Giải bài tập SBT Toán 11 Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

eLib xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh nội dung giải bài tập bài Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm SBT Đại số 11 bên dưới đây. Thông qua tài liệu này các em vừa ôn tập được kiến thức vừa nâng cao kĩ năng làm bài hiệu quả để từ đó có phương pháp học tập phù hợp. Mời các em cùng tham khảo.

Giải bài tập SBT Toán 11 Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

1. Giải bài 5.1 trang 198 SBT Đại số & Giải tích 11

Sử dụng định nghĩa, hãy tìm đạo hàm của các hàm số sau: 

a) y = 3x - 5;

b) \( y = 4{x^2} - 0,6x + 7\);

c) \(y = 4x - {x^2}\);

d) \( y = \sqrt {3x + 1}\);

e) \(y = {1 \over {x - 2}}\)

f) \( y = {{1 + \sqrt x } \over {1 - \sqrt x }}.\)

Phương pháp giải:

- Bước 1. Với ∆x là số gia của số đối tại \(x_0\), tính \( ∆y = f(x_0+∆x)- f(x_0);\)

- Bước 2. Lập tỉ số \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x};\)

- Bước 3. Tính \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\)

Hướng dẫn giải:

Với \(\Delta x\) là số gia của đối số tại x ta có:

\( \begin{array}{l}\Delta y = f\left( {x + \Delta x} \right) - f\left( x \right)\\ = 3\left( {x + \Delta x} \right) - 5 - \left( {3x - 5} \right)\\ = 3x + 3\Delta x - 5 - 3x + 5\\ = 3\Delta x\\ \Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = 3\\ \Rightarrow y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = 3\end{array}\)

b) Với ∆x là số gia của đối số tại x ta có:

\( \begin{array}{l}\Delta y = f\left( {x + \Delta x} \right) - f\left( x \right)\\ = \left[ {4{{\left( {x + \Delta x} \right)}^2} - 0,6\left( {x + \Delta x} \right) + 7} \right]\\ - \left( {4{x^2} - 0,6x + 7} \right)\\ = 8x\Delta x + 4{\left( {\Delta x} \right)^2} - 0,6\Delta x\\ \Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = 8x + 4\Delta x - 0,6\\ \Rightarrow y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = 8x - 0,6\end{array}\)

c) Với ∆x là số gia của đối số tại x ta có:

\( \begin{array}{l}\Delta y = f\left( {x + \Delta x} \right) - f\left( x \right)\\ = \left[ {4\left( {x + \Delta x} \right) - {{\left( {x + \Delta x} \right)}^2}} \right] - \left( {4x - {x^2}} \right)\\ = 4\Delta x - 2x\Delta x - {\left( {\Delta x} \right)^2}\\ \Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = 4 - 2x - \Delta x\\ \Rightarrow y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = 4 - 2x\end{array}\)

d) Với ∆x là số gia của đối số tại x ta có:

\( \begin{array}{l}\Delta y = f\left( {x + \Delta x} \right) - f\left( x \right)\\ = \sqrt {3\left( {x + \Delta x} \right) + 1} - \sqrt {3x + 1} \\ = \dfrac{{3\left( {x + \Delta x} \right) + 1 - \left( {3x + 1} \right)}}{{\sqrt {3\left( {x + \Delta x} \right) + 1} + \sqrt {3x + 1} }}\\ = \dfrac{{3\Delta x}}{{\sqrt {3\left( {x + \Delta x} \right) + 1} + \sqrt {3x + 1} }}\\ \Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{3}{{\sqrt {3\left( {x + \Delta x} \right) + 1} + \sqrt {3x + 1} }}\\ \Rightarrow y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{3}{{\sqrt {3\left( {x + \Delta x} \right) + 1} + \sqrt {3x + 1} }}\\ = \dfrac{3}{{\sqrt {3\left( {x + 0} \right) + 1} + \sqrt {3x + 1} }}\\ = \dfrac{3}{{2\sqrt {3x + 1} }}\end{array}\)

e) Với ∆x là số gia của đối số tại x ta có:

\( \begin{array}{l}\Delta y = f\left( {x + \Delta x} \right) - f\left( x \right)\\ = \dfrac{1}{{x + \Delta x - 2}} - \dfrac{1}{{x - 2}}\\ = \dfrac{{x - 2 - x - \Delta x + 2}}{{\left( {x + \Delta x - 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}\\ = \dfrac{{ - \Delta x}}{{\left( {x + \Delta x - 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}\\ \Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{{ - 1}}{{\left( {x + \Delta x - 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}\\ \Rightarrow y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{ - 1}}{{\left( {x + \Delta x - 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}\\ = \dfrac{{ - 1}}{{\left( {x + 0 - 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}\\ = \dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\end{array}\)

f) Ta có: \(y = \dfrac{{1 + \sqrt x }}{{1 - \sqrt x }} = \dfrac{{2 - \left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{1 - \sqrt x }} = \dfrac{2}{{1 - \sqrt x }} - 1\)

Với ∆x là số gia của đối số tại x ta có:

\( \begin{array}{l}\Delta y = f\left( {x + \Delta x} \right) - f\left( x \right)\\ = \dfrac{2}{{1 - \sqrt {x + \Delta x} }} - 1 - \left( {\dfrac{2}{{1 - \sqrt x }} - 1} \right)\\ = \dfrac{2}{{1 - \sqrt {x + \Delta x} }} - \dfrac{2}{{1 - \sqrt x }}\\ = \dfrac{{2\left( {1 - \sqrt x } \right) - 2\left( {1 - \sqrt {x + \Delta x} } \right)}}{{\left( {1 - \sqrt {x + \Delta x} } \right)\left( {1 - \sqrt x } \right)}}\\ = \dfrac{{2\left( {\sqrt {x + \Delta x} - \sqrt x } \right)}}{{\left( {1 - \sqrt {x + \Delta x} } \right)\left( {1 - \sqrt x } \right)}}\\ = \dfrac{{2\left( {x + \Delta x - x} \right)}}{{\left( {1 - \sqrt {x + \Delta x} } \right)\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {\sqrt {x + \Delta x} + \sqrt x } \right)}}\\ = \dfrac{{2\Delta x}}{{\left( {1 - \sqrt {x + \Delta x} } \right)\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {\sqrt {x + \Delta x} + \sqrt x } \right)}}\\ \Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{2}{{\left( {1 - \sqrt {x + \Delta x} } \right)\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {\sqrt {x + \Delta x} + \sqrt x } \right)}}\\ \Rightarrow y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{2}{{\left( {1 - \sqrt {x + \Delta x} } \right)\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {\sqrt {x + \Delta x} + \sqrt x } \right)}}\\ = \dfrac{2}{{\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt x } \right)}}\\ = \dfrac{1}{{\sqrt x {{\left( {1 - \sqrt x } \right)}^2}}}\end{array}\)

2. Giải bài 5.2 trang 198 SBT Đại số & Giải tích 11

Cho \(f\left( x \right) = \root 3 \of {x - 1}\).  Tính \(f'\left( 0 \right);f'\left( 1 \right).\)

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm f'(x) và thay x = 0, x = 1 vào công thức vừa tính xong.

Hướng dẫn giải:

Với \(\Delta x\) là số gia của đối số tại \(x_0=0\) ta có:

\( \begin{array}{l}\Delta y = f\left( {0 + \Delta x} \right) - f\left( 0 \right)\\ = \sqrt[3]{{0 + \Delta x - 1}} - \sqrt[3]{{0 - 1}}\\ = \sqrt[3]{{\Delta x - 1}} + 1\\ \Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{{\sqrt[3]{{\Delta x - 1}} + 1}}{{\Delta x}}\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\sqrt[3]{{\Delta x - 1}} + 1}}{{\Delta x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta x - 1 + 1}}{{\Delta x\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{\Delta x - 1}}} \right)}^2} - \sqrt[3]{{\Delta x - 1}} + 1} \right]}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{1}{{{{\left( {\sqrt[3]{{\Delta x - 1}}} \right)}^2} - \sqrt[3]{{\Delta x - 1}} + 1}}\\ = \dfrac{1}{{1 + 1 + 1}} = \dfrac{1}{3}\\ \Rightarrow f'\left( 0 \right) = \dfrac{1}{3}\end{array}\)

Với \(\Delta x\) là số gia của đối số tại \(x_0=1\) ta có:

\( \begin{array}{l}\Delta y = f\left( {1 + \Delta x} \right) - f\left( 1 \right)\\ = \sqrt[3]{{1 + \Delta x - 1}} - \sqrt[3]{{1 - 1}}\\ = \sqrt[3]{{\Delta x}}\\ \Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{{\sqrt[3]{{\Delta x}}}}{{\Delta x}} = \dfrac{1}{{{{\left( {\sqrt[3]{{\Delta x}}} \right)}^2}}}\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{1}{{{{\left( {\sqrt[3]{{\Delta x}}} \right)}^2}}} = + \infty \end{array}\)

Do đó không tồn tại f'(1).

3. Giải bài 5.3 trang 198 SBT Đại số & Giải tích 11

Cho \(\varphi \left( x \right) = {8 \over x}\). Chứng minh rằng \(\varphi '\left( { - 2} \right) = \varphi '\left( 2 \right)\).

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm và thay x = -2, x = 2.

Hướng dẫn giải:

Với \(\Delta x\) là số gia của đối số tại x ta có:

\( \begin{array}{l}\Delta y = f\left( {x + \Delta x} \right) - f\left( x \right)\\ = \dfrac{8}{{x + \Delta x}} - \dfrac{8}{x}\\ = \dfrac{{8\left[ {x - \left( {x + \Delta x} \right)} \right]}}{{x.\left( {x + \Delta x} \right)}}\\ = \dfrac{{ - 8\Delta x}}{{x.\left( {x + \Delta x} \right)}}\\ \Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{{ - 8}}{{x.\left( {x + \Delta x} \right)}}\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{ - 8}}{{x.\left( {x + \Delta x} \right)}}\\ = \dfrac{{ - 8}}{{x\left( {x + 0} \right)}} = \dfrac{{ - 8}}{{{x^2}}}\\ \Rightarrow \varphi '\left( x \right) = - \dfrac{8}{{{x^2}}}\\ \Rightarrow \varphi '\left( 2 \right) = - \dfrac{8}{{{2^2}}} = - 2\\\varphi '\left( { - 2} \right) = - \dfrac{8}{{{{\left( { - 2} \right)}^2}}} = - 2\\ \Rightarrow \varphi '\left( 2 \right) = \varphi '\left( { - 2} \right)\end{array}\)

4. Giải bài 5.4 trang 198 SBT Đại số & Giải tích 11

Chứng minh rằng hàm số y = |x - 1| không có đạo hàm tại x = 1 nhưng liên tục tại điểm đó.

Phương pháp giải:

Hàm số y = f(x) liên tục tại \({x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)

Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại \({x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) tồn tại hữu hạn.

Hướng dẫn giải: 

Ta có:

\( \begin{array}{l}f\left( 1 \right) = 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{\left| {x - 1} \right| - 0}}{{x - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{x - 1}}{{x - 1}} = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{\left| {x - 1} \right| - 0}}{{x - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{ - x + 1}}{{x - 1}} = - 1\end{array}\)

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}\)

Do đó không tồn tại f'(1).

Lại có:

\( \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left| {x - 1} \right|\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x - 1} \right) = 1 - 1 = 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left| {x - 1} \right|\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( { - x + 1} \right) = - 1 + 1 = 0\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = 0\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = 0 = f\left( 1 \right)\end{array}\)

Do đó hàm số liên tục tại x = 1

Vậy ta có đpcm.

5. Giải bài 5.5 trang 198 SBT Đại số & Giải tích 11

Chứng minh rằng hàm số \( y = {\rm{sign}}x = \left\{ \matrix{ 1,\,\,{\rm{ nếu }}\,\,x > 0{\rm{ }} \hfill \cr 0,\,\,{\rm{ nếu }}\,\,x = 0 \hfill \cr - 1,\,\,{\rm{ nếu }}\,\,x < 0 \hfill \cr} \right.\) không có đạo hàm tại x = 0.

Phương pháp giải:

Chứng minh hàm số không liên tục tại x = 0 và suy ra kết luận.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\( \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} 1 = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - 1} \right) = - 1\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right)\end{array}\)

Do đó không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)\) nên hàm số không liên tục tại x = 0.

Do đó không có đạo hàm tại x = 0.

6. Giải bài 5.6 trang 198 SBT Đại số & Giải tích 11

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị của các hàm số

a) \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) tại điểm (-1; -2) 

b) \( y = {x^4} - 2{x^2}\) tại điểm có hoành độ x = -2.

(Đề thi tốt nghiệp THPT 2008)

c) \( y = {{2x + 1} \over {x - 2}} \) biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng - 5

(Đề thi tốt nghiệp THPT 2009)

Phương pháp giải:

a) Công thức phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là: \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\)

b) - Tìm hoành độ y0.

- Thay vào công thức phương trình tiếp tuyến \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\)

c) - Tìm tọa độ tiếp điểm M(x0; y0)

- Thay vào công thức phương trình tiếp tuyến \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\)

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

\( f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x \Rightarrow f'\left( { - 1} \right) = 9\)

Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(M\left( { - 1; - 2} \right)\) là:

\( y = f'\left( { - 1} \right)\left( {x + 1} \right) - 2 \\ \Leftrightarrow y = 9\left( {x + 1} \right) - 2 \\ \Leftrightarrow y = 9x + 7\)

b) Ta có:

\( f'\left( x \right) = 4{x^3} - 4x \Rightarrow f'\left( { - 2} \right) = 4.{\left( { - 2} \right)^3} - 4.\left( { - 2} \right) = - 24 \\ x = - 2 \Rightarrow y = f\left( { - 2} \right) = 8\)

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M (-2; 8) là:

\( y = f'\left( { - 2} \right)\left( {x + 2} \right) + 8 = - 24\left( {x + 2} \right) + 8 = - 24x - 40\)

Vậy y = - 24x - 40.

c) Ta có: \(y' = f'\left( x \right) = \dfrac{{ - 5}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\)

Gọi điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là tiếp điểm, khi đó \(f'\left( {{x_0}} \right) = k = - 5\)

\( \begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{ - 5}}{{{{\left( {{x_0} - 2} \right)}^2}}} = - 5\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_0} - 2} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} - 2 = 1\\{x_0} - 2 = - 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 3 \Rightarrow {y_0} = 7\\{x_0} = 1 \Rightarrow {y_0} = - 3\end{array} \right.\end{array}\)

Tại điểm (3; 7) ta có phương trình tiếp tuyến: \(y = - 5\left( {x - 3} \right) + 7\) hay y = - 5x + 22

Tại điểm (1; -3) ta có phương trình tiếp tuyến: \(y = - 5\left( {x - 1} \right) - 3\) hay y = - 5x + 2

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là y = - 5x + 2;y = - 5x + 22.

7. Giải bài 5.7 trang 199 SBT Đại số & Giải tích 11

Cho \(f(x) = 3x2 - 4x + 9\)

Tìm \(\dfrac{{\Delta f\left( x \right)}}{{\Delta x}}\) tại x = 1.

A. 2 - 3Δx       B. 2 + 3Δx

C. 1 + 3Δx       D. -2 + 5Δx

Phương pháp giải:

Tính Δf(1) ⇒ \(\dfrac{{\Delta f\left( x \right)}}{{\Delta x}}\)

Hướng dẫn giải:

Tại x = 1 ta có:

\( \begin{array}{l}\Delta f\left( 1 \right) = f\left( {1 + \Delta x} \right) - f\left( 1 \right)\\ = 3{\left( {1 + \Delta x} \right)^2} - 4\left( {1 + \Delta x} \right) + 9\\ - \left( {{{3.1}^2} - 4.1 + 9} \right)\\ = 6\Delta x + 3{\left( {\Delta x} \right)^2} - 4\Delta x\\ = 2\Delta x + 3{\left( {\Delta x} \right)^2}\\ \Rightarrow \dfrac{{\Delta f\left( x \right)}}{{\Delta x}} = \dfrac{{2\Delta x + 3{{\left( {\Delta x} \right)}^2}}}{{\Delta x}}\\ = 2 + 3\Delta x\end{array}\)

Chọn đáp án: B

8. Giải bài 5.8 trang 199 SBT Đại số & Giải tích 11

Cho hàm số y = sin2x. Tìm \(\dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\) tại \(x = \dfrac{\pi }{4}\)

A. \( - \dfrac{{2{{\sin }^2}\Delta x}}{{\Delta x}}\)

B. \(\dfrac{{\sin \Delta x}}{{\Delta x}}\)

C. \(\dfrac{{2{{\sin }^2}\Delta x}}{{\Delta x}}\)

D. \(\dfrac{{3{{\sin }^2}\Delta x}}{{\Delta x}}\)

Phương pháp giải:

Tính Δy tại \(x = \dfrac{\pi }{4}\) ⇒ \(\dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\).

Hướng dẫn giải:

Tại \(x = \dfrac{\pi }{4}\) ta có:

\( \begin{array}{l}\Delta y = f\left( {\dfrac{\pi }{4} + \Delta x} \right) - f\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right)\\ = \sin \left( {\dfrac{\pi }{2} + 2\Delta x} \right) - \sin \dfrac{\pi }{2}\\ = \cos \left( {2\Delta x} \right) - 1\\ = 1 - 2{\sin ^2}\Delta x - 1\\ = - 2{\sin ^2}\Delta x\\ \Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{{ - 2{{\sin }^2}\Delta x}}{{\Delta x}}\end{array}\)

Chọn đáp án: A

9. Giải bài 5.9 trang 199 SBT Đại số & Giải tích 11

Cho hàm số \(y = \left\{ \begin{array}{l}x\, \ nếu \,x < 0\\{x^2}\,\ nếu \,x \ge 0\end{array} \right.\)

Hãy tính:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ + }} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} \) tại x = 0;

b) \( \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ - }} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\) tại x = 0.

A. a) -1; b) 1       B. a) 1; b) 1

C. a) 0; b) 0       D. a) 0; b) 1

Phương pháp giải:

Tính Δy tại x = 0 ⇒ \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ + }} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} \) và \( \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ - }} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\)

Hướng dẫn giải:

a) Với x > 0 thì y = x2

Tại x = 0 ta có:

\( \begin{array}{l}\Delta y = {\left( {0 + \Delta x} \right)^2} - {0^2} = {\left( {\Delta x} \right)^2}\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ + }} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ + }} \dfrac{{{{\left( {\Delta x} \right)}^2}}}{{\Delta x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ + }} \left( {\Delta x} \right) = 0\end{array}\)

b) Với x < 0 thì y = x

Tại x = 0 ta có:

\( \begin{array}{l}\Delta y = 0 + \Delta x - 0 = \Delta x\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ - }} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ - }} \dfrac{{\Delta x}}{{\Delta x}} = 1\end{array}\)

Chọn đáp án: D

10. Giải bài 5.10 trang 199 SBT Đại số & Giải tích 11

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{{x^2} + 4x + 5}}{{x + 2}}\) tại điểm có hoành độ x = 0

A. \(y = \dfrac{3}{4}x - \dfrac{5}{2}\)

B. \(y = x + \dfrac{5}{2}\)

C. \(y = \dfrac{3}{4}x + 1\)

D. \(y = \dfrac{3}{4}x + \dfrac{5}{2}\)

Phương pháp giải:

Phương trình tiếp tuyến: y = f’(xo)(x - xo) + yo.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(y = \dfrac{{{x^2} + 4x + 5}}{{x + 2}} \\= \dfrac{{\left( {{x^2} + 4x + 4} \right) + 1}}{{x + 2}} \\= \dfrac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2} + 1}}{{x + 2}} \\= x + 2 + \dfrac{1}{{x + 2}}\)

\( \Rightarrow y' = 1 - \dfrac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)

Tại x = 0 thì \(y'\left( 0 \right) = 1 - \dfrac{1}{{{{\left( {0 + 2} \right)}^2}}} = \dfrac{3}{4}\) và \(y\left( 0 \right) = 0 + 2 + \dfrac{1}{{0 + 2}} = \dfrac{5}{2}\)

Phương trình tiếp tuyến: \(y = \dfrac{3}{4}\left( {x - 0} \right) + \dfrac{5}{2} \) hay \( y = \dfrac{3}{4}x + \dfrac{5}{2}.\)

Chọn đáp án: D

11. Giải bài 5.11 trang 199 SBT Đại số & Giải tích 11

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \sqrt {2x + 1}\), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng \(\dfrac13\).

A. \(y = \dfrac{x}{2} + \dfrac{5}{3}\)

B. \(y = \dfrac{x}{3} - \dfrac{5}{3}\)

C. \(y = \dfrac{x}{3} + \dfrac{5}{3}\)

D. y = x - 1

Phương pháp giải:

- Giải phương trình \(y'=\dfrac13\) để tìm tọa độ tiếp điểm.

- Phương trình tiếp tuyến: y = f’(xo)(x - xo) + yo.

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(y' = \dfrac{1}{{\sqrt {2x + 1} }}\)

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là tiếp điểm, ta có

\( \begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = k = \dfrac{1}{3}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\sqrt {2{x_0} + 1} }} = \dfrac{1}{3}\\ \Leftrightarrow \sqrt {2{x_0} + 1} = 3\\ \Leftrightarrow 2{x_0} + 1 = 9\\ \Leftrightarrow {x_0} = 4\\ \Rightarrow {y_0} = 3\end{array}\)

Phương trình tiếp tuyến: \(y = \dfrac{1}{3}\left( {x - 4} \right) + 3 \) hay \(y = \dfrac{x}{3} + \dfrac{5}{3}.\)

Chọn đáp án: C

Ngày:30/10/2020 Chia sẻ bởi:Nguyễn Minh Duy

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM