac{1}{2};\frac{2}{3};\frac{3}{4};\frac{4}{5};\frac{5}{6}\)

D. \(\frac{2}{3};\frac{3}{4};\frac{4}{5};\frac{5}{6};\frac{6}{7}\)

Câu 5: Cho dãy số \(u_{n}\), biết \(u_{n}=\frac{n}{3^{n}-1}\). Năm số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là:

A. \(\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8}\)

B. \(\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{26}\)

C. \(\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{16}\)

D. \(\frac{1}{2};\frac{2}{3};\frac{3}{4}\)

3.3. Trắc nghiệm Online

Các em hãy luyện tập bài trắc nghiệm Dãy số Toán 11 sau để nắm rõ thêm kiến thức bài học.

Trắc Nghiệm

4. Kết luận

Qua bài học này, các em nắm được một số nội dung chính như sau:

  • Nắm được định nghĩa dãy số, biết cách cho dãy số, chứng minh dãy số tăng, dãy số giảm
  • Biết cách chứng minh dãy số bị chặn.
Ngày:15/08/2020 Chia sẻ bởi:An

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM