Giải bài tập SBT Toán 11 Bài 3: Đạo hàm của các hàm số lượng giác

Nội dung hướng dẫn Giải bài tập SBT Đại số & Giải tích 11 Bài 3 dưới đây sẽ giúp các em học sinh nắm vững phương pháp giải bài tập và ôn luyện tốt kiến thức về Đạo hàm của các hàm số lượng giác. Mời các em cùng theo dõi.

Mục lục nội dung

1. Giải bài 5.40 trang 207 SBT Đại số & Giải tích 11

2. Giải bài 5.41 trang 207 SBT Đại số & Giải tích 11

3. Giải bài 5.42 trang 207 SBT Đại số & Giải tích 11

4. Giải bài 5.43 trang 207 SBT Đại số & Giải tích 11

5. Giải bài 5.44 trang 207 SBT Đại số & Giải tích 11

6. Giải bài 5.45 trang 207 SBT Đại số & Giải tích 11

7. Giải bài 5.46 trang 207 SBT Đại số & Giải tích 11

8. Giải bài 5.47 trang 207 SBT Đại số & Giải tích 11

9. Giải bài 5.48 trang 207 SBT Đại số & Giải tích 11

10. Giải bài 5.49 trang 208 SBT Đại số & Giải tích 11

11. Giải bài 5.50 trang 208 SBT Đại số & Giải tích 11

12. Giải bài 5.54 trang 208 SBT Đại số & Giải tích 11

13. Giải bài 5.52 trang 208 SBT Đại số & Giải tích 11

14. Giải bài 5.53 trang 208 SBT Đại số & Giải tích 11

15. Giải bài 5.54 trang 208 SBT Đại số & Giải tích 11

16. Giải bài 5.55 trang 208 SBT Đại số & Giải tích 11

17. Giải bài 5.56 trang 208 SBT Đại số & Giải tích 11

18. Giải bài 5.57 trang 208 SBT Đại số & Giải tích 11

19. Giải bài 5.58 trang 208 SBT Đại số & Giải tích 11

20. Giải bài 5.59 trang 208 SBT Đại số & Giải tích 11

21. Giải bài 5.60 trang 208 SBT Đại số & Giải tích 11

22. Giải bài 5.61 trang 209 SBT Đại số & Giải tích 11

23. Giải bài 5.62 trang 209 SBT Đại số & Giải tích 11

24. Giải bài 5.63 trang 209 SBT Đại số & Giải tích 11

25. Giải bài 5.64 trang 209 SBT Đại số & Giải tích 11

26. Giải bài 5.65 trang 209 SBT Đại số & Giải tích 11

27. Giải bài 5.66 trang 209 SBT Đại số & Giải tích 11

28. Giải bài 5.67 trang 209 SBT Đại số & Giải tích 11

29. Giải bài 5.68 trang 209 SBT Đại số & Giải tích 11

30. Giải bài 5.69 trang 209 SBT Đại số & Giải tích 11

31. Giải bài 5.70 trang 209 SBT Đại số & Giải tích 11

32. Giải bài 5.71 trang 209 SBT Đại số & Giải tích 11

33. Giải bài 5.72 trang 209 SBT Đại số & Giải tích 11

34. Giải bài 5.73 trang 210 SBT Đại số & Giải tích 11

35. Giải bài 5.74 trang 210 SBT Đại số & Giải tích 11

36. Giải bài 5.75 trang 210 SBT Đại số & Giải tích 11

37. Giải bài 5.76 trang 210 SBT Đại số & Giải tích 11

38. Giải bài 5.77 trang 210 SBT Đại số & Giải tích 11

39. Giải bài 5.78 trang 210 SBT Đại số & Giải tích 11

40. Giải bài 5.79 trang 210 SBT Đại số & Giải tích 11

41. Giải bài 5.80 trang 211 SBT Đại số & Giải tích 11

42. Giải bài 5.81 trang 211 SBT Đại số & Giải tích 11

Giải bài tập SBT Toán 11 Bài 3: Đạo hàm của các hàm số lượng giác

1. Giải bài 5.40 trang 207 SBT Đại số & Giải tích 11

Tìm đạo hàm của hàm số sau: \(y = \sqrt {{{\tan }^3}x} .\)

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

\(\left( {\sqrt u } \right)' = \dfrac{{u'}}{{2\sqrt u }}\)

\(\left( {\tan x} \right)' = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l} y' = \dfrac{{\left( {{{\tan }^3}x} \right)'}}{{2\sqrt {{{\tan }^3}x} }}\\ = \dfrac{{3{{\tan }^2}x\left( {\tan x} \right)'}}{{2\sqrt {{{\tan }^3}x} }}\\ = \dfrac{{3{{\tan }^2}x.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}}}{{2\sqrt {{{\tan }^3}x} }}\\ = \dfrac{{3{{\tan }^2}x}}{{2{{\cos }^2}x\sqrt {{{\tan }^3}x} }} \end{array}\)

2. Giải bài 5.41 trang 207 SBT Đại số & Giải tích 11

Tìm đạo hàm của hàm số sau: \(y = {2 \over {\cos \left( {{\pi \over 6} - 5x} \right)}}.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

\(\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\)

\( \cos u = -u'\sin u\)

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l} y' = \dfrac{{ - 2\left[ {\cos \left( {\dfrac{\pi }{6} - 5x} \right)} \right]'}}{{{{\cos }^2}\left( {\dfrac{\pi }{6} - 5x} \right)}}\\ = \dfrac{{ - 2.\left( {\dfrac{\pi }{6} - 5x} \right)'\left[ { - \sin \left( {\dfrac{\pi }{6} - 5x} \right)} \right]}}{{{{\cos }^2}\left( {\dfrac{\pi }{6} - 5x} \right)}}\\ = \dfrac{{2.\left( { - 5} \right)\sin \left( {\dfrac{\pi }{6} - 5x} \right)}}{{{{\cos }^2}\left( {\dfrac{\pi }{6} - 5x} \right)}}\\ = \dfrac{{ - 10\sin \left( {\dfrac{\pi }{6} - 5x} \right)}}{{{{\cos }^2}\left( {\dfrac{\pi }{6} - 5x} \right)}} \end{array}\)

3. Giải bài 5.42 trang 207 SBT Đại số & Giải tích 11

Tìm đạo hàm của hàm số sau: \(y = \sqrt x + {1 \over {\sqrt x }} + 0,1{x^{10}}.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

\(\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\)

\(\left( {\sqrt x } \right)' = \dfrac{1}{{2\sqrt x }}\)

\(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\)

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l} y' = \dfrac{1}{{2\sqrt x }} + \dfrac{{ - \left( {\sqrt x } \right)'}}{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2}}} + 0,1.10{x^9}\\ = \dfrac{1}{{2\sqrt x }} - \dfrac{{\dfrac{1}{{2\sqrt x }}}}{x} + {x^9}\\ = \dfrac{1}{{2\sqrt x }} - \dfrac{1}{{2x\sqrt x }} + {x^9} \end{array}\)

4. Giải bài 5.43 trang 207 SBT Đại số & Giải tích 11

Tìm đạo hàm của hàm số sau: \(y = {{2{x^2} + x + 1} \over {{x^2} - x + 1}}.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

\(\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\)

\(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\)

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l} y' = \dfrac{{\left( {2{x^2} + x + 1} \right)'\left( {{x^2} - x + 1} \right) - \left( {2{x^2} + x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)'}}{{{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{\left( {4x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right) - \left( {2{x^2} + x + 1} \right)\left( {2x - 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{4{x^3} + {x^2} - 4{x^2} - x + 4x + 1 - \left( {4{x^3} + 2{x^2} + 2x - 2{x^2} - x - 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{ - 3{x^2} + 2x + 2}}{{{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)}^2}}} \end{array}\)

5. Giải bài 5.44 trang 207 SBT Đại số & Giải tích 11

Tìm đạo hàm của hàm số sau: \(g\left( \varphi \right) = {{\cos \varphi + \sin \varphi } \over {1 - \cos \varphi }}.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

\(\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\)

\(\left( {\sin x} \right)' = \cos x \\\left( {\cos x} \right)' = - \sin x\)

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l} g'\left( \varphi \right) = \dfrac{{\left( {\cos \varphi + \sin \varphi } \right)'\left( {1 - \cos \varphi } \right) - \left( {\cos \varphi + \sin \varphi } \right)\left( {1 - \cos \varphi } \right)'}}{{{{\left( {1 - \cos \varphi } \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{\left( { - \sin \varphi + \cos \varphi } \right)\left( {1 - \cos \varphi } \right) - \left( {\cos \varphi + \sin \varphi } \right)\left[ { - \left( { - \sin \varphi } \right)} \right]}}{{{{\left( {1 - \cos \varphi } \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{ - \sin \varphi + \cos \varphi + \sin \varphi \cos \varphi - {{\cos }^2}\varphi - \sin \varphi \cos \varphi - {{\sin }^2}\varphi }}{{{{\left( {1 - \cos \varphi } \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{ - \sin \varphi + \cos \varphi - \left( {{{\sin }^2}\varphi + {{\cos }^2}\varphi } \right)}}{{{{\left( {1 - \cos \varphi } \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{ - \sin \varphi + \cos \varphi - 1}}{{{{\left( {1 - \cos \varphi } \right)}^2}}} \end{array}\)

6. Giải bài 5.45 trang 207 SBT Đại số & Giải tích 11

Tìm đạo hàm của hàm số sau: \(y = {\left( {1 + 3x + 5{x^2}} \right)^4}.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

\(\left( {{u^n}} \right)' = nu'{x^{n - 1}}\)

\(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\)

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l} y'= 4{\left( {1 + 3x + 5{x^2}} \right)^3}\left( {1 + 3x + 5{x^2}} \right)'\\ = 4{\left( {1 + 3x + 5{x^2}} \right)^3}\left( {3 + 5.2x} \right)\\ = 4{\left( {1 + 3x + 5{x^2}} \right)^3}\left( {3 + 10x} \right) \end{array}\)

7. Giải bài 5.46 trang 207 SBT Đại số & Giải tích 11

Tìm đạo hàm của hàm số sau: \(y = {\sin ^2}3x + {1 \over {{{\cos }^2}x}}.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

\(\sin u = u'\cos u\)

\(\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\)

\(\left( {\cos x} \right)' = - \sin x\)

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l} y' = 2\sin 3x\left( {\sin 3x} \right)' + \dfrac{{ - \left( {{{\cos }^2}x} \right)'}}{{{{\cos }^4}x}}\\ = 2\sin 3x.\left( {3x} \right)'\cos 3x - \dfrac{{2\cos x\left( {\cos x} \right)'}}{{{{\cos }^4}x}}\\ = 2\sin 3x.3\cos 3x - \dfrac{{2\left( { - \sin x} \right)}}{{{{\cos }^3}x}}\\ = 3\sin 6x + \dfrac{{2\sin x}}{{{{\cos }^3}x}} \end{array}\)

8. Giải bài 5.47 trang 207 SBT Đại số & Giải tích 11

Tìm đạo hàm của hàm số sau: \(y = \sqrt {x + \sqrt {x + \sqrt x } } .\)

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

\(\left( {\sqrt u } \right)' = \dfrac{{u'}}{{2\sqrt u }}\)

\(\left( {\sqrt x } \right)' = \dfrac{1}{{2\sqrt x }}\)

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l} y' = \dfrac{{\left( {x + \sqrt {x + \sqrt x } } \right)'}}{{2\sqrt {x + \sqrt {x + \sqrt x } } }}\\ = \dfrac{{1 + \left( {\sqrt {x + \sqrt x } } \right)'}}{{2\sqrt {x + \sqrt {x + \sqrt x } } }}\\ = \dfrac{{1 + \dfrac{{\left( {x + \sqrt x } \right)'}}{{2\sqrt {x + \sqrt x } }}}}{{2\sqrt {x + \sqrt {x + \sqrt x } } }}\\ = \dfrac{{1 + \dfrac{{1 + \dfrac{1}{{2\sqrt x }}}}{{2\sqrt {x + \sqrt x } }}}}{{2\sqrt {x + \sqrt {x + \sqrt x } } }}\\ = \dfrac{1}{{2\sqrt {x + \sqrt {x + \sqrt x } } }}\left[ {1 + \dfrac{1}{{2\sqrt {x + \sqrt x } }}\left( {1 + \dfrac{1}{{2\sqrt x }}} \right)} \right] \end{array}\)

9. Giải bài 5.48 trang 207 SBT Đại số & Giải tích 11

Giải phương trình f'(x) = 0, biết rằng

a) \(f\left( x \right) = 3x + {{60} \over x} - {{64} \over {{x^3}}} + 5\)

b) \(\displaystyle f\left( x \right) = {{\sin 3x} \over 3} + \cos x\displaystyle - \sqrt 3 \left( {\sin x + {{\cos 3x} \over 3}} \right).\)

Phương pháp giải:

- Tính đạo hàm của hàm số f(x): Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

\(\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\)

\(\left( {\sin x} \right)' = \cos x \\\left( {\cos x} \right)' = - \sin x\)

- Giải phương trình f'(x) = 0 và kết luận.

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l} a) \ f'\left( x \right) = 3 - \dfrac{{60}}{{{x^2}}} - \dfrac{{64.\left( { - 3{x^2}} \right)}}{{{x^6}}}\\ = 3 - \dfrac{{60}}{{{x^2}}} + \dfrac{{192}}{{{x^4}}}\\ = \dfrac{{3{x^4} - 60{x^2} + 192}}{{{x^4}}}\\ f'\left( x \right) = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{3{x^4} - 60{x^2} + 192}}{{{x^4}}} = 0\\ \Leftrightarrow 3{x^4} - 60{x^2} + 192 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^2} = 16\\ {x^2} = 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \pm 4\\ x = \pm 2 \end{array} \right. \end{array}\)

\(\begin{array}{l} b) \ f'\left( x \right)\\ = \frac{{3\cos 3x}}{3} - \sin x - \sqrt 3 \left( {\cos x + \frac{{ - 3\sin 3x}}{3}} \right)\\ = \cos 3x - \sin x - \sqrt 3 \left( {\cos x - \sin 3x} \right)\\ = \cos 3x + \sqrt 3 \sin 3x - \sin x - \sqrt 3 \cos x\\ f'\left( x \right) = 0\\ \Leftrightarrow \cos 3x + \sqrt 3 \sin 3x - \sin x - \sqrt 3 \cos x = 0\\ \Leftrightarrow \cos 3x + \sqrt 3 \sin 3x = \sin x + \sqrt 3 \cos x\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos 3x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 3x = \frac{1}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x\\ \Leftrightarrow \cos \left( {3x - \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x - \frac{\pi }{3} = x - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\ 3x - \frac{\pi }{3} = - x + \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\ 4x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\ x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2} \end{array} \right. \end{array}\)

10. Giải bài 5.49 trang 208 SBT Đại số & Giải tích 11

Giải các phương trình:

a) f'(x) = 0 với \(f\left( x \right) = 1 - \sin \left( {\pi + x} \right) + 2\cos {{3\pi + x} \over 2}\)

b) g'(x) = 0 với \(g\left( x \right) = \sin 3x - \sqrt 3 \cos 3x + 3\left( {\cos x - \sqrt 3 \sin x} \right).\)

Phương pháp giải:

- Tính đạo hàm của các hàm số f(x), g(x): Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

\(\left( {\sin u} \right)' = u'\cos u \\\left( {\cos u} \right)' = -u' \sin u\)

- Giải các phương trình f'(x) = 0, g'(x) = 0 và kết luận.

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l} a) \ f\left( x \right) = 1 - \sin \left( {\pi + x} \right) + 2\cos \left( {\frac{{3\pi + x}}{2}} \right)\\ = 1 - \left( { - \sin x} \right) + 2\cos \left( {\frac{{3\pi }}{2} + \frac{x}{2}} \right)\\ = 1 + \sin x + 2\sin \frac{x}{2}\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = \cos x + \cos \frac{x}{2}\\ f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \cos x + \cos \frac{x}{2} = 0\\ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}\frac{x}{2} - 1 + \cos \frac{x}{2} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos \frac{x}{2} = - 1\\ \cos \frac{x}{2} = \frac{1}{2} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{x}{2} = \pi + k2\pi \\ \frac{x}{2} = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\ \frac{x}{2} = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\pi + k4\pi \\ x = \frac{{2\pi }}{3} + k4\pi \\ x = - \frac{{2\pi }}{3} + k4\pi \end{array} \right. \end{array}\)

\(\begin{array}{l} b) \ g'\left( x \right) = 3\cos 3x + 3\sqrt 3 \sin 3x + 3\left( { - \sin x - \sqrt 3 \cos x} \right)\\ = 3\left( {\cos 3x + \sqrt 3 \sin 3x} \right) - 3\left( {\sin x + \sqrt 3 \cos x} \right)\\ g'\left( x \right) = 0\\ \Leftrightarrow 3\left( {\cos 3x + \sqrt 3 \sin 3x} \right) - 3\left( {\sin x + \sqrt 3 \cos x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \cos 3x + \sqrt 3 \sin 3x = \sin x + \sqrt 3 \cos x\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos 3x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 3x = \frac{1}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x\\ \Leftrightarrow \cos \left( {3x - \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x - \frac{\pi }{3} = x - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\ 3x - \frac{\pi }{3} = - x + \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\ 4x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\ x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2} \end{array} \right. \end{array}\)

11. Giải bài 5.50 trang 208 SBT Đại số & Giải tích 11

Giải phương trình \(f'\left( x \right) = g\left( x \right)\)

a) Với \(f\left( x \right) = 1 - {\sin ^4}3x\) và \(g\left( x \right) = \sin 6x\)

b) Với \(f\left( x \right) = 4x{\cos ^2}\left( {{x \over 2}} \right)\) và \(g\left( x \right) = 8\cos {x \over 2} - 3 - 2x\sin x.\)

Phương pháp giải:

- Tính đạo hàm của hàm số f(x): Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

\(\left( {\sin u} \right)' = u'\cos u \\\left( {\cos u} \right)' = -u' \sin u\)

- Giải phương trình f'(x) = g(x) và kết luận.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

\(\begin{array}{l} f'\left( x \right) = - 4{\sin ^3}3x.\left( {\sin 3x} \right)'\\ = - 4{\sin ^3}3x.3\cos 3x\\ = - 12{\sin ^3}3x\cos 3x\\= - 6{\sin ^2}3x.2\sin 3x\cos 3x\\ = - 6{\sin ^2}3x\sin 6x\\ f'\left( x \right) = g\left( x \right)\\ \Leftrightarrow - 6{\sin ^2}3x\sin 6x = \sin 6x\\ \Leftrightarrow \sin 6x\left( {1 + 6{{\sin }^2}3x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \sin 6x = 0\left( {do\,1 + 6{{\sin }^2}3x > 0} \right)\\ \Leftrightarrow 6x = k\pi \\ \Leftrightarrow x = \dfrac{{k\pi }}{6} \end{array}\)

b) Ta có: 

\(\begin{array}{l} f'\left( x \right) = 4{\cos ^2}\frac{x}{2} + 4x.2\cos \frac{x}{2}\left( {\cos \frac{x}{2}} \right)'\\ = 4{\cos ^2}\frac{x}{2} + 8x\cos \frac{x}{2}.\left( { - \frac{1}{2}\sin \frac{x}{2}} \right)\\ = 4{\cos ^2}\frac{x}{2} - 4x\cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}\\ = 4{\cos ^2}\frac{x}{2} - 2x\sin x\\ f'\left( x \right) = g\left( x \right)\\ \Leftrightarrow 4{\cos ^2}\frac{x}{2} - 2x\sin x \\= 8\cos \frac{x}{2} - 3 - 2x\sin x\\ \Leftrightarrow 4{\cos ^2}\frac{x}{2} - 8\cos \frac{x}{2} + 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos \frac{x}{2} = \frac{3}{2}\left( {VN} \right)\\ \cos \frac{x}{2} = \frac{1}{2} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \frac{x}{2} = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \\ \Leftrightarrow x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k4\pi \end{array}\)

12. Giải bài 5.51 trang 208 SBT Đại số & Giải tích 11

Chứng minh rằng \(f'\left( x \right) = 0\forall x \in R,\) nếu:

a) \(f\left( x \right) = 3\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right) - 2\left( {{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x} \right)\)

b) \(f\left( x \right) = {\cos ^6}x + 2{\sin ^4}x{\cos ^2}x+ 3{\sin ^2}x{\cos ^4}x + {\sin ^4}x\)

c) \(f\left( x \right) = \cos \left( {x - {\pi \over 3}} \right)\cos \left( {x + {\pi \over 4}} \right)+ \cos \left( {x + {\pi \over 6}} \right)\cos \left( {x + {{3\pi } \over 4}} \right)\)

d) \(f\left( x \right) = {\cos ^2}x + {\cos ^2}\left( {{{2\pi } \over 3} + x} \right) + {\cos ^2}\left( {{{2\pi } \over 3} - x} \right).\)

Phương pháp giải:

Chứng minh các biểu thức đã cho không phụ thuộc vào x.

Từ đó suy ra f′(x) = 0.

Hướng dẫn giải:

a) \(f\left( x \right) = 3\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right) - 2\left( {{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x} \right)\)

\(\begin{array}{l} = 3\left[ {{{\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)}^2} - 2{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x} \right]\\ - 2\left[ {{{\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)}^3} - 3{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)} \right]\\ = 3\left[ {1 - 2{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x} \right] - 2\left[ {1 - 3{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x} \right]\\ = 3 - 6{\sin ^2}x{\cos ^2}x - 2 + 6{\sin ^2}x{\cos ^2}x\\ = 1\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \end{array}\)

b) \(f\left( x \right) = {\cos ^6}x + 2{\sin ^4}x{\cos ^2}x+ 3{\sin ^2}x{\cos ^4}x + {\sin ^4}x\)

\(\begin{array}{l} = \left( {{{\cos }^6}x + 3{{\sin }^2}x{{\cos }^4}x} \right) + \left( {2{{\sin }^4}x{{\cos }^2}x + {{\sin }^4}x} \right)\\ = {\cos ^4}x\left( {{{\cos }^2}x + 3{{\sin }^2}x} \right) + {\sin ^4}x\left( {2{{\cos }^2}x + 1} \right)\\ = {\cos ^4}x\left( {1 + 2{{\sin }^2}x} \right) + {\sin ^4}x\left( {2{{\cos }^2}x + 1} \right)\\ = {\cos ^4}x + 2{\sin ^2}x{\cos ^4}x + 2{\sin ^4}x{\cos ^2}x + {\sin ^4}x\\ = \left( {{{\cos }^4}x + {{\sin }^4}x} \right) + 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\left( {{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x} \right)\\ = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x + 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\\ = 1\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \end{array}\)

c) \(f\left( x \right) = \cos \left( {x - {\pi \over 3}} \right)\cos \left( {x + {\pi \over 4}} \right)+ \cos \left( {x + {\pi \over 6}} \right)\cos \left( {x + {{3\pi } \over 4}} \right)\)

\(\begin{array}{l} = \left( {\cos x\cos \frac{\pi }{3} + \sin x\sin \frac{\pi }{3}} \right)\left( {\cos x\cos \frac{\pi }{4} - \sin x\sin \frac{\pi }{4}} \right)\\ + \left( {\cos x\cos \frac{\pi }{6} - \sin x\sin \frac{\pi }{6}} \right)\left( {\cos x\cos \frac{{3\pi }}{4} - \sin x\sin \frac{{3\pi }}{4}} \right)\\ = \left( {\frac{1}{2}\cos x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x} \right)\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x} \right)\\ + \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x - \frac{1}{2}\sin x} \right)\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x} \right)\\ = \frac{{\sqrt 2 }}{4}{\cos ^2}x + \frac{{\sqrt 6 }}{4}\sin x\cos x - \frac{{\sqrt 2 }}{4}\sin x\cos x - \frac{{\sqrt 6 }}{4}{\sin ^2}x\\ - \frac{{\sqrt 6 }}{4}{\cos ^2}x + \frac{{\sqrt 2 }}{4}\sin x\cos x - \frac{{\sqrt 6 }}{4}\sin x\cos x + \frac{{\sqrt 2 }}{4}{\sin ^2}x\\ = \frac{{\sqrt 2 - \sqrt 6 }}{4}{\cos ^2}x + \frac{{\sqrt 2 - \sqrt 6 }}{4}{\sin ^2}x\\ = \frac{{\sqrt 2 - \sqrt 6 }}{4}\left( {{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x} \right)\\ = \frac{{\sqrt 2 - \sqrt 6 }}{4}\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \end{array}\)

d) \(f\left( x \right) = {\cos ^2}x + {\cos ^2}\left( {{{2\pi } \over 3} + x} \right) + {\cos ^2}\left( {{{2\pi } \over 3} - x} \right).\)

\(\begin{array}{l} = {\cos ^2}x + {\cos ^2}\left( {\frac{{2\pi }}{3} + x} \right) + {\cos ^2}\left( {\frac{{2\pi }}{3} - x} \right)\\ = {\cos ^2}x + {\left( {\cos \frac{{2\pi }}{3}\cos x - \sin \frac{{2\pi }}{3}\sin x} \right)^2}\\ + {\left( {\cos \frac{{2\pi }}{3}\cos x + \sin \frac{{2\pi }}{3}\sin x} \right)^2}\\ = {\cos ^2}x + {\left( { - \frac{1}{2}\cos x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x} \right)^2}\\ + {\left( { - \frac{1}{2}\cos x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x} \right)^2}\\ = {\cos ^2}x + \left( {\frac{1}{4}{{\cos }^2}x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x\cos x + \frac{3}{4}{{\sin }^2}x} \right)\\ + \left( {\frac{1}{4}{{\cos }^2}x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x\cos x + \frac{3}{4}{{\sin }^2}x} \right)\\ = {\cos ^2}x + \frac{1}{2}{\cos ^2}x + \frac{3}{2}{\sin ^2}x\\ = \frac{3}{2}{\cos ^2}x + \frac{3}{2}{\sin ^2}x\\ = \frac{3}{2}\left( {{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x} \right)\\ = \frac{3}{2}\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \end{array}\)

13. Giải bài 5.52 trang 208 SBT Đại số & Giải tích 11

Tìm \(f'\left( 1 \right),f'\left( 2 \right),f'\left( 3 \right)\) nếu \(f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right){\left( {x - 2} \right)^2}{\left( {x - 3} \right)^3}.\)

Phương pháp giải:

- Tính f'(x) bằng cách sử dụng công thức tính đạo hàm:

\(u.v.w = u'.v.w + u.v'.w + u.v.w'\)

- Thay x = 1; x = 2; x = 3 vào f'(x).

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l} f'\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)'{\left( {x - 2} \right)^2}{\left( {x - 3} \right)^3} + \left( {x - 1} \right)\left[ {{{\left( {x - 2} \right)}^2}} \right]'{\left( {x - 3} \right)^3}\\ + \left( {x - 1} \right){\left( {x - 2} \right)^2}\left[ {{{\left( {x - 3} \right)}^3}} \right]'\\ = {\left( {x - 2} \right)^2}{\left( {x - 3} \right)^3} + \left( {x - 1} \right).2\left( {x - 2} \right){\left( {x - 3} \right)^3}\\ + \left( {x - 1} \right){\left( {x - 2} \right)^2}.3{\left( {x - 3} \right)^2}\\ \Rightarrow f'\left( 1 \right) = {\left( {1 - 2} \right)^2}{\left( {1 - 3} \right)^3} + 0 = - 8\\ f'\left( 2 \right) = 0 + 0 + 0 = 0\\ f'\left( 3 \right) = 0 + 0 + 0 = 0 \end{array}\)

14. Giải bài 5.53 trang 208 SBT Đại số & Giải tích 11

Tìm f'(2) nếu \(f\left( x \right) = {x^2}\sin \left( {x - 2} \right).\)

Phương pháp giải:

- Tính f'(x) bằng cách sử dụng các công thức tính đạo hàm:

\(u.v=u'v+uv'\)

\(\sin u = u' \ sin u\)

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l} f'\left( x \right) = \left( {{x^2}} \right)'\sin \left( {x - 2} \right) + {x^2}\left[ {\sin \left( {x - 2} \right)} \right]'\\ = 2x\sin \left( {x - 2} \right) + {x^2}.\cos \left( {x - 2} \right)\\ \Rightarrow f'\left( 2 \right) = 2.2\sin 0 + {2^2}\cos 0\\ = 0 + 4.1 = 4 \end{array}\)

15. Giải bài 5.54 trang 208 SBT Đại số & Giải tích 11

Cho \(y = {{{x^3}} \over 3} + {{{x^2}} \over 2} - 2x.\) Với những giá trị nào của x thì:

a) \(y'\left( x \right) = 0;\)

b) \(y'\left( x \right) = - 2;\)

c) \(y'\left( x \right) = 10\)

Phương pháp giải:

- Tính y' bằng cách sử dụng công thức tính đạo hàm \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\).

- Giải các phương trình y' = 0; y' = -2; y' = 10 và kết luận giá trị của x.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

\(y' = \dfrac{{3{x^2}}}{3} + \dfrac{{2x}}{2} - 2= {x^2} + x - 2\)

\(\begin{array}{l} y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = - 2 \end{array} \right. \end{array}\)

b) Ta có:

\(\begin{array}{l} y' = - 2 \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = - 2\\ \Leftrightarrow {x^2} + x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 0 \end{array} \right. \end{array}\)

c) Ta có:

\(\begin{array}{l} y' = 10 \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 10\\ \Leftrightarrow {x^2} + x - 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 4\\ x = 3 \end{array} \right. \end{array}\)

16. Giải bài 5.55 trang 208 SBT Đại số & Giải tích 11

Tìm đạo hàm của hàm số sau: \(y = {a^5} + 5{a^3}{x^2} - {x^5}.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\).

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l} y' = 5{a^3}.\left( {{x^2}} \right)' - \left( {{x^5}} \right)'\\ = 5{a^3}.2x - 5{x^4}\\ = 10{a^3}x - 5{x^4} \end{array}\)

17. Giải bài 5.56 trang 208 SBT Đại số & Giải tích 11

Tìm đạo hàm của hàm số sau: \(y = \left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right).\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm \(u.v=u'v+uv'\)

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l} y' = \left( {x - a} \right)'\left( {x - b} \right) + \left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right)'\\ = 1.\left( {x - b} \right) + \left( {x - a} \right).1\\ = 2x - \left( {a + b} \right) \end{array}\)

18. Giải bài 5.57 trang 208 SBT Đại số & Giải tích 11

Tìm đạo hàm của hàm số: \(y = {{ax + b} \over {a + b}}.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm \(\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\)

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l} y = \dfrac{a}{{a + b}}x + \dfrac{b}{{a + b}}\\ \Rightarrow y' = \dfrac{a}{{a + b}}.\left( x \right)' + 0\\ \Rightarrow y' = \dfrac{a}{{a + b}} \end{array}\)

19. Giải bài 5.58 trang 208 SBT Đại số & Giải tích 11

Tìm đạo hàm của hàm số sau: \(y = \left( {x + 1} \right){\left( {x + 2} \right)^2}{\left( {x + 3} \right)^3}.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm:

\(u.v.w = u'.v.w + u.v'.w + u.v.w'\)

\(\left( {{u^n}} \right)' = nu'{u^{n - 1}}\)

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l} y' = \left( {x + 1} \right)'{\left( {x + 2} \right)^2}{\left( {x + 3} \right)^3}\\ + \left( {x + 1} \right)\left[ {{{\left( {x + 2} \right)}^2}} \right]'{\left( {x + 3} \right)^3}\\ + \left( {x + 1} \right){\left( {x + 2} \right)^2}\left[ {{{\left( {x + 3} \right)}^3}} \right]'\\ = {\left( {x + 2} \right)^2}{\left( {x + 3} \right)^3}\\ + \left( {x + 1} \right).2\left( {x + 2} \right){\left( {x + 3} \right)^3}\\ + \left( {x + 1} \right){\left( {x + 2} \right)^2}.3{\left( {x + 3} \right)^2} \end{array}\)

20. Giải bài 5.59 trang 208 SBT Đại số & Giải tích 11

Tìm đạo hàm của hàm số sau: \(y = \left( {x\sin \alpha + \cos \alpha } \right)\left( {x\cos \alpha - \sin \alpha } \right).\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm:

\(u.v=u'v+uv'\)

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l} y' = \left( {x\sin \alpha + \cos \alpha } \right)'\left( {x\cos \alpha - \sin \alpha } \right)\\ + \left( {x\sin \alpha + \cos \alpha } \right)\left( {x\cos \alpha - \sin \alpha } \right)'\\ = \sin \alpha \left( {x\cos \alpha - \sin \alpha } \right)\\ + \left( {x\sin \alpha + \cos \alpha } \right)\cos \alpha \\ = x\sin \alpha \cos \alpha - {\sin ^2}\alpha \\ + x\sin \alpha \cos \alpha + {\cos ^2}\alpha \\ = 2x\sin \alpha \cos \alpha + \left( {{{\cos }^2}\alpha - {{\sin }^2}\alpha } \right)\\ = x\sin 2\alpha + \cos 2\alpha \end{array}\)

21. Giải bài 5.60 trang 208 SBT Đại số & Giải tích 11

Tìm đạo hàm của hàm số sau: \(y = \left( {1 + n{x^m}} \right)\left( {1 + m{x^n}} \right).\)

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

\(u.v=u'v+uv'\)

\(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\)

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l} y' = \left( {1 + n{x^m}} \right)'\left( {1 + m{x^n}} \right) + \left( {1 + n{x^m}} \right)\left( {1 + m{x^n}} \right)'\\ = nm{x^{m - 1}}\left( {1 + m{x^n}} \right) + \left( {1 + n{x^m}} \right).mn{x^{n - 1}}\\ = mn{x^{m - 1}} + {m^2}n{x^{m + n - 1}} + mn{x^{n - 1}} + m{n^2}{x^{m + n - 1}}\\ = mn\left[ {{x^{m - 1}} + {x^{n - 1}} + \left( {m + n} \right){x^{m + n - 1}}} \right] \end{array}\)

22. Giải bài 5.61 trang 209 SBT Đại số & Giải tích 11

Tìm đạo hàm của hàm số sau: \(y = \left( {1 - x} \right){\left( {1 - {x^2}} \right)^2}{\left( {1 - {x^3}} \right)^3}.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm:

\(u.v.w = u'.v.w + u.v'.w + u.v.w'\)

\(\left( {{u^n}} \right)' = nu'{u^{n - 1}}\)

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l} y' = \left( {1 - x} \right)'{\left( {1 - {x^2}} \right)^2}{\left( {1 - {x^3}} \right)^3} + \left( {1 - x} \right)\left[ {{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^2}} \right]'{\left( {1 - {x^3}} \right)^3}\\ + \left( {1 - x} \right){\left( {1 - {x^2}} \right)^2}\left[ {{{\left( {1 - {x^3}} \right)}^3}} \right]'\\ = - 1.{\left( {1 - {x^2}} \right)^2}{\left( {1 - {x^3}} \right)^3} + \left( {1 - x} \right)\left[ {2\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {x^2}} \right)'} \right]{\left( {1 - {x^3}} \right)^3}\\+ \left( {1 - x} \right){\left( {1 - {x^2}} \right)^2}\left[ {{{\left( {1 - {x^3}} \right)}^2}\left( {1 - {x^3}} \right)'} \right]\\ = - {\left( {1 - {x^2}} \right)^2}{\left( {1 - {x^3}} \right)^3} + \left( {1 - x} \right)\left[ {2\left( {1 - {x^2}} \right).\left( { - 2x} \right)} \right]{\left( {1 - {x^3}} \right)^3}\\ + \left( {1 - x} \right){\left( {1 - {x^2}} \right)^2}\left[ {{{\left( {1 - {x^3}} \right)}^2}\left( { - 3{x^2}} \right)} \right]\\ = - {\left( {1 - {x^2}} \right)^2}{\left( {1 - {x^3}} \right)^3} - 4x\left( {1 - x} \right)\left( {1 - {x^2}} \right){\left( {1 - {x^3}} \right)^3}\\ - 3{x^2}\left( {1 - x} \right){\left( {1 - {x^2}} \right)^2}{\left( {1 - {x^3}} \right)^2} \end{array}\)

23. Giải bài 5.62 trang 209 SBT Đại số & Giải tích 11

Tìm đạo hàm của hàm số sau: \(y = {{1 + x - {x^2}} \over {1 - x + {x^2}}}.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

\(\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\)

\(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\)

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l} y' = \dfrac{{\left( {1 + x - {x^2}} \right)'\left( {1 - x + {x^2}} \right) - \left( {1 + x - {x^2}} \right)\left( {1 - x + {x^2}} \right)'}}{{{{\left( {1 - x + {x^2}} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{\left( {1 - 2x} \right)\left( {1 - x + {x^2}} \right) - \left( {1 + x - {x^2}} \right)\left( { - 1 + 2x} \right)}}{{{{\left( {1 - x + {x^2}} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{\left( {1 - 2x} \right)\left( {1 - x + {x^2}} \right) + \left( {1 + x - {x^2}} \right)\left( {1 - 2x} \right)}}{{{{\left( {1 - x + {x^2}} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{\left( {1 - 2x} \right)\left( {1 - x + {x^2} + 1 + x - {x^2}} \right)}}{{{{\left( {1 - x + {x^2}} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{2\left( {1 - 2x} \right)}}{{{{\left( {1 - x + {x^2}} \right)}^2}}} \end{array}\)

24. Giải bài 5.63 trang 209 SBT Đại số & Giải tích 11

Tìm đạo hàm của các hàm số sau: \(y = {x \over {{{\left( {1 - x} \right)}^2}{{\left( {1 + x} \right)}^3}}}.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

\(\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\)

\(\left( {{u^n}} \right)' = nu'{u^{n - 1}}\)

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l} y' = \dfrac{{\left( x \right)'{{\left( {1 - x} \right)}^2}{{\left( {1 + x} \right)}^3} - x\left[ {{{\left( {1 - x} \right)}^2}{{\left( {1 + x} \right)}^3}} \right]'}}{{{{\left[ {{{\left( {1 - x} \right)}^2}{{\left( {1 + x} \right)}^3}} \right]}^2}}}\\ = \dfrac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}{{\left( {1 + x} \right)}^3} - x\left\{ {\left[ {{{\left( {1 - x} \right)}^2}} \right]'{{\left( {1 + x} \right)}^3} + {{\left( {1 - x} \right)}^2}\left[ {{{\left( {1 + x} \right)}^3}} \right]'} \right\}}}{{{{\left[ {{{\left( {1 - x} \right)}^2}{{\left( {1 + x} \right)}^3}} \right]}^2}}}\\ = \dfrac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}{{\left( {1 + x} \right)}^3} - x\left[ {2x\left( {1 - x} \right)\left( {1 - x} \right)'{{\left( {1 + x} \right)}^3} + {{\left( {1 - x} \right)}^2}.3{{\left( {1 + x} \right)}^2}\left( {1 + x} \right)'} \right]}}{{{{\left[ {{{\left( {1 - x} \right)}^2}{{\left( {1 + x} \right)}^3}} \right]}^2}}}\\ = \dfrac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}{{\left( {1 + x} \right)}^3} - x\left[ { - 2\left( {1 - x} \right){{\left( {1 + x} \right)}^3} + 3.{{\left( {1 - x} \right)}^2}{{\left( {1 + x} \right)}^2}} \right]}}{{{{\left[ {{{\left( {1 - x} \right)}^2}{{\left( {1 + x} \right)}^3}} \right]}^2}}}\\ = \dfrac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}{{\left( {1 + x} \right)}^3} + 2x\left( {1 - x} \right){{\left( {1 + x} \right)}^3} - 3.{{\left( {1 - x} \right)}^2}{{\left( {1 + x} \right)}^2}}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^4}{{\left( {1 + x} \right)}^6}}}\\ = \dfrac{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right) + 2x\left( {1 + x} \right) - 3x\left( {1 - x} \right)}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^3}{{\left( {1 + x} \right)}^4}}}\\ = \dfrac{{1 - {x^2} + 2x + 2{x^2} - 3x + 3{x^2}}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^3}{{\left( {1 + x} \right)}^4}}}\\ = \dfrac{{1 - x + 4{x^2}}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^3}{{\left( {1 + x} \right)}^4}}} \end{array}\)

25. Giải bài 5.64 trang 209 SBT Đại số & Giải tích 11

Tìm đạo hàm của các hàm số sau: \(y = {{\left( {2 - {x^2}} \right)\left( {3 - {x^3}} \right)} \over {{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

\(\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\)

\(uv=u'v+uv'\)

\(\left( {{u^n}} \right)' = nu'{u^{n - 1}}\)

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l} y = \dfrac{{6 - 3{x^2} - 2{x^3} + {x^5}}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}\\ y' = \dfrac{{\left( {6 - 3{x^2} - 2{x^3} + {x^5}} \right)'{{\left( {1 - x} \right)}^2} - \left( {6 - 3{x^2} - 2{x^3} + {x^5}} \right)\left[ {{{\left( {1 - x} \right)}^2}} \right]'}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^4}}}\\ = \dfrac{{\left( { - 6x - 6{x^2} + 5{x^4}} \right){{\left( {1 - x} \right)}^2} - \left( {6 - 3{x^2} - 2{x^3} + {x^5}} \right)\left( { - 2} \right)\left( {1 - x} \right)}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^4}}}\\ = \dfrac{{\left( { - 6x - 6{x^2} + 5{x^4}} \right)\left( {1 - x} \right) + 2\left( {6 - 3{x^2} - 2{x^3} + {x^5}} \right)}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^3}}}\\ = \dfrac{{ - 6x - 6{x^2} + 5{x^4} + 6{x^2} + 6{x^3} - 5{x^5} + 12 - 6{x^2} - 4{x^3} + 2{x^5}}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^3}}}\\ = \dfrac{{12 - 6x - 6{x^2} + 2{x^3} + 5{x^4} - 3{x^5}}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^3}}} \end{array}\)

26. Giải bài 5.65 trang 209 SBT Đại số & Giải tích 11

Tìm đạo hàm của các hàm số sau: \(y = x\sqrt {1 + {x^2}} .\)

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

\(uv=u'v+uv'\)

\(\left( {\sqrt u } \right)' = \frac{{u'}}{{2\sqrt u }}\)

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l} y' = \left( x \right)'\sqrt {1 + {x^2}} + x\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)'\\ = \sqrt {1 + {x^2}} + x.\dfrac{{\left( {1 + {x^2}} \right)'}}{{2\sqrt {1 + {x^2}} }}\\ = \sqrt {1 + {x^2}} + x.\dfrac{{2x}}{{2\sqrt {1 + {x^2}} }}\\ = \sqrt {1 + {x^2}} + \dfrac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\\ = \dfrac{{1 + {x^2} + {x^2}}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\\ = \dfrac{{1 + 2{x^2}}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} \end{array}\)

27. Giải bài 5.66 trang 209 SBT Đại số & Giải tích 11

Tìm đạo hàm của hàm số sau: \(y = {x \over {\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

\(\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\)

\(\left( {\sqrt u } \right)' = \frac{{u'}}{{2\sqrt u }}\)

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l} y' = \dfrac{{\left( x \right)'\sqrt {{a^2} - {x^2}} - x\left( {\sqrt {{a^2} - {x^2}} } \right)'}}{{{a^2} - {x^2}}}\\ = \dfrac{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} - x.\dfrac{{\left( {{a^2} - {x^2}} \right)'}}{{2\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}}}{{{a^2} - {x^2}}}\\ = \dfrac{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} - x.\dfrac{{ - 2x}}{{2\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}}}{{{a^2} - {x^2}}}\\ = \dfrac{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} + \dfrac{{{x^2}}}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}}}{{{a^2} - {x^2}}}\\ = \dfrac{{{a^2} - {x^2} + {x^2}}}{{\left( {{a^2} - {x^2}} \right)\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}\\ = \dfrac{{{a^2}}}{{\left( {{a^2} - {x^2}} \right)\sqrt {{a^2} - {x^2}} }} \end{array}\)

\(\left( {\left| x \right| < \left| a \right|} \right)\)

28. Giải bài 5.67 trang 209 SBT Đại số & Giải tích 11

Tìm đạo hàm của hàm số sau: \(y = \sin \left( {{{\cos }^2}x} \right).\cos \left( {{{\sin }^2}x} \right).\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: \(\left( {uv} \right)' = u'v + uv'\) và các biến đổi lượng giác:

\(\begin{array}{l} \cos u\cos v + \sin u\sin v = \cos \left( {u - v} \right)\\ 2\sin u\sin u = \sin 2u\\ {\cos ^2}u - {\sin ^2}u = \cos 2u \end{array}\)

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l} y' = \left[ {\sin \left( {{{\cos }^2}x} \right)} \right]'\cos \left( {{{\sin }^2}x} \right) + \sin \left( {{{\cos }^2}x} \right).\left[ {\cos \left( {{{\sin }^2}x} \right)} \right]'\\ = \left( {{{\cos }^2}x} \right)'\cos \left( {{{\cos }^2}x} \right)\cos \left( {{{\sin }^2}x} \right) + \sin \left( {{{\cos }^2}x} \right).\left( {{{\sin }^2}x} \right)'.\left[ { - \sin \left( {{{\sin }^2}x} \right)} \right]\\ = 2\cos x\left( {\cos x} \right)'\cos \left( {{{\cos }^2}x} \right)\cos \left( {{{\sin }^2}x} \right)- \sin \left( {{{\cos }^2}x} \right).2\sin x\left( {\sin x} \right)'.\sin \left( {{{\sin }^2}x} \right)\\ = 2\cos x.\left( { - \sin x} \right)\cos \left( {{{\cos }^2}x} \right)\cos \left( {{{\sin }^2}x} \right) - \sin \left( {{{\cos }^2}x} \right).2\sin x\cos x\sin \left( {{{\sin }^2}x} \right)\\ = - \sin 2x\cos \left( {{{\cos }^2}x} \right)\cos \left( {{{\sin }^2}x} \right) - \sin \left( {{{\cos }^2}x} \right).\sin 2x\sin \left( {{{\sin }^2}x} \right)\\ = - \sin 2x.\left[ {\cos \left( {{{\cos }^2}x} \right)\cos \left( {{{\sin }^2}x} \right) + \sin \left( {{{\cos }^2}x} \right)\sin \left( {{{\sin }^2}x} \right)} \right]\\ = - \sin 2x\cos \left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right)\\ = - \sin 2x\cos \left( {\cos 2x} \right) \end{array}\)

29. Giải bài 5.68 trang 209 SBT Đại số & Giải tích 11

Tìm đạo hàm của hàm số sau: \(y = {{\sin x - x\cos x} \over {\cos x + x\sin x}}.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

\(\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\)

\(uv=u'v+uv'\)

\((\sin x)'= \cos x\)

\((cos x)'= - \sin x\)

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l} y' = \dfrac{{\left( {\sin x - x\cos x} \right)'\left( {\cos x + x\sin x} \right) - \left( {\sin x - x\cos x} \right)\left( {\cos x + x\sin x} \right)'}}{{{{\left( {\cos x + x\sin x} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{\left( {\cos x - \cos x + x\sin x} \right)\left( {\cos x + x\sin x} \right) - \left( {\sin x - x\cos x} \right)\left( { - \sin x + \sin x + x\cos x} \right)}}{{{{\left( {\cos x + x\sin x} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{x\sin x\left( {\cos x + x\sin x} \right) - \left( {\sin x - x\cos x} \right).x\cos x}}{{{{\left( {\cos x + x\sin x} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{x\sin x.\cos x + {x^2}{{\sin }^2}x - x\sin x\cos x + {x^2}{{\cos }^2}x}}{{{{\left( {\cos x + x\sin x} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{{x^2}{{\sin }^2}x + {x^2}{{\cos }^2}x}}{{{{\left( {\cos x + x\sin x} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{{x^2}}}{{{{\left( {\cos x + x\sin x} \right)}^2}}} \end{array}\)

30. Giải bài 5.69 trang 209 SBT Đại số & Giải tích 11

Tìm đạo hàm của hàm số sau:

\(y = \tan x - {1 \over 3}{\tan ^3}x + {1 \over 5}{\tan ^5}x.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức đạo hàm: \(\left( {{u^n}} \right)' = n{u^{n - 1}}u'\)

Công thức đạo hàm hàm số lượng giác \(\left( {\tan x} \right)' = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 1 + {\tan ^2}x\)

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l} y' = \left( {\tan x} \right)' - \dfrac{1}{3}.3{\tan ^2}x\left( {\tan x} \right)'\\ + \dfrac{1}{5}.5{\tan ^4}x\left( {\tan x} \right)'\\ = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - {\tan ^2}x.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}\\ + {\tan ^4}x.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}\\ = \left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) - {\tan ^2}x\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)\\ + {\tan ^4}x\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)\\ = 1 + {\tan ^2}x - {\tan ^2}x - {\tan ^4}x\\ + {\tan ^4}x + {\tan ^6}x\\ = 1 + {\tan ^6}x\\ \left( {x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z} \right) \end{array}\)

31. Giải bài 5.70 trang 209 SBT Đại số & Giải tích 11

Tìm đạo hàm của hàm số \(y = \dfrac{{\sin {x^2}}}{x}\)

A. \(\dfrac{{2{x^2}\cos {x^2} - \sin {x^2}}}{{{x^2}}}\)

B. \(\dfrac{{2x\cos {x^2} - \sin {x^2}}}{x}\)

C. \(\dfrac{1}{{{x^2}}}\)

D. \(2{x^2}\cos {x^2} - \sin x\)

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

\(\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\)

\(\sin u = u' \cos u\)

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l}y' = \dfrac{{\left( {\sin {x^2}} \right)'.x - \sin {x^2}.\left( x \right)'}}{{{x^2}}}\\ = \dfrac{{\left( {{x^2}} \right)'\cos {x^2}.x - \sin {x^2}}}{{{x^2}}}\\ = \dfrac{{2x\cos {x^2}.x - \sin {x^2}}}{{{x^2}}}\\ = \dfrac{{2{x^2}\cos {x^2} - \sin {x^2}}}{{{x^2}}}\end{array}\)

Chọn đáp án: A

32. Giải bài 5.71 trang 209 SBT Đại số & Giải tích 11

Cho hàm số \(y = \cos \dfrac{x}{{x + 1}}\). Tìm y'

A. \(\dfrac{{\sin \dfrac{x}{{x + 1}}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

B. \(\dfrac{{\cos \dfrac{x}{{x + 1}}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

C. \(\dfrac{{ - \sin \dfrac{x}{{x + 1}}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

D. \(\dfrac{{\sin \dfrac{x}{{x + 1}}}}{{x + 1}}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

\(\cos u = -u' \sin u\)

\(\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\)

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l}y' = \left( {\dfrac{x}{{x + 1}}} \right)'\left( { - \sin \dfrac{x}{{x + 1}}} \right)\\ = \dfrac{{\left( x \right)'\left( {x + 1} \right) - x\left( {x + 1} \right)'}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\left( { - \sin \dfrac{x}{{x + 1}}} \right)\\ = \dfrac{{x + 1 - x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\left( { - \sin \dfrac{x}{{x + 1}}} \right)\\ = \dfrac{{ - \sin \dfrac{x}{{x + 1}}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\end{array}\)

Chọn đáp án: C

33. Giải bài 5.72 trang 209 SBT Đại số & Giải tích 11

Tìm đạo hàm của hàm số y = tan2 x – cot x2

A. \(\dfrac{{\sin x}}{{{{\cos }^3}x}} + \dfrac{{2x}}{{\sin {x^2}}}\)

B. \(\dfrac{{2\sin x}}{{{{\cos }^3}x}} - \dfrac{{2x}}{{{{\sin }^2}{x^2}}}\)

C. \(\dfrac{{2\sin x}}{{{{\cos }^3}x}} - \dfrac{{2x}}{{\sin {x^2}}}\)

D. \(\dfrac{{2\sin x}}{{{{\cos }^3}x}} + \dfrac{{2x}}{{{{\sin }^2}{x^2}}}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

\(\left( {\cot x} \right)' = - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}\)

\(\left( {\tan x} \right)' = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 1 + {\tan ^2}x\)

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l}y' = 2\tan x\left( {\tan x} \right)' - \left( {{x^2}} \right)'.\left( { - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}{x^2}}}} \right)\\ = 2\tan x.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \dfrac{{2x}}{{{{\sin }^2}{x^2}}}\\ = 2.\dfrac{{\sin x}}{{\cos x}}.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \dfrac{{2x}}{{{{\sin }^2}{x^2}}}\\ = \dfrac{{2\sin x}}{{{{\cos }^3}x}} + \dfrac{{2x}}{{{{\sin }^2}{x^2}}}\end{array}\)

Chọn đáp án: D

34. Giải bài 5.73 trang 210 SBT Đại số & Giải tích 11

Cho \(f\left( t \right) = \dfrac{{\cos t}}{{1 - \sin t}}\). Tính f'(π/6)

A. -2         B. -3         C. 2         D. 5

Phương pháp giải:

- Sử dụng các công thức tính đạo hàm f'(x):

\(\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\)

\(\left( {\sin x} \right)' = \cos x\\\left( {\cos x} \right)' = - \sin x\)

- Thay x = π/6 vào f'(x) và chọn đáp số đúng.

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l}f'\left( t \right) = \dfrac{{\left( {\cos t} \right)'\left( {1 - \sin t} \right) - \cos t.\left( {1 - \sin t} \right)'}}{{{{\left( {1 - \sin t} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{ - \sin t\left( {1 - \sin t} \right) - \cos t\left( { - \cos t} \right)}}{{{{\left( {1 - \sin t} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{ - \sin t + {{\sin }^2}t + {{\cos }^2}t}}{{{{\left( {1 - \sin t} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{ - \sin t + 1}}{{{{\left( {1 - \sin t} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{1}{{1 - \sin t}}\\ \Rightarrow f'\left( {\dfrac{\pi }{6}} \right) = \dfrac{1}{{1 - \sin \dfrac{\pi }{6}}}\\ = \dfrac{1}{{1 - \dfrac{1}{2}}} = 2\end{array}\)

35. Giải bài 5.74 trang 210 SBT Đại số & Giải tích 11

Tìm đạo hàm của hàm số y = (3 - sinx)3

A. 3(3 - sinx)

B. -3(3 - sinx)2cosx

C. -3(3 - sinx).cosx

D. -3(3 - sinx).cos2x

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm \(\sin x = \cos x\) và quy tắc tính đạo hàm hàm số hợp.

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l}y' = 3{\left( {3 - \sin x} \right)^2}\left( {3 - \sin x} \right)'\\ = 3{\left( {3 - \sin x} \right)^2}\left( {0 - \cos x} \right)\\ = - 3{\left( {3 - \sin x} \right)^2}\cos x\end{array}\)

Chọn đáp án: B

36. Giải bài 5.75 trang 210 SBT Đại số & Giải tích 11

Cho \(f\left( x \right) = \sqrt {1 + 2\tan x}\). Tính f'(π/4)

A. \(2\sqrt3\)

B. \(\dfrac23\)

C. \(\dfrac{\sqrt3}9\)

D. \(\dfrac{2\sqrt3}3\)

Phương pháp giải:

- Sử dụng các công thức tính đạo hàm f'(x):

\(\left( {\sqrt u } \right)' = \dfrac{{u'}}{{2\sqrt u }}\)

\(\left( {\tan x} \right)' = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)

- Thay x = π/4 vào f'(x) và chọn đáp số đúng.

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \dfrac{{\left( {1 + 2\tan x} \right)'}}{{2\sqrt {1 + 2\tan x} }}\\ = \dfrac{{2.\left( {\tan x} \right)'}}{{2\sqrt {1 + 2\tan x} }}\\ = \dfrac{{\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}}}{{\sqrt {1 + 2\tan x} }}\\ = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x\sqrt {1 + 2\tan x} }}\\ \Rightarrow f'\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\dfrac{\pi }{4}\sqrt {1 + 2\tan \dfrac{\pi }{4}} }}\\ = \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}.\sqrt {1 + 2.1} }} = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\end{array}\)

Chọn đáp án: D

37. Giải bài 5.76 trang 210 SBT Đại số & Giải tích 11

Tìm đạo hàm của \(g\left( \varphi \right) = \dfrac{{\cos \varphi + \sin \varphi }}{{1 - \cos \varphi }}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

\(\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\)

\(\left( {\sin x} \right)' = \cos x\\\left( {\cos x} \right)' = - \sin x\)

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l}g'\left( \varphi \right)\\ = \dfrac{{\left( {\cos \varphi + \sin \varphi } \right)'\left( {1 - \cos \varphi } \right) - \left( {\cos \varphi + \sin \varphi } \right)\left( {1 - \cos \varphi } \right)'}}{{{{\left( {1 - \cos \varphi } \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{\left( { - \sin \varphi + \cos \varphi } \right)\left( {1 - \cos \varphi } \right) - \left( {\cos \varphi + \sin \varphi } \right)\left( { - \left( { - \sin \varphi } \right)} \right)}}{{{{\left( {1 - \cos \varphi } \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{ - \sin \varphi + \cos \varphi + \sin \varphi \cos \varphi - {{\cos }^2}\varphi - \cos \varphi \sin \varphi - {{\sin }^2}\varphi }}{{{{\left( {1 - \cos \varphi } \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{ - \sin \varphi + \cos \varphi - \left( {{{\cos }^2}\varphi + {{\sin }^2}\varphi } \right)}}{{{{\left( {1 - \cos \varphi } \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{\cos \varphi - \sin \varphi - 1}}{{{{\left( {1 - \cos \varphi } \right)}^2}}}\end{array}\)

Chọn đáp án: A

38. Giải bài 5.77 trang 210 SBT Đại số & Giải tích 11

Cho \(y = \cot \sqrt {1 + {x^2}}\). Tính y'(1):

A. \(\dfrac{1}{{\sqrt 2 {{\sin }^2}\sqrt 3 }}\)

B. \(\dfrac{{ - 1}}{{\sqrt 2 {{\sin }^2}\sqrt 2 }}\)

C. \(\dfrac{1}{{2\sqrt {2 + {{\sin }^2}\sqrt 2 } }}\)

D. \(\sqrt {{{\sin }^2}\sqrt 2 } \)

Phương pháp giải:

- Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

\(\left( {\cot u} \right)' = - \dfrac{u'}{{{{\sin }^2}u}} \)

\(\left( {\sqrt u } \right)' = \dfrac{{u'}}{{2\sqrt u }}\)

- Thay x = 1 vào y' vfa chọn đáp số đúng.

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l}y' = \left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)'.\left( { - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}\sqrt {1 + {x^2}} }}} \right)\\ = \dfrac{{\left( {1 + {x^2}} \right)'}}{{2\sqrt {1 + {x^2}} }}.\left( { - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}\sqrt {1 + {x^2}} }}} \right)\\ = \dfrac{{2x}}{{2\sqrt {1 + {x^2}} }}.\left( { - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}\sqrt {1 + {x^2}} }}} \right)\\ = - \dfrac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} .{{\sin }^2}\sqrt {1 + {x^2}} }}\\ \Rightarrow y'\left( 1 \right) = - \dfrac{1}{{\sqrt 2 {{\sin }^2}\sqrt 2 }}\end{array}\)

39. Giải bài 5.78 trang 210 SBT Đại số & Giải tích 11

Cho \(f(x)=5x^2-16\sqrt x+7\). Tính f'(4); \(f'(\dfrac14)\)

A. \(36;-\dfrac{27}2\)

B. \(-36;\dfrac{27}2\)

C. 1; 35

D. 36; -2

Phương pháp giải:

- Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

\(\begin{array}{l} \left( {\sqrt x } \right)' = \frac{1}{{2\sqrt x }}\\ \left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}} \end{array}\)

- Thay x = 4 và \(x=\dfrac14\) vào f'(x) và chọn đáp số đúng.

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 5.2x - 16.\dfrac{1}{{2\sqrt x }}\\ = 10x - \dfrac{8}{{\sqrt x }}\\ \Rightarrow f'\left( 4 \right) = 10.4 - \dfrac{8}{{\sqrt 4 }} = 36\\f'\left( {\dfrac{1}{4}} \right) = 10.\dfrac{1}{4} - \dfrac{8}{{\sqrt {\dfrac{1}{4}} }} = - \dfrac{{27}}{2}\end{array}\)

Chọn đáp án: A

40. Giải bài 5.79 trang 210 SBT Đại số & Giải tích 11

Cho g(x) = x2sin(x - 2). Tính g'(2).

A. -2            B. 4           C. 2            D. 1

Phương pháp giải:

- Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

\(uv=u'v+uv'\)

\(\sin u = u' \ cos u\)

- Thay x = 2 vào g'(x) và chọn đáp số đúng.

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l} g'\left( x \right) = \left( {{x^2}} \right)'\sin \left( {x - 2} \right)+ {x^2}\left[ {\sin \left( {x - 2} \right)} \right]'\\ = 2x\sin \left( {x - 2} \right) + {x^2}.\cos \left( {x - 2} \right)\\ \Rightarrow g'\left( 2 \right) = 2.2\sin 0 + {2^2}\cos 0\\ = 0 + 4.1 = 4 \end{array}\)

Chọn đáp án: B

41. Giải bài 5.80 trang 211 SBT Đại số & Giải tích 11

Tìm đạo hàm của hàm số \(y = \tan \dfrac{x}{2} - \cot \dfrac{x}{2}\)

A. \({\cot ^2}x\left( {x \ne k\pi } \right)\)

B. \({\tan ^2}x\left( {x \ne k\frac{\pi }{2}} \right)\)

C. \(\dfrac{2}{{{{\cos }^2}x}}\left( {x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi } \right)\)

D. \(\dfrac{2}{{{{\sin }^2}x}}\left( {x \ne k\pi ,k \in Z} \right)\)

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

\(\left( {\tan u} \right)' = \dfrac{u'}{{{{\cos }^2}u}}\)

\(\left( {\cot u} \right)' = - \dfrac{u'}{{{{\sin }^2}u}} \)

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l}y' = \left( {\dfrac{x}{2}} \right)'.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}} - \left( {\dfrac{x}{2}} \right)'.\left( { - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}\dfrac{x}{2}}}} \right)\\ = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}} + \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{{{{\sin }^2}\dfrac{x}{2}}}\\ = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}} + \dfrac{1}{{{{\sin }^2}\dfrac{x}{2}}}} \right)\\ = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{{{\sin }^2}\dfrac{x}{2} + {{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}.{{\sin }^2}\dfrac{x}{2}}}\\ = \dfrac{2}{{4{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}.{{\sin }^2}\dfrac{x}{2}}}\\ = \dfrac{2}{{{{\left( {2\cos \dfrac{x}{2}\sin \dfrac{x}{2}} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{2}{{{{\sin }^2}x}}\end{array}\)

Chọn đáp án: D

42. Giải bài 5.81 trang 211 SBT Đại số & Giải tích 11

Giải phương trình f'(x) = g(x), biết: g(x) = sinx và f(x) = (2 - x2)cosx + 2x.sinx.

A. \(x = 1;x = k\pi \left( {k \in Z} \right)\)

B. \(x = 0;x = k\pi \left( {k \in Z} \right)\)

C. \(x = \pm 1;x = k\pi \left( {k \in Z} \right)\)

D. \(x = \pm 1;x = k\dfrac{\pi }{2}\left( {k \in Z} \right)\)

Phương pháp giải:

- Sử dụng các công thức tính đạo hàm f'(x):

\(uv=u'v+uv'\)

\(\left( {\sin x} \right)' = \cos x\\\left( {\cos x} \right)' = - \sin x\)

- Giải phương trình f'(x) = g(x) và chọn đáp số đúng.

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \left( {2 - {x^2}} \right)'\cos x + \left( {2 - {x^2}} \right)\left( {\cos x} \right)'\\ + 2\left( {\left( x \right)'\sin x + x\left( {\sin x} \right)'} \right)\\ = - 2x\cos x + \left( {2 - {x^2}} \right)\left( { - \sin x} \right) + 2\left( {\sin x + x\cos x} \right)\\ = - 2x\cos x - 2\sin x + {x^2}\sin x + 2\sin x + 2x\cos x\\ = {x^2}\sin x\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = {x^2}\sin x\\f'\left( x \right) = g\left( x \right)\\ \Leftrightarrow {x^2}\sin x = \sin x\\ \Leftrightarrow {x^2}\sin x - \sin x = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)\sin x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 1 = 0\\\sin x = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pm 1\\x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\end{array}\)

Chọn đáp án C.

Ngày:02/11/2020 Chia sẻ bởi:ngan

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM