Toán 11 Chương 5 Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm

Ở bài 1, các em đã được tìm hiều về khái niệm đạo hàm và phương pháp tính đạo hàm bằng định nghĩa. Khuyết điểm của phương pháp này là rất khó áp dụng với các hàm số phức tạp, và phải trải qua nhiều công đoạn tính toán. Bài 2 Quy tắc tính đạo hàm sẽ giới thiệu đến các em công thức tính đạo hàm của các hàm số thường gặp và hàm hợp của chúng, các quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương. Bên cạnh đó là những ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em hình thành và rèn luyện kĩ năng tính đạo hàm.

Toán 11 Chương 5 Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm

1. Tóm tắt lý thuyết

1.1. Công thức

\((c)' = 0\)       ( \(c\) là hằng số);

\((x^n)' = nx^{n-1}\) (\(n\in {\mathbb N}^*, x ∈\mathbb R\));

\((\sqrt x)' =  \frac{1}{2\sqrt{x}}\) (\(x > 0\)).

1.2. Phép toán

\((u + v)' = u' + v' \)

\((u - v)' = u' - v'\)

\((uv)' = u'v + uv'\)

\((ku)' = ku'\) (\(k\) là hằng số)

\( \left ( \frac{u}{v} \right )^{^{'}}\) = \( \frac{u'v - uv'}{v^{2}}\) , ( \(v = v(x) ≠ 0\));

\( \left ( \frac{1}{v} \right )^{'}\) = \( \frac{-v'}{v^{2}}\) , ( \(v = v(x) ≠ 0\)).

1.3. Đạo hàm của hàm hợp

\(y_x' = y_u'.u_x'\)

Hệ quả

  • \(\left( {{u^n}} \right)' = n.{u^{n - 1}}.u'\); 
  • \((\sqrt u)' =  \frac{u'}{2\sqrt{u}}\).

2. Bài tập mminh họa

2.1. Bài tập 1

Bằng định nghĩa, tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = 7 + x - x^2\) tại \(x_0 = 1\)

b) \(y =  x^3- 2x + 1\) tại \(x_0= 2\)

Hướng dẫn giải

a) Giả sử  \(∆x\)  là số gia của đối số tại \(x_0= 1\). Ta có:

\(\begin{array}{l}\Delta y = f\left( {1 + \Delta x} \right) - f\left( 1 \right)\\\Delta y = 7 + \left( {1 + \Delta x} \right) - {\left( {1 + \Delta x} \right)^2} - 7\\\Delta y = 1 + \Delta x - 1 - 2\Delta x - {\left( {\Delta x} \right)^2} \\\Delta y = -{\left( {\Delta x} \right)^2}  - \Delta x\\\Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = -\Delta x - 1\\\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( -{\Delta x - 1} \right) = - 1\end{array}\)

Vậy \(f'(1) = -1\).

b) Giả sử  \(∆x\)  là số gia của số đối tại \(x_0= 2\). Ta có:

\(\begin{array}{l}
\Delta y = f\left( {2 + \Delta x} \right) - f\left( 2 \right)\\
\Delta y = {\left( {2 + \Delta x} \right)^3} - 2\left( {2 + \Delta x} \right) + 1 - 5\\
\Delta y = 8 + 12\Delta x + 6{\left( {\Delta x} \right)^2} + {\left( {\Delta x} \right)^3} - 4 - 2\Delta x - 4\\
\Delta y = {\left( {\Delta x} \right)^3} + 6{\left( {\Delta x} \right)^2} + 10\Delta x\\
\Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = {\left( {\Delta x} \right)^2} + 6\Delta x + 10\\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {{\left( {\Delta x} \right)^2} + 6\Delta x + 10} \right) = 10
\end{array}\)

Vậy \(f'(2) = 10\).

