Giải bài tập SBT Toán 11 Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm

Nội dung giải bài tập trang 202 đến 205 SBT Toán 11 bài Các quy tắc tính đạo hàm bên dưới đây sẽ giúp các em học thật tốt môn Toán. Qua tài liệu này các em sẽ nắm được phương pháp giải cụ thể của từng bài từ đó đưa ra lời giải phù hợp với đề ra. Mời các em cùng tham khảo.

Mục lục nội dung

1. Giải bài 5.12 trang 202 SBT Đại số & Giải tích 11

2. Giải bài 5.13 trang 202 SBT Đại số & Giải tích 11

3. Giải bài 5.14 trang 202 SBT Đại số & Giải tích 11

4. Giải bài 5.15 trang 202 SBT Đại số & Giải tích 11

5. Giải bài 5.16 trang 202 SBT Đại số & Giải tích 11

6. Giải bài 5.17 trang 202 SBT Đại số & Giải tích 11

7. Giải bài 5.18 trang 202 SBT Đại số & Giải tích 11

8. Giải bài 5.19 trang 202 SBT Đại số & Giải tích 11

9. Giải bài 5.20 trang 202 SBT Đại số & Giải tích 11

10. Giải bài 5.21 trang 203 SBT Đại số & Giải tích 11

11. Giải bài 5.22 trang 203 SBT Đại số & Giải tích 11

12. Giải bài 5.23 trang 203 SBT Đại số & Giải tích 11

13. Giải bài 5.24 trang 203 SBT Đại số & Giải tích 11

14. Giải bài 5.25 trang 203 SBT Đại số & Giải tích 11

15. Giải bài 5.26 trang 203 SBT Đại số & Giải tích 11

16. Giải bài 5.27 trang 203 SBT Đại số & Giải tích 11

17. Giải bài 5.28 trang 203 SBT Đại số & Giải tích 11

18. Giải bài 5.29 trang 203 SBT Đại số & Giải tích 11

19. Giải bài 5.30 trang 203 SBT Đại số & Giải tích 11

20. Giải bài 5.31 trang 204 SBT Đại số & Giải tích 11

21. Giải bài 5.32 trang 204 SBT Đại số & Giải tích 11

22. Giải bài 5.33 trang 204 SBT Đại số & Giải tích 11

23. Giải bài 5.34 trang 204 SBT Đại số & Giải tích 11

24. Giải bài 5.35 trang 204 SBT Đại số & Giải tích 11

25. Giải bài 5.36 trang 204 SBT Đại số & Giải tích 11

26. Giải bài 5.37 trang 205 SBT Đại số & Giải tích 11

27. Giải bài 5.38 trang 205 SBT Đại số & Giải tích 11

28. Giải bài 5.39 trang 205 SBT Đại số & Giải tích 11

Giải bài tập SBT Toán 11 Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm

1. Giải bài 5.12 trang 202 SBT Đại số & Giải tích 11

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

\( y = - 9{x^3} + 0,2{x^2} - 0,14x + 5.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\)

Hướng dẫn giải:

\( \begin{array}{l} y' = \left( { - 9{x^3} + 0,2{x^2} - 0,14x + 5} \right)'\\ = - 9.3{x^2} + 0,2.2x - 0,14.1 + 0\\ = - 27{x^2} + 0,4x - 0,14 \end{array}\)

2. Giải bài 5.13 trang 202 SBT Đại số & Giải tích 11

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

\( \displaystyle y = {2 \over x} - {4 \over {{x^2}}} + {5 \over {{x^3}}} - {6 \over {7{x^4}}}.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm \(\left( {\dfrac{1}{u}} \right)' = \dfrac{{ - u'}}{{{u^2}}}\)

Hướng dẫn giải:

\( \begin{array}{l} y' = \left( {\dfrac{2}{x} - \dfrac{4}{{{x^2}}} + \dfrac{5}{{{x^3}}} - \dfrac{6}{{7{x^4}}}} \right)'\\ = \left( {\dfrac{2}{x}} \right)' - \left( {\dfrac{4}{{{x^2}}}} \right)' + \left( {\dfrac{5}{{{x^3}}}} \right)' - \left( {\dfrac{6}{{7{x^4}}}} \right)'\\ = - \dfrac{2}{{{x^2}}} - \dfrac{{ - 4\left( {{x^2}} \right)'}}{{{x^4}}} + \dfrac{{ - 5\left( {{x^3}} \right)'}}{{{x^6}}} - \dfrac{{ - 6\left( {{x^4}} \right)'}}{{7{x^8}}}\\ = - \dfrac{2}{{{x^2}}} + \dfrac{{4.2x}}{{{x^4}}} - \dfrac{{5.3{x^2}}}{{{x^6}}} + \dfrac{{6.4{x^3}}}{{7{x^8}}}\\ = - \dfrac{2}{{{x^2}}} + \dfrac{8}{{{x^3}}} - \dfrac{{15}}{{{x^4}}} + \dfrac{{24}}{{7{x^5}}} \end{array} \)

3. Giải bài 5.14 trang 202 SBT Đại số & Giải tích 11

Tìm đạo hàm của hàm số sau:

\( y = \left( {9 - 2x} \right)\left( {2{x^3} - 9{x^2} + 1} \right).\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\), đạo hàm của hàm hợp \(\left[ {f\left( u \right)} \right]' = u'.f'\left( u \right)\)

Hướng dẫn giải:

\( \begin{array}{l} y' = \left( {9 - 2x} \right)'\left( {2{x^3} - 9{x^2} + 1} \right)\\ + \left( {9 - 2x} \right)\left( {2{x^3} - 9{x^2} + 1} \right)'\\ = - 2\left( {2{x^3} - 9{x^2} + 1} \right)+ \left( {9 - 2x} \right)\left( {6{x^2} - 18x} \right)\\ = - 4{x^3} + 18{x^2} - 2+54{x^2} - 12{x^3} - 162x + 36{x^2}\\ = - 16{x^3} + 108{x^2} - 162x - 2 \end{array}\)

4. Giải bài 5.15 trang 202 SBT Đại số & Giải tích 11

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

\( y = {{5 - 3x - {x^2}} \over {x - 2}}.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\), đạo hàm của thương \(\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\).

Hướng dẫn giải: 

\( \begin{array}{l} y' = \dfrac{{\left( {5 - 3x - {x^2}} \right)'\left( {x - 2} \right) - \left( {5 - 3x - {x^2}} \right)\left( {x - 2} \right)'}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{\left( { - 3 - 2x} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( {5 - 3x - {x^2}} \right).1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{ - 3x - 2{x^2} + 6 + 4x - 5 + 3x + {x^2}}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{ - {x^2} + 4x + 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} \end{array}\)

5. Giải bài 5.16 trang 202 SBT Đại số & Giải tích 11

Tìm đạo hàm của hàm số sau:

\( y = \left( {{x^2} + 1} \right){\left( {{x^3} + 1} \right)^2}{\left( {{x^4} + 1} \right)^3}.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(\left( {uvw} \right)' = u'vw + uv'w + uvw'\)

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\( \begin{array}{l} y' = \left( {{x^2} + 1} \right)'{\left( {{x^3} + 1} \right)^2}{\left( {{x^4} + 1} \right)^3} + \left( {{x^2} + 1} \right)\left[ {{{\left( {{x^3} + 1} \right)}^2}} \right]'{\left( {{x^4} + 1} \right)^3} \\+ \left( {{x^2} + 1} \right){\left( {{x^3} + 1} \right)^2}\left[ {{{\left( {{x^4} + 1} \right)}^3}} \right]' \\ = 2x{\left( {{x^3} + 1} \right)^2}{\left( {{x^4} + 1} \right)^3} + \left( {{x^2} + 1} \right)\left[ {2\left( {{x^3} + 1} \right)\left( {{x^3} + 1} \right)'} \right]{\left( {{x^4} + 1} \right)^3} \\+ \left( {{x^2} + 1} \right){\left( {{x^3} + 1} \right)^2}\left[ {3{{\left( {{x^4} + 1} \right)}^2}\left( {{x^4} + 1} \right)'} \right] \\ = 2x{\left( {{x^3} + 1} \right)^2}{\left( {{x^4} + 1} \right)^3} + \left( {{x^2} + 1} \right)\left[ {2\left( {{x^3} + 1} \right).3{x^2}} \right]{\left( {{x^4} + 1} \right)^3} \\+ \left( {{x^2} + 1} \right){\left( {{x^3} + 1} \right)^2}\left[ {3{{\left( {{x^4} + 1} \right)}^2}.4{x^3}} \right]\\ = 2x{\left( {{x^3} + 1} \right)^2}{\left( {{x^4} + 1} \right)^3} + 6{x^2}\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^3} + 1} \right){\left( {{x^4} + 1} \right)^3} \\+ 12{x^3}\left( {{x^2} + 1} \right){\left( {{x^3} + 1} \right)^2}{\left( {{x^4} + 1} \right)^2} \end{array}\)

6. Giải bài 5.17 trang 202 SBT Đại số & Giải tích 11

Tìm đạo hàm của hàm số sau:

\( y = {\left( {a + {b \over x} + {c \over {{x^2}}}} \right)^4} \) (a, b, c là các hằng số).

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức đạo hàm \(\left( {{u^n}} \right)' = n{u^{n - 1}}u'\)

Hướng dẫn giải:

\( \begin{array}{l} y' = 4{\left( {a + \dfrac{b}{x} + \dfrac{c}{{{x^2}}}} \right)^3}\left( {a + \dfrac{b}{x} + \dfrac{c}{{{x^2}}}} \right)'\\ = 4{\left( {a + \dfrac{b}{x} + \dfrac{c}{{{x^2}}}} \right)^3}.\left( { - \dfrac{b}{{{x^2}}} + \dfrac{{ - c\left( {{x^2}} \right)'}}{{{x^4}}}} \right)\\ = 4{\left( {a + \dfrac{b}{x} + \dfrac{c}{{{x^2}}}} \right)^3}\left( { - \dfrac{b}{{{x^2}}} - \dfrac{{2cx}}{{{x^4}}}} \right)\\ = - 4{\left( {a + \dfrac{b}{x} + \dfrac{c}{{{x^2}}}} \right)^3}\left( {\dfrac{b}{{{x^2}}} + \dfrac{{2c}}{{{x^3}}}} \right) \end{array}\)

7. Giải bài 5.18 trang 202 SBT Đại số & Giải tích 11

Rút gọn: \( f\left( x \right) = \left( {{{x - 1} \over {2\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + 1} \right).{2 \over {\sqrt x + 1}} :{\left( {{{\sqrt {x - 2} } \over {\sqrt {x + 2} + \sqrt {x - 2} }} + {{x - 2} \over {\sqrt {{x^2} - 4} - x + 2}}} \right)^2}\)  và tìm f'(x).

Phương pháp giải:

Rút gọn f(x) và sử dụng công thức tính đạo hàm \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\)\(\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\).

Hướng dẫn giải:

\( \begin{array}{l}f\left( x \right) = \left( {\frac{{x - 1}}{{2\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + 1} \right).\frac{2}{{\sqrt x + 1}}\\:{\left( {\frac{{\sqrt {x - 2} }}{{\sqrt {x + 2} + \sqrt {x - 2} }} + \frac{{x - 2}}{{\sqrt {{x^2} - 4} - x + 2}}} \right)^2}\\ = \left( {\frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{2\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + 1} \right).\frac{2}{{\sqrt x + 1}}\\:{\left( {\frac{{\sqrt {x - 2} }}{{\sqrt {x + 2} + \sqrt {x - 2} }} + \frac{{x - 2}}{{\sqrt {x - 2} \left( {\sqrt {x + 2} - \sqrt {x - 2} } \right)}}} \right)^2}\\ = \left( {\frac{{\sqrt x - 1}}{2} + 1} \right).\frac{2}{{\sqrt x + 1}}\\:{\left( {\frac{{\sqrt {x - 2} }}{{\sqrt {x + 2} + \sqrt {x - 2} }} + \frac{{\sqrt {x - 2} }}{{\sqrt {x + 2} - \sqrt {x - 2} }}} \right)^2}\\ = \frac{{\sqrt x - 1 + 2}}{2}.\frac{2}{{\sqrt x + 1}}\\:\left( {x - 2} \right){\left( {\frac{{\sqrt {x + 2} - \sqrt {x - 2} + \sqrt {x + 2} + \sqrt {x - 2} }}{{\left( {\sqrt {x + 2} + \sqrt {x - 2} } \right)\left( {\sqrt {x + 2} - \sqrt {x - 2} } \right)}}} \right)^2}\\ = \frac{{\sqrt x + 1}}{2}.\frac{2}{{\sqrt x + 1}}:\left[ {\left( {x - 2} \right).{{\left( {\frac{{2\sqrt {x + 2} }}{{x + 2 - x + 2}}} \right)}^2}} \right]\\ = 1:\left[ {\left( {x - 2} \right).{{\left( {\frac{{\sqrt {x + 2} }}{2}} \right)}^2}} \right]\\ = 1:\frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{4}\\ = \frac{4}{{{x^2} - 4}}\end{array}\)

\( \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{ - 4\left( {{x^2} - 4} \right)'}}{{{{\left( {{x^2} - 4} \right)}^2}}} = \frac{{ - 4.2x}}{{{{\left( {{x^2} - 4} \right)}^2}}} = - \frac{{8x}}{{{{\left( {{x^2} - 4} \right)}^2}}}\)

8. Giải bài 5.19 trang 202 SBT Đại số & Giải tích 11

Cho \(f\left( x \right) = 2{x^3} + x - \sqrt 2 \)\( g\left( x \right) = 3{x^2} + x + \sqrt 2.\)

Giải bất phương trình \(f'(x) > g'\left( x \right).\)

Phương pháp giải:

Tính f'(x), g'(x) bằng cách sử dụng công thức đạo hàm \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\) và giải bất phương trình.

Hướng dẫn giải:

\( \begin{array}{l} f'\left( x \right) = \left( {2{x^3} + x - \sqrt 2 } \right)' = 2.3{x^2} + 1 - 0 = 6{x^2} + 1\\ g'\left( x \right) = \left( {3{x^2} + x + \sqrt 2 } \right)' = 3.2x + 1 + 0 = 6x + 1\\ f'\left( x \right) > g'\left( x \right)\\ \Leftrightarrow 6{x^2} + 1 > 6x + 1\\ \Leftrightarrow 6{x^2} - 6x > 0 \Leftrightarrow 6x\left( {x - 1} \right) > 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x > 1\\ x < 0 \end{array} \right. \end{array}\)

Vậy \(S=\left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right).\)

9. Giải bài 5.20 trang 202 SBT Đại số & Giải tích 11

Cho \( f\left( x \right) = 2{x^3} - {x^2} + \sqrt 3 ; g\left( x \right) = {x^3} + {{{x^2}} \over 2} - \sqrt 3.\) Giải bất phương trình \(f'(x) > g'\left( x \right).\)

Phương pháp giải:

- Tính f'(x), g'(x) bằng cách sử dụng công thức đạo hàm \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\).

- Giải bất phương trình.

Hướng dẫn giải:

\( \begin{array}{l} f'\left( x \right) = \left( {2{x^3} - {x^2} + \sqrt 3 } \right)' = 2.3{x^2} - 2x + 0 = 6{x^2} - 2x\\ g'\left( x \right) = \left( {{x^3} + \frac{{{x^2}}}{2} - \sqrt 3 } \right)' = 3.{x^2} + \frac{{2x}}{2} - 0 = 3{x^2} + x\\ f'\left( x \right) > g'\left( x \right)\\ \Leftrightarrow 6{x^2} - 2x > 3{x^2} + x\\ \Leftrightarrow 3{x^2} - 3x > 0 \Leftrightarrow 3x\left( {x - 1} \right) > 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x > 1\\ x < 0 \end{array} \right. \end{array}\)

Vậy \(S=\left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right).\)

10. Giải bài 5.21 trang 203 SBT Đại số & Giải tích 11

Cho hàm số \(f\left( x \right) = x - 2\sqrt {{x^2} + 12}\). Giải bất phương trình \(f'\left( x \right) \le 0.\)

(Đề thi tốt nghiệp THPT 2010)

Phương pháp giải:

- Tính f'(x) bằng cách sử dụng công thức tính đạo hàm \(\sqrt u = \frac{{u'}}{{2\sqrt u }}\).

- Giải bất phương trình.

Hướng dẫn giải:

\( \eqalign{ & f'\left( x \right) = 1 - {{2x} \over {\sqrt {{x^2} + 12} }} \le 0{\rm{ }} \cr & \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 12} \le 2x \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} + 12 \le 4{x^2} \hfill \cr x \ge 0 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 3{x^2} \ge 12 \hfill \cr x \ge 0 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} \ge 4 \hfill \cr x \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 2. \cr}\)

Vậy \(x \in{\rm{[}}2; + \infty ).\)

11. Giải bài 5.22 trang 203 SBT Đại số & Giải tích 11

Giải các bất phương trình:

a) \(f'\left( x \right) > 0\) với \(f\left( x \right) = {1 \over 7}{x^7} - {9 \over 4}{x^4} + 8x - 3\)

b) \(g'\left( x \right) \le 0\) với \(g\left( x \right) = {{{x^2} - 5x + 4} \over {x - 2}}\)

Phương pháp giải:

a) Tính f'(x) bằng cách sử dụng công thức đạo hàm \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\)  và giải bất phương trình.

b) Tính g'(x) bằng sử dụng công thức tính đạo hàm \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\)\(\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\) và giải bất phương trình.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

\( f'\left( x \right) = \dfrac{1}{7}.7{x^6} - \dfrac{9}{4}.4{x^3} + 8 = {x^6} - 9{x^3} + 8 \\ f'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow {x^6} - 9{x^3} + 8 > 0 \Leftrightarrow \left( {{x^3} - 1} \right)\left( {{x^3} - 8} \right) > 0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^3} > 8\\{x^3} < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\x < 1\end{array} \right.\)

Vậy x < 1 hoặc x > 2

b) Ta có:

\( \begin{array}{l}g'\left( x \right)\\ = \dfrac{{\left( {{x^2} - 5x + 4} \right)'\left( {x - 2} \right) - \left( {{x^2} - 5x + 4} \right)\left( {x - 2} \right)'}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{\left( {2x - 5} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( {{x^2} - 5x + 4} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{2{x^2} - 5x - 4x + 10 - {x^2} + 5x - 4}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{{x^2} - 4x + 6}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\\g'\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} - 4x + 6}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} \le 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4x + 6 \le 0\\{\left( {x - 2} \right)^2} \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 2} \right)^2} + 2 \le 0\left( {VN} \right)\\{\left( {x - 2} \right)^2} \ne 0\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy bất phương trình \(g'\left( x \right) \le 0\) vô nghiệm.

12. Giải bài 5.23 trang 203 SBT Đại số & Giải tích 11

Xác định m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x ∈ R

a) \(f'\left( x \right) > 0 \) với \( f\left( x \right) = {m \over 3}{x^3} - 3{x^2} + mx - 5\)

b) \( g'\left( x \right) < 0 \) với \(g\left( x \right) = {m \over 3}{x^3} - {m \over 2}{x^2} + \left( {m + 1} \right)x - 15.\)

Phương pháp giải:

Tính f'(x) bằng cách sử dụng công thức đạo hàm \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\)  và giải bất phương trình.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\( f'\left( x \right) = \dfrac{m}{3}.3{x^2} - 3.2x + m = m{x^2} - 6x + m\)

\( f'\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = m > 0\\\Delta ' = 9 - {m^2} < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\\left[ \begin{array}{l}m > 3\\m < - 3\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow m > 3\)

Vậy m > 3.

b) Ta có:

\( g'\left( x \right) = \dfrac{m}{3}.3{x^2} - \dfrac{m}{2}.2x + \left( {m + 1} \right) = m{x^2} - mx + \left( {m + 1} \right)\)

\( g'\left( x \right) < 0,\forall x \in \mathbb{R} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = m < 0\\\Delta = {m^2} - 4m\left( {m + 1} \right) < 0\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\ - 3{m^2} - 4m < 0\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\\left[ \begin{array}{l}m > 0\\m < - \dfrac{4}{3}\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow m < - \dfrac{4}{3}\)

Vậy \(m < - \dfrac{4}{3}.\)

13. Giải bài 5.24 trang 203 SBT Đại số & Giải tích 11

Cho \(f\left( x \right) = {2 \over x},g\left( x \right) = {{{x^2}} \over 2} - {{{x^3}} \over 3}.\)

Giải bất phương trình \(f\left( x \right) \le g'\left( x \right).\)

Phương pháp giải:

- Tính g'(x) bằng cách sử dụng công thức đạo hàm \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\).

- Giải bất phương trình \(f\left( x \right) \le g'\left( x \right).\)

Hướng dẫn giải:

\( \begin{array}{l}g'\left( x \right) = \dfrac{{2x}}{2} - \dfrac{{3{x^2}}}{3} = x - {x^2}\\f\left( x \right) \le g'\left( x \right) \Leftrightarrow \dfrac{2}{x} \le x - {x^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} - x + \dfrac{2}{x} \le 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{x^3} - {x^2} + 2}}{x} \le 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 2x + 2} \right)}}{x} \le 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x + 1}}{x} \le 0\\ \Leftrightarrow - 1 \le x < 0\end{array}\)

Do \({x^2} - 2x + 2 = {\left( {x - 1} \right)^2} + 1 > 0, \forall x \in \mathbb{R}.\)

Vậy \(x \in \left[ { - 1;0} \right).\)

14. Giải bài 5.25 trang 203 SBT Đại số & Giải tích 11

Tính g'(1), biết rằng \(g\left( x \right) = {1 \over x} + {1 \over {\sqrt x }} + {x^2}.\)

Phương pháp giải:

Tính g'(x) và thay x = 1 tính g'(1).

Hướng dẫn giải:

\( \begin{array}{l} g'\left( x \right) = - \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{{ - \left( {\sqrt x } \right)'}}{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2}}} + 2x\\ = - \dfrac{1}{x} - \dfrac{{\dfrac{1}{{2\sqrt x }}}}{x} + 2x\\ = - \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{2x\sqrt x }} + 2x\\ \Rightarrow g'\left( 1 \right) = - \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{{2.1.\sqrt 1 }} + 2.1 = \dfrac{1}{2} \end{array}\)

15. Giải bài 5.26 trang 203 SBT Đại số & Giải tích 11

Tính \(\varphi '\left( 2 \right)\), biết rằng \(\varphi \left( x \right) = {{\left( {x - 2} \right)\left( {8 - x} \right)} \over {{x^2}}}.\)

Phương pháp giải:

Tính \(\varphi '\left( x \right)\) rồi thay x = 2 vào.

Hướng dẫn giải:

\( \begin{array}{l} \varphi \left( x \right) = \dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {8 - x} \right)}}{{{x^2}}}\\ = \dfrac{{ - {x^2} + 10x - 16}}{{{x^2}}}\\ = - 1 + \dfrac{{10}}{x} - \dfrac{{16}}{{{x^2}}}\\ \Rightarrow \varphi '\left( x \right) = - \dfrac{{10}}{{{x^2}}} - \dfrac{{ - 16.\left( {{x^2}} \right)'}}{{{x^4}}}\\ = - \dfrac{{10}}{{{x^2}}} + \dfrac{{16.2x}}{{{x^4}}} = - \dfrac{{10}}{{{x^2}}} + \dfrac{{32}}{{{x^3}}}\\ \Rightarrow \varphi '\left( 2 \right) = - \dfrac{{10}}{{{2^2}}} + \dfrac{{32}}{{{2^3}}} = \dfrac{3}{2} \end{array}\)

16. Giải bài 5.27 trang 203 SBT Đại số & Giải tích 11

Chứng minh rằng nếu S(r) là diện tích hình tròn bán kính r thì S'(r) là chu vi đường tròn đó.

Phương pháp giải:

- Tính S(r).

- Tính S'(r).

Hướng dẫn giải:

Vì \(S\left( r \right) = \pi {r^2} \) nên \(S'\left( r \right) = 2\pi r\) là chu vi đường tròn.

17. Giải bài 5.28 trang 203 SBT Đại số & Giải tích 11

Chứng minh rằng nếu V(R) là thể tích hình cầu bán kính R thì V'(R) là diện tích mặt cầu đó.

Phương pháp giải:

- Tính V(R).

- Tính V'(R).

Hướng dẫn giải:

Vì \(V\left( R \right) = {4 \over 3}\pi {R^3}\) nên \(V'\left( R \right) = 4\pi {R^2}\) là diện tích mặt cầu.

18. Giải bài 5.29 trang 203 SBT Đại số & Giải tích 11

Giả sử V là thể tích hình trụ tròn xoay với chiều cao h và bán kính đáy r. Chứng minh rằng với r là hằng số thì đạo hàm V'(h) bằng diện tích đáy hình trụ và với h là hằng số thì đạo hàm V'(r) bằng diện tích xung quanh của hình trụ.

Phương pháp giải:

- Tính thể tích hình trụ tròn 

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(V = \pi {r^2}h\) 

\(V'\left( h \right) = \pi {r^2}\) là diện tích đáy hình trụ;

\( V'\left( r \right) = 2\pi rh\) là diện tích xung quanh của hình trụ.

19. Giải bài 5.30 trang 203 SBT Đại số & Giải tích 11

Tính y', biết \(y = x^5 - 4x^3 - x^2 + \dfrac x2\)

A. y' = 5x4 - 12x2 - 2x + 1/2

B. y' = 5x4 - 10x2 + 1/2

C. y' = 5x4 - 2x

D. y' = 5x4 + 12x4 - 2x - 1/2

Phương pháp giải:

Tính y' bằng cách sử dụng công thức đạo hàm \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\) 

Hướng dẫn giải:

\( \begin{array}{l}y' = 5{x^4} - 4.3{x^2} - 2x + \dfrac{1}{2}\\ = 5{x^4} - 12{x^2} - 2x + \dfrac{1}{2}\end{array}\)

Chọn đáp án: A

20. Giải bài 5.31 trang 204 SBT Đại số & Giải tích 11

\( y = - 6\sqrt x + \dfrac{3}{x}\). Tìm y'.

A. \(y' = \dfrac{3}{{\sqrt x }}\)

B. \(y' = - \dfrac{3}{{\sqrt x }} - \dfrac{3}{{{x^2}}}\)

C. \(y' = \dfrac{3}{{\sqrt x }} - 5\)

D. \(y' = - \dfrac{3}{{\sqrt x }} + \dfrac{3}{x}\)

Phương pháp giải:

Tính y' bằng cách sử dụng công thức đạo hàm \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\) và \(\left( {\sqrt x } \right)' = \frac{1}{{2\sqrt x }}\)

Hướng dẫn giải:

\( \begin{array}{l}y' = - 6.\dfrac{1}{{2\sqrt x }} - \dfrac{3}{{{x^2}}}\\ = - \dfrac{3}{{\sqrt x }} - \dfrac{3}{{{x^2}}}\end{array}\)

Chọn đáp án: B

21. Giải bài 5.32 trang 204 SBT Đại số & Giải tích 11

Tính đạo hàm của hàm số \(y = \dfrac{{2x - 3}}{{x + 4}}\)

A. \(y' = \dfrac{{10}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}\)

B. \(y' = \dfrac{{11}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}\)

C. \(y' = \dfrac{5}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}\)

D. \(y' = \dfrac{{ - 11}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}\)

Phương pháp giải:

Tính y' bằng cách sử dụng công thức đạo hàm của thương \(\left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\)

Hướng dẫn giải:

\( \begin{array}{l}y' = \dfrac{{\left( {2x - 3} \right)'\left( {x + 4} \right) - \left( {2x - 3} \right)\left( {x + 4} \right)'}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{2\left( {x + 4} \right) - \left( {2x - 3} \right)}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{11}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}\end{array}\)

Chọn đáp án: B

22. Giải bài 5.33 trang 204 SBT Đại số & Giải tích 11

Cho hàm số \(y = x\sqrt {1 + {x^2}} \). Tính y'.

A. \(y' = \dfrac{{1 - 2{x^2}}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\)

B. \(y' = \dfrac{{1 + 2{x^2}}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\)

C. \(y' = \dfrac{{1 + 2{x^2}}}{{1 + {x^2}}}\)

D. \(y' = \dfrac{{1 + 2{x^2}}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\)

Phương pháp giải:

Tính y' bằng cách sử dụng công thức đạo hàm \(\left( {\sqrt u } \right)' = \frac{{u'}}{{2\sqrt u }}\)

Hướng dẫn giải:

\( \begin{array}{l}y' = \left( x \right)'.\sqrt {1 + {x^2}} + x.\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)'\\ = \sqrt {1 + {x^2}} + x.\dfrac{{\left( {1 + {x^2}} \right)'}}{{2\sqrt {1 + {x^2}} }}\\ = \sqrt {1 + {x^2}} + x.\dfrac{{2x}}{{2\sqrt {1 + {x^2}} }}\\ = \sqrt {1 + {x^2}} + \dfrac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\\ = \dfrac{{1 + {x^2} + {x^2}}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} = \dfrac{{1 + 2{x^2}}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\end{array}\)

Chọn đáp án: D

23. Giải bài 5.34 trang 204 SBT Đại số & Giải tích 11

Cho f(x) = 5 - 3x - x2. Tính f'(0), f'(-2).

A. -3; 0      B. -2; 1

C. -3; 1      D. 3; 2

Phương pháp giải:

- Tính f'(x) bằng cách sử dụng công thức đạo hàm \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\)

- Thay x = 0, x = -2 vào f'(x).

Hướng dẫn giải:

\( \begin{array}{l}f'\left( x \right) = - 3 - 2x\\f'\left( 0 \right) = - 3 - 2.0 = - 3\\f'\left( { - 2} \right) = - 3 - 2.\left( { - 2} \right) = 1\end{array}\)

Chọn đáp án: C

24. Giải bài 5.35 trang 204 SBT Đại số & Giải tích 11

Cho hàm số \(y = \sqrt {{x^3} - 2{x^2} + 1} \). Tìm y'.

A. \(y' = \frac{{3{x^2} - 4x}}{{\sqrt {{x^3} - 2{x^2} + 1} }}\)

B. \(y' = \frac{{3{x^2} + 4x}}{{2\sqrt {{x^3} - 2{x^2} + 1} }}\)

C. \(y' = \frac{{3{x^2} - 4x}}{{{x^3} - 2{x^2} + 1}}\)

D. \(y' = \frac{{3{x^2} - 4x}}{{2\sqrt {{x^3} - 2{x^2} + 1} }}\)

Phương pháp giải:

Tính y' bằng cách sử dụng công thức đạo hàm \(\left( {\sqrt u } \right)' = \frac{{u'}}{{2\sqrt u }}\)

Hướng dẫn giải:

\( \begin{array}{l}y' = \dfrac{{\left( {{x^3} - 2{x^2} + 1} \right)'}}{{2\sqrt {{x^3} - 2{x^2} + 1} }}\\ = \dfrac{{3{x^2} - 2.2x}}{{2\sqrt {{x^3} - 2{x^2} + 1} }}\\ = \dfrac{{3{x^2} - 4x}}{{2\sqrt {{x^3} - 2{x^2} + 1} }}\end{array}\)

Chọn đáp án: D

25. Giải bài 5.36 trang 204 SBT Đại số & Giải tích 11

Cho f(x) = x5 + x3 - 2x + 3. Tính f'(1), f'(0).

A. 6; 2      B. 6; -2

C. 6; 6      D. -2; 6

Phương pháp giải:

- Tính f'(x) bằng cách sử dụng công thức đạo hàm \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\)

- Thay x = 1, x = 0 vào f'(x).

Hướng dẫn giải:

\( \begin{array}{l}f'\left( x \right) = 5{x^4} + 3{x^2} - 2\\f'\left( 1 \right) = 5 + 3 - 2 = 6\\f'\left( 0 \right) = 5.0 + 3.0 - 2 = - 2\end{array}\)

Chọn đáp án: B

26. Giải bài 5.37 trang 205 SBT Đại số & Giải tích 11

Giải bất phương trình φ'(x) < 0 với \(\varphi \left( x \right) = \dfrac{{2x - 1}}{{{x^2} + 1}}\)

A. \(\left( { - \infty ;\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}; + \infty } \right)\)

B. \(\left( { - \infty ; - \sqrt 3 } \right) \cup \left( {\sqrt 5 ; + \infty } \right)\)

C. \(\left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\)

D. R

Phương pháp giải:

- Tính φ'(x) bằng cách sử dụng công thức đạo hàm \(\left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\) và \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\)

- Giải bất phương trình φ'(x) < 0

Hướng dẫn giải:

\( \begin{array}{l}\varphi '\left( x \right)\\ = \dfrac{{\left( {2x - 1} \right)'\left( {{x^2} + 1} \right) - \left( {2x - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)'}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{2\left( {{x^2} + 1} \right) - \left( {2x - 1} \right).2x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{2{x^2} + 2 - 4{x^2} + 2x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{ - 2{x^2} + 2x + 2}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\\\varphi '\left( x \right) < 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 2{x^2} + 2x + 2}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} < 0\\ \Leftrightarrow - 2{x^2} + 2x + 2 < 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\\x < \dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

Chọn đáp án: A

27. Giải bài 5.38 trang 205 SBT Đại số & Giải tích 11

Tính f'(1) biết \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{{{x^2}}} + \dfrac{3}{{{x^3}}}\)

A. 6         B. 10

C. 9         D. -14

Phương pháp giải:

- Tính f'(x) bằng cách sử dụng công thức đạo hàm \(\left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\) .

- Thay x = 1 vào f''(x).

Hướng dẫn giải:

\( \begin{array}{l}f'\left( x \right) = - \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{{ - 2\left( {{x^2}} \right)'}}{{{x^4}}} + \dfrac{{ - 3\left( {{x^3}} \right)'}}{{{x^6}}}\\ = - \dfrac{1}{{{x^2}}} - \dfrac{{2.2x}}{{{x^4}}} - \dfrac{{3.3{x^2}}}{{{x^6}}}\\ = - \dfrac{1}{{{x^2}}} - \dfrac{4}{{{x^3}}} - \dfrac{9}{{{x^4}}}\\ \Rightarrow f'\left( 1 \right) = - 1 - 4 - 9 = - 14\end{array}\)

Chọn đáp án: D

28. Giải bài 5.39 trang 205 SBT Đại số & Giải tích 11

Tính h'(0), biết rằng \(h\left( x \right) = \dfrac{x}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\)

A. 2      B. -1      C. 1/2      D. 4

Phương pháp giải:

- Tính f'(x) bằng cách sử dụng công thức đạo hàm \(\left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\) và \(\left( {\sqrt u } \right)' = \frac{{u'}}{{2\sqrt u }}\)

Hướng dẫn giải:

\( \begin{array}{l}h'\left( x \right)\\ = \dfrac{{\left( x \right)'.\sqrt {4 - {x^2}} - x.\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right)'}}{{{{\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{\sqrt {4 - {x^2}} - x.\dfrac{{\left( {4 - {x^2}} \right)'}}{{2\sqrt {4 - {x^2}} }}}}{{4 - {x^2}}}\\ = \dfrac{{\sqrt {4 - {x^2}} - x.\dfrac{{ - 2x}}{{2\sqrt {4 - {x^2}} }}}}{{4 - {x^2}}}\\ = \dfrac{{\sqrt {4 - {x^2}} + \dfrac{{{x^2}}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}}}{{4 - {x^2}}}\\ = \dfrac{{4 - {x^2} + {x^2}}}{{\left( {4 - {x^2}} \right)\sqrt {4 - {x^2}} }}\\ = \dfrac{4}{{\left( {4 - {x^2}} \right)\sqrt {4 - {x^2}} }}\\ \Rightarrow h'\left( 0 \right) = \dfrac{4}{{\left( {4 - 0} \right)\sqrt {4 - 0} }} = \dfrac{1}{2}\end{array}\)

Chọn đáp án: C

Ngày:30/10/2020 Chia sẻ bởi:Minh Ngoan

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM