Toán 11 Chương 5 Bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác

Hàm số \(y=sin x\) có đạo hàm tại mọi \(x \in \mathbb{R}\) và \(\left( {\sin x} \right)' = \cos x.\)

Nếu \(y=sin u\) và \(u=u(x)\) thì \((sin u)'=u'. \cos u.\)

Hàm số \(y=\cos x\) có đạo hàm tại mọi \(x \in \mathbb{R}\) và \(\left( {\cos x} \right)' =-\sin x.\)

Nếu \(y=\cos u\) và \(u=u(x)\) thì \((cos u)'=-u'. \sin u.\)

Hàm số \(y=\tan x\) có đạo hàm tại mọi \(x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{R}\) và \(\left( {\tan x} \right)' = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}.\)

Nếu \(y=tan u\) và \(u=u(x)\) thì \(\left( {\tan u} \right)' = \frac{{u'}}{{{{\cos }^2}u}}.\)

Hàm số \(y=\cot x\) có đạo hàm tại mọi \(x \ne k\pi ,k \in \mathbb{R}\) và \(\left( {\cot x} \right)' = - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}.\)

Nếu \(y=\cot u\) và \(u=u(x)\) thì \(\left( {\cot x} \right)' = - \frac{{u'}}{{{{\sin }^2}u}}\).

Tính đạo hàm của hàm số

a) \(y = \sin ({\pi  \over 2} - x)\)

b) \(f(x) = {{\sin \,x} \over {\cos \,x}}\,(x \ne {\pi  \over 2} + k\pi ;\,k \in Z)\)

c) y = tan (\({\pi  \over 2}\) – x) với x ≠ kπ, k ∈ Z

Hướng dẫn giải

a) y' = (sin⁡(\({\pi  \over 2}\) - x) )'

Đặt u = \({\pi  \over 2}\) - x thì u' = -1

y' = u' cos⁡u = -1 cos⁡(\({\pi  \over 2}\) - x) = -sin⁡x (do cos⁡(\({\pi  \over 2}\) - x) = sin⁡x ).

b) 

\(\eqalign{
& f'(x) = ({{\sin \,x} \over {\cos \,x}}) '= {{(\sin \,x)'\cos \,x - \sin \,x.(\cos \,x)'} \over {\cos {\,^2}x}} \cr
& = {{\cos {\,^2}x + {{\sin }^2}x} \over {\cos {\,^2}x}} = {1 \over {\cos {\,^2}x}} \cr} \)

c) Đặt u = \({\pi  \over 2}\) - x thì u' = -1

\(y' = {{u'} \over {{{\cos }^2}u}} = {{ - 1} \over {{{\cos }^2}u}} = {{ - 1} \over {{{\cos }^2}({\pi  \over 2} - x)}} = {{ - 1} \over {{{\sin }^2}x}}\) (do cos⁡(\({\pi  \over 2}\)-x) = sin⁡x)

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y =  \dfrac{x-1}{5x-2}\)

b) \(y =  \dfrac{2x+3}{7-3x}\)

Hướng dẫn giải

a) 

\(\begin{array}{l}\,\,y = \dfrac{{x - 1}}{{5x - 2}}\\ \Rightarrow y' = \dfrac{{\left( {x - 1} \right)'\left( {5x - 2} \right) - \left( {x - 1} \right)\left( {5x - 2} \right)'}}{{{{\left( {5x - 2} \right)}^2}}}\\y' = \dfrac{{\left( {5x - 2} \right) - 5\left( {x - 1} \right)}}{{{{\left( {5x - 2} \right)}^2}}}\\\,\,\,\,\,\,y' = \dfrac{{5x - 2 - 5x + 5}}{{{{\left( {5x - 2} \right)}^2}}}\\\,\,\,\,\,\,y' = \dfrac{3}{{{{\left( {5x - 2} \right)}^2}}}\\\end{array}\)

b) 

\(\begin{array}{l}\,\,y = \dfrac{{2x + 3}}{{7 - 3x}}\\ \Rightarrow y' = \dfrac{{\left( {2x + 3} \right)'\left( {7 - 3x} \right) - \left( {2x + 3} \right)\left( {7 - 3x} \right)'}}{{{{\left( {7 - 3x} \right)}^2}}}\\y' = \dfrac{{2\left( {7 - 3x} \right) - \left( {2x + 3} \right)\left( { - 3} \right)}}{{{{\left( {7 - 3x} \right)}^2}}}\\y' = \dfrac{{2\left( {7 - 3x} \right) + 3\left( {2x + 3} \right)}}{{{{\left( {7 - 3x} \right)}^2}}}\\\,\,\,\,\,\,y' = \dfrac{{14 - 6x + 6x + 9}}{{{{\left( {7 - 3x} \right)}^2}}}\\\,\,\,\,\,\,y' = \dfrac{{23}}{{{{\left( {7 - 3x} \right)}^2}}}\\\end{array}\)

Câu 1: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

\(\begin{array}{l}
a)\,\,y = \left( {9 - 2x} \right)\left( {2{x^3} - 9{x^2} + 1} \right)\\
b)\,\,y = \left( {6\sqrt x - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)\left( {7x - 3} \right)\\
c)\,\,y = \left( {x - 2} \right)\sqrt {{x^2} + 1} \\
d)\,y = {\tan ^2}x - {\cot}{x^2}\\
e)\,\,y = \cos \dfrac{x}{{1 + x}}
\end{array}\)

Câu 2: Tìm đạo hàm của hàm số sau:

a) \(y = \sqrt {{{\tan }^3}x} .\)

b) \(y = {2 \over {\cos \left( {{\pi  \over 6} - 5x} \right)}}.\)

c) \(y = \sqrt x  + {1 \over {\sqrt x }} + 0,1{x^{10}}.\)

Câu 3: Tìm đạo hàm của hàm số sau:

a) \(g\left( \varphi  \right) = {{\cos \varphi  + \sin \varphi } \over {1 - \cos \varphi }}.\)

b) \(y = {\sin ^2}3x + {1 \over {{{\cos }^2}x}}.\)

c) \(y = \sqrt {x + \sqrt {x + \sqrt x } } .\)

Câu 4: Giải phương trình \(f'\left( x \right) = 0,\) biết rằng

a) \(f\left( x \right) = 3x + {{60} \over x} - {{64} \over {{x^3}}} + 5\)

b) \(\displaystyle f\left( x \right) = {{\sin 3x} \over 3} + \cos x\) \(\displaystyle - \sqrt 3 \left( {\sin x + {{\cos 3x} \over 3}} \right).\)

Câu 1: Tính đạo hàm của hàm số \(y=sin(sinx)\)

A. \(y'=cos(sinx)\)

B. \(y'=cos(cosx)\)

C. \(y'=cosx.cos(sinx)\)

D. \(y'=cosx.cos(cosx)\)

Câu 2: Tính đạo hàm của hàm số \(y=cos(tanx)\)

A. \(y'=sin(tanx).\frac{1}{cos^{2}x}\)

B. \(y'=-sin(tanx).\frac{1}{cos^{2}x}\)

C. \(y'=sin(tanx)\)

D. \(y'=-sin(tanx)\)

Câu 3: Đạo hàm của hàm số \(y=\sqrt{sin^{3}(2x+1)}\) bằng biểu thức nào sau đây?

A. \(\frac{3sin^{2}(2x+1)}{2\sqrt{sin^{3}(2x+1)}}\)

B. \(3\sqrt{sin(2x+1)} cos(2x+1)\)

C. \(\frac{3sin^{2}2(2x+1)}{2\sqrt{sin^{3}(2x+1)}}\)

D. \(3 \sqrt{sin(2x+1)}\)

Câu 4: Tính đạo hàm của hàm số \(y=-\frac{1}{2}sin(\frac{\pi}{3}-x^{2})\)

A. \(y'=xcos(\frac{\pi}{3}-x^{2})\)

B. \(y'=\frac{1}{2} x^{2}cos(\frac{\pi}{3}-x^{2})\)

C. \(y'=\frac{1}{2} xsin(\frac{\pi}{3}-x^{2})\)

D. \(y'=\frac{1}{2} xcos(\frac{\pi}{3}-x^{2})\)

Câu 5: Đạo hàm của hàm số \(y=\sqrt{3+2tanx}\) bằng biểu thức nào sau đây?

A. \(\frac{1}{sin^{2}x \sqrt{3+2tanx}}\)

B. \(\frac{-1}{sin^{2}x \sqrt{3+2tanx}}\)

C. \(\frac{1}{cos^{2}x \sqrt{3+2tanx}}\)

D. \(\frac{1}{cosx \sqrt{3+2tanx}}\)

Qua bài học này, các em nắm được một số nội dung chính như sau:

• Biết vận dụng định nghĩa và các quy tắc đạo hàm để chứng minh đạo hàm của một số hàm phân thức và lượng giác, suy ra các công thức đạo hàm của hàm số hợp trong vài trường hợp đặc biệt thường dùng.
• Nắm vững cách chứng minh các quy tắc đó , nắm vững kết quả giới hạn lượng giác .