Toán 11 Chương 1 Bài 2: Phép tịnh tiến

Trong mặt phẳng, cho vectơ \(\overrightarrow v  = \left( {a;b} \right)\) . Phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v  = \left( {a;b} \right)\) là phép biến hình, biến một điểm M thành một điểm M’ sao cho \(\overrightarrow {MM'}  = \overrightarrow v .\)

Ký hiệu: \({T_{\overrightarrow v }}(M) = M'\) hoặc \({T_{\overrightarrow v }}:M \to M'\).\(\)\(\)\(\)

a) Tính chất 1

Định lý 1: Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M, N thành hai điểm M’, N’ thì MN=M’N’.

b) Tính chất 2

Định lý 2: Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm đó.

Hệ quả: Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng, biến một tia thành một tia, biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó, biến một tam giác thành một tam giác bằng nó, biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính , biến một góc thành một góc bằng nó .

Giả sử cho \(\overrightarrow v  = \left( {a;b} \right)\) và một điểm M(x;y).

Phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v \)  biến điểm M thành điểm M’ thì M’ có tọa độ là: \(\left\{ \begin{array}{l}x' = a + x\\y' = y + b\end{array} \right.\)

Câu 1. Trong mặt phẳng Oxy, tìm ảnh A’, B’ của điểm A(2;3), B(1;1) qua phép tịnh tiến theo vectơ \({\rm{\vec u  =  (3;1)}}.\) Tính độ dài các vectơ \(\overrightarrow {{\rm{AB}}} {\rm{ }},{\rm{ }}\overrightarrow {{\rm{A'B'}}} {\rm{ }}.\)

Hướng dẫn giải

Ta có: 

\({\rm{A' = }}{{\rm{T}}_{{\rm{\vec u}}}}(A) = (5;4){\rm{ }}{\rm{, B' = }}{{\rm{T}}_{{\rm{\vec u}}}}(B) = (4;2){\rm{ }} \\ \Rightarrow {\rm{AB = }}\left| {\overrightarrow {{\rm{AB}}} } \right|\, = \sqrt 5 \\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{\rm{A'B'}}} } \right|\, = \sqrt 5 {\rm{ }}{\rm{.}}\)

Câu 2. Đường thẳng d cắt Ox tại A(-4;0), cắt Oy tại B(0;5). Viết phương trình tham số của d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v  = \left( {5;1} \right).\)

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d có một VTCP là: \(\overrightarrow {{u_d}}  = \overrightarrow {AB}  = (4;5)\)

Vì \({T_{\overrightarrow v }}(d) = d' \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}'} = \overrightarrow {{u_d}} = (4;5)\)

Gọi

\({T_{\overrightarrow v }}(A) = A' \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = {x_A} + 5 = 1\\{y_{A'}} = {y_A} + 1 = 1\end{array} \right. \\ \Rightarrow A'(1;1)\)

Vì \(A \in d \Rightarrow A' \in d' \Rightarrow d':\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4t\\y = 1 + 5t\end{array} \right.\,\,(t \in \mathbb{R})\)

Câu 3: Tìm phương trình đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d: \(x - 2y + 3 = 0\) qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v  = ( - 1;2).\)

Hướng dẫn giải

• Cách 1:

 Gọi \(M(x;y) \in d,{T_{\overrightarrow v }}(M) = M'(x';y') \in d'\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = x - 1\\y' = y + 2\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = x' + 1\\y = y' - 2\end{array} \right. \Rightarrow M(x' + 1;y' - 2) \in d\\ \Rightarrow x' - 2y' + 8 = 0.\end{array}\)

Vậy phương trình d’ là: \(x - 2y + 8 = 0.\)

• Cách 2:

\({T_{\overrightarrow v }}(d) = d' \Rightarrow d'//d \Rightarrow d':x - 2y + c = 0\)

Chọn

\(M( - 3;0) \in d \\ \Rightarrow {T_{\overrightarrow v }}(M) = M'(x';y')\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = - 3 - 1 = - 4\\y' = 0 + 2 = 0\end{array} \right.\\ \Rightarrow M'( - 4;2).\)

Mà \(M' \in d' \Rightarrow  - 4 - 2.2 + c = 0 \Leftrightarrow c = 8 \Rightarrow d':x - 2y + 8 = 0.\)

Câu 4. Cho đường tròn \((C):{(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} = 4.\) Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v  = \left( { - 2;2} \right).\)

Hướng dẫn giải

• Cách 1:

Đường tròn (C) có tâm I(2;1) bán kính R=2.

Ta có: \({T_{\overrightarrow v }}(C) = C' \Rightarrow {R_{C'}} = R = 2\)

\({T_{\overrightarrow v }}(I) = I' \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{I'}} = {x_I} + ( - 2) = 0\\{y_{I'}} = {y_I} + 2 = 3\end{array} \right. \Rightarrow I'(0;3)\)

Vậy phương trình (C’) là: \({(x - 0)^2} + {(y - 3)^2} = 4.\)

• Cách 2:

Gọi:

\({T_{\overrightarrow v }}\left( {M(x,y) \in (C)} \right) = M'(x';y') \in (C') \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = x - 1\\y' = y + 2\end{array} \right. \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = x' + 2\\y = y' - 2\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow M(x' + 2;y' - 2)\)

\(M \in \left( C \right) \Rightarrow x{'^2} + {(y' - 3)^2} = 4 \Rightarrow (C'):{x^2} + {(y - 3)^2} = 4.\)

Câu 1: Trong mặt phẳng Oxy, tìm ảnh A’, B’ của điểm A(3;-2), B(-1;1) qua phép tịnh tiến theo vectơ \({\rm{\vec u\; = \;}}({\rm{2}};{\rm{3}}).\) Tính độ dài các vectơ \(\overrightarrow {{\rm{AB}}} ,\,\,\,\overrightarrow {{\rm{A'B'}}} .\)

Câu 2: Đường thẳng d cắt Ox tại A(3;0), cắt Oy tại B(0;-4). Viết phương trình tham số của d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\vec v{\rm{\;}} = \left( {1;4} \right).\)

Câu 3: Tìm phương trình đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d: \(x - 2y - 3 = 0\) qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\vec v{\rm{\;}} = ( - 2;3).\)

Câu 4: Cho đường tròn \((C):{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} = 9.\) Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\vec v{\rm{\;}} = \left( {1; - 1} \right).\)

Câu 5: Cho \({\mkern 1mu} \Delta :{\mkern 1mu} \,\,3x + y - 1 = 0;{\mkern 1mu} \,\,\,{\Delta _1}:\,\,\,3x + y - 3 = 0.\)

Tìm tọa độ \(\overrightarrow {\rm{w}} \) có phương vuông góc với d để \({d_1} = {T_{\overrightarrow {\rm{W}} }}(d).\)

Câu 1: Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. Phép tịnh tiến theo vecto v biến M thành M’ thì  \(\overrightarrow v  = \overrightarrow {MM'} \)

B. Phép tịnh tiến là phép đồng nhất khi vecto tịnh tiến là O→

C. Phép tịnh tiến theo vecto v biến M thành M’ và N thành N’ thì tứ giác MNM’N’ là hình bình hành

D. Phép tịnh tiến theo vecto v biến đường tròn (O;R) thành đường tròn (O;R)

Câu 2: Cho tam giác ABC có trọng tâm G, Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Mệnh đề nào sau đây là sai.

A. \({T_{1/2\overrightarrow {BC} }}\left( F \right) = E\)

B. \({T_{\overrightarrow {DE} }}\left( B \right) = F\)

C. \({T_{2\overrightarrow {DG} }}\left( A \right) = G\)

D. \({T_{1/2\overrightarrow {GA} }}\left( D \right) = G\)

Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ, phép tịnh tiến theo v→(1;2) biến điểm M (-1; 4) thành điểm M’ có tọa độ là:

A. M'(0;6) 

B. M’(6;0)

C. M’(0;0)  

D. M’(6; 6)

Câu 4: Tìm phương trình đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) là ảnh của \((C):{(x + 2)^2} + {(y - 1)^2} = 4\) qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v  = \left( {2;1} \right).\)

A. \({x^2} + {(y - 1)^2} = 4\)

B. \({x^2} + {(y + 1)^2} = 4\)                               

C. \({x^2} + {(y - 2)^2} = 4\)

D. \({x^2} + {(y + 2)^2} = 4\)

Câu 5: Hãy tìm vectơ \(\overrightarrow v  = \left( {a;b} \right)\) sao cho khi tịnh tiến đồ thị \(y = f(x) = {x^3} + 3x + 1\) theo \(\overrightarrow v \) ta nhận được đồ thị hàm số \(y = g(x) = {x^3} - 3{x^2} + 6x - 1.\)

A. \(\overrightarrow v  = \left( {1; - 2} \right)\)

B. \(\overrightarrow v  = \left( { - 1;2} \right)\)

C. \(\overrightarrow v  = \left( {1;2} \right)\)

D. \(\overrightarrow v  = \left( { - 1; - 2} \right)\)

Qua bài học này, các em cần nắm được những nội dung sau:

• Khái niệm, tính chất, biểu thức tọa độ và các dạng toán của Phép tịnh tiến.
• Làm được các dạng bài tập liên quan.