2.2. Bài tập 2

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = x^5- 4 x^3+ 2x - 3\)

b) \(y =  \dfrac{1}{4} -  \dfrac{1}{3}x  + x^2 - 0,5x^4\)

Hướng dẫn giải

a) 

\(\begin{array}{l}
y' = \left( {{x^5} - 4{x^3} + 2x - 3} \right)'\\
= \left( {{x^5}} \right)' - \left( {4{x^3}} \right)' + \left( {2x} \right)' - \left( 3 \right)'\\
= \left( {{x^5}} \right)' - 4.\left( {{x^3}} \right)' + 2.\left( x \right)' - 0\\
= 5{x^4} - 4.3{x^2} + 2\\
= 5{x^4} - 12{x^2} + 2
\end{array}\)

b) 

\(\begin{array}{l}
y' = \left( {\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{3}x + {x^2} - 0,5{x^4}} \right)'\\
= \left( {\dfrac{1}{4}} \right)' - \left( {\dfrac{1}{3}x} \right)' + \left( {{x^2}} \right)' - \left( {0,5{x^4}} \right)'\\
= 0 - \dfrac{1}{3}\left( x \right)' + \left( {{x^2}} \right)' - 0,5\left( {{x^4}} \right)'\\
= - \dfrac{1}{3} + 2x - 0,5.4{x^3}\\
= - \dfrac{1}{3} + 2x - 2{x^3}
\end{array}\)

2.3. Bài tập 3

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y =  \dfrac{x^{3}}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\) ( \(a\) là hằng số)

b) \(y =  \dfrac{1+x}{\sqrt{1-x}}\)

Hướng dẫn giải

a)

\(\begin{array}{l}
y = \dfrac{{{x^3}}}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}\,\,\left( {a = const} \right)\\y' = \dfrac{{\left( {{x^3}} \right)'\sqrt {{a^2} - {x^2}}  - {x^3}\left( {\sqrt {{a^2} - {x^2}} } \right)'}}{{{{\left( {\sqrt {{a^2} - {x^2}} } \right)}^2}}}\\y' = \dfrac{{3{x^2}\sqrt {{a^2} - {x^2}}  - {x^3}.\dfrac{{\left( {{a^2} - {x^2}} \right)'}}{{2\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}}}{{{{\left( {\sqrt {{a^2} - {x^2}} } \right)}^2}}}\\
y' = \dfrac{{3{x^2}\sqrt {{a^2} - {x^2}} - {x^3}.\dfrac{{ - 2x}}{{2\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}}}{{{a^2} - {x^2}}}\\
y' = \dfrac{{3{x^2}\left( {{a^2} - {x^2}} \right) + {x^4}}}{{{{\left( {\sqrt {{a^2} - {x^2}} } \right)}^3}}}\\
y' = \dfrac{{3{x^2}{a^2} - 2{x^4}}}{{{{\left( {\sqrt {{a^2} - {x^2}} } \right)}^3}}}\\
\end{array}\)

b) Với \(\Delta x\) là số gia của đối số tại \(x\) ta có:

\(\begin{array}{l}\Delta y = f\left( {x + \Delta x} \right) - f\left( x \right)\\ = \sqrt {3\left( {x + \Delta x} \right) + 1}  - \sqrt {3x + 1} \\ = \dfrac{{3\left( {x + \Delta x} \right) + 1 - \left( {3x + 1} \right)}}{{\sqrt {3\left( {x + \Delta x} \right) + 1}  + \sqrt {3x + 1} }}\\ = \dfrac{{3\Delta x}}{{\sqrt {3\left( {x + \Delta x} \right) + 1}  + \sqrt {3x + 1} }}\\ \Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{3}{{\sqrt {3\left( {x + \Delta x} \right) + 1}  + \sqrt {3x + 1} }}\\ \Rightarrow y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{3}{{\sqrt {3\left( {x + \Delta x} \right) + 1}  + \sqrt {3x + 1} }}\\ = \dfrac{3}{{\sqrt {3\left( {x + 0} \right) + 1}  + \sqrt {3x + 1} }}\\ = \dfrac{3}{{2\sqrt {3x + 1} }}\end{array}\)

3. Luyện tập

3.1. Bài tập tự luận

Câu 1: Tìm đạo hàm của các hàm số sau: \(\displaystyle y = {2 \over x} - {4 \over {{x^2}}} + {5 \over {{x^3}}} - {6 \over {7{x^4}}}.\)

Câu 2: Tìm đạo hàm của hàm số sau:

a) \(y = \left( {9 - 2x} \right)\left( {2{x^3} - 9{x^2} + 1} \right).\)

b) \(y = {{5 - 3x - {x^2}} \over {x - 2}}.\)

Câu 3: Tìm đạo hàm của hàm số sau:

\(y = \left( {{x^2} + 1} \right){\left( {{x^3} + 1} \right)^2}{\left( {{x^4} + 1} \right)^3}.\)

Câu 4: Rút gọn: 

\(f\left( x \right) = \left( {{{x - 1} \over {2\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} + 1} \right).{2 \over {\sqrt x  + 1}}\) \(:{\left( {{{\sqrt {x - 2} } \over {\sqrt {x + 2}  + \sqrt {x - 2} }} + {{x - 2} \over {\sqrt {{x^2} - 4}  - x + 2}}} \right)^2}\) và tìm f'(x)

3.2. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho hàm số \(f(x)=\frac{1}{3}x^{3}-2\sqrt{2}x^{2}+8x-1\), có đao hàm là \(f'(x)\). Tập hợp những giá trị của x để \(f'(x)=0\) là:

A. \(\left \{ -2\sqrt{2} \right \}\)

B. \(\left \{ 2;\sqrt{2} \right \}\)

C. \(\left \{ -4\sqrt{2} \right \}\)

D. \(\left \{ 2\sqrt{2} \right \}\)

Câu 2: Cho hàm số \(y=3x^{3}+x^{2}+1\), có đạo hàm \(y'\). Để \(y'\leq 0\) thì x nhận các giá trị thuộc tập nào sau đây?

A. \([-\frac{2}{9};0]\)

B. \([-\frac{9}{2};0]\)

C. \(\left ( -\infty ;-\frac{9}{2} \right ]\cup \left [ 0;+\infty  \right )\)

D. \(\left ( -\infty ;-\frac{2}{9} \right ]\cup \left [ 0;+\infty  \right )\)

Câu 3: Tính đạo hàm của hàm số \(f(x)=-x^{4}+4x^{3}-3x^{2}+2x+1\) tại điểm \(x=-1\)

A. \(f'(-1)=4\)

B. \('(-1)=14\)

C. \(f'(-1)=15\)

D. \(f'(-1)=24\) 

Câu 4: Cho hàm số \(\frac{1}{3}x^{3}-(2m+1)x^{2}-mx-4\), có đạo hàm \(y'\). Tìm tất cả các giá trị của m \(y'\geq 0\) với \(\forall x\in \mathbb{R}\)

A. \(m\in (-1;-\frac{1}{4})\)

B. \(m\in [-1;-\frac{1}{4}]\)

C. \(m\in \left ( -\infty ;-1 \right ]\cup \left [ \frac{-1}{4};+\infty  \right )\)

D. \(m\in [-1;\frac{1}{4}]\)

Câu 5: Cho hàm số \(y=-\frac{1}{3}mx^{3}+(m-1)x^{2}-mx+3\), có đạo hàm là \(y'\). Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình \(y'=0\) có hai nghiệm phân biệt là \(x_{1},x_{2}\) thỏa mãn \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=6\).

A. \(m=-1+\sqrt{2};m=-1-\sqrt{2}\)

B. \(m=-1-\sqrt{2}\)

C. \(m=1+\sqrt{2};m=1-\sqrt{2}\)

D. \(m=-1+\sqrt{2}\)

4. Kết luận

Qua bài học này, các em nắm được một số nội dung chính như sau:

  • Nắm vững công thức tính đạo hàm của 1 số hàm số thường gặp, các phép toán đạo hàm: tổng, hiệu, tích, thương và nắm được khái niệm hàm số hợp, công thức tính đạo hàm của hàm số hợp.
  • Biết vận dụng các công thức về: đạo hàm của 1 số hàm số thường gặp , các phép toán đạo hàm: tổng, hiệu, tích, thương và công thức tính đạo hàm của hàm số hợp.
Ngày:17/08/2020 Chia sẻ bởi:Minh Ngoan

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM