Giải bài tập SGK Toán 11 Nâng cao Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm
Dựa theo nội dung SGK Toán 11 Nâng cao eLib xin giới thiệu đến các em học sinh nội dung giải bài tập Các quy tắc tính đạo hàm. Bài này sẽ giúp các em nắm vững được lý thuyết cũng như cách giải các bài tập đầy đủ. Hy vọng đây sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích với các em học sinh.
Mục lục nội dung
1. Giải bài 16 trang 204 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
2. Giải bài 17 trang 204 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
3. Giải bài 18 trang 204 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
4. Giải bài 19 trang 204 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
5. Giải bài 20 trang 204 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
6. Giải bài 21 trang 204 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
7. Giải bài 22 trang 205 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
8. Giải bài 23 trang 205 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
9. Giải bài 24 trang 205 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
10. Giải bài 25 trang 205 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
11. Giải bài 26 trang 205 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
12. Giải bài 27 trang 206 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
1. Giải bài 16 trang 204 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm x0 được cho kèm theo
a) \(y = 7 + x - {x^2},{x_0} = 1\)
b) \(y = {x^3} - 2x + 1,{x_0} = 2\)
c) \(y = 2{x^5} - 2x + 3,{x_0} = 1\)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\) và các công thức đạo hàm của tổng, hiệu, tích một hàm số với một số thực.
Hướng dẫn giải:
a) \(y' = (7 + x - x^2) = (7)' + (x)' - (x^2)'\)
\(= 0+ 1 - 2x = 1- 2x\)
\(⇒ y’(1) = 1- 2.1= -1\)
b) \(y' = (x^3 - 2x + 1)' = (x^3)' - (2x)' + (1)'\)
\(= 3x^2 – 2\)
\(⇒ y’(2) = 3.2^2- 2 = 10\)
c) \(y' = (2x^5 - 2x + 3)' = (2x^5)' - (2x)' + (3)'\)
\(= 10x^4 – 2\)
\(⇒ y’(1) = 10.1^4 – 2 = 8.\)
2. Giải bài 17 trang 204 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau (a và b là hằng số)
a) \(y = {x^5} - 4{x^3} + 2x - 3\sqrt x \)
b) \(y = {1 \over 4} - {1 \over 3}x + {x^2} - 0,5{x^4}\)
c) \(y = {{{x^4}} \over 4} - {{{x^3}} \over 3} + {{{x^2}} \over 2} - x + {a^3}\)
d) \(y = {{ax + b} \over {a + b}}\)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tính đạo hàm:
+) \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}} \)
+) \(\left( {\sqrt x } \right)' = \dfrac{1}{{2\sqrt x }}\)
+ Các công thức đạo hàm của tổng, hiệu, tích một hàm số với một số thực.
Hướng dẫn giải:
a) \(y' =( {x^5} - 4{x^3} + 2x - 3\sqrt x )'\)
\(= 5{x^4} - 12{x^2} + 2 - {3 \over {2\sqrt x }}\)
b) \(y' = ({1 \over 4} - {1 \over 3}x + {x^2} - 0,5{x^4})'\)
\(= - {1 \over 3} + 2x - 2{x^3}\)
c) \(y' =( {{{x^4}} \over 4} - {{{x^3}} \over 3} + {{{x^2}} \over 2} - x + {a^3})'\)
\(= {x^3} - {x^2} + x - 1\)
d) \(y' =( {{ax + b} \over {a + b}})'\)
\(\begin{array}{l} = \frac{{\left( {ax + b} \right)'.(a + b) - \left( {ax + b} \right).(a + b)'}}{{{{(a + b)}^2}}}\\ = \frac{{a(a + b)}}{{{{(a + b)}^2}}}\\ = \frac{a}{{a + b}} \end{array}\)
3. Giải bài 18 trang 204 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau:
a) \(y = \left( {{x^7} + {x}} \right)^2\)
b) \(y = \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {5 - 3{x^2}} \right)\)
c) \(y = {{2x} \over {{x^2} - 1}}\)
d) \(y = {{5x - 3} \over {{x^2} + x + 1}}\)
e) \(y = {{{x^2} + 2x + 2} \over {x + 1}}\)
f) \(y = x\left( {2x - 1} \right)\left( {3x + 2} \right)\)
Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức tính đạo hàm:
+ \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}} \)
+ Công thức đạo hàm của tích \((uv)'=u'v+uv'\).
+ Công thức đạo hàm của thương \(\left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\).
Hướng dẫn giải:
a) \(y = {x^{14}} + 2{x^8} + {x^2} \Rightarrow y' = 14{x^{13}} + 16{x^7} + 2x\)
\(\eqalign{b) & y' = \left( {{x^2} + 1} \right)'\left( {5 - 3{x^2}} \right) + \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {5 - 3{x^2}} \right)' \cr & = 2x\left( {5 - 3{x^2}} \right) - 6x\left( {{x^2} + 1} \right) = 4x - 12{x^3} \cr}\)
c) \(y' = {{2\left( {{x^2} - 1} \right) - 2x\left( {2x} \right)} \over {{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}} = {{ - 2\left( {{x^2} + 1} \right)} \over {{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}}\)
d) \(y' = {{5\left( {{x^2} + x + 1} \right) - \left( {5x - 3} \right)\left( {2x + 1} \right)} \over {{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)}^2}}} = {{ - 5{x^2} + 6x + 8} \over {{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)}^2}}}\)
e) \(y' = {{\left( {2x + 2} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} + 2x + 2} \right)} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = {{{x^2} + 2x} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)
\(\eqalign{f) & y = \left( {2{x^2} - x} \right)\left( {3x + 2} \right) \cr & \Rightarrow y' = \left( {4x - 1} \right)\left( {3x + 2} \right) + \left( {2{x^2} - x} \right)3 \cr & = 18{x^2} + 2x - 2 \cr}\)
4. Giải bài 19 trang 204 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau:
a) \(y = {\left( {x - {x^2}} \right)^{32}}\)
b) \(y = {1 \over {x\sqrt x }}\)
c) \(y = {{1 + x} \over {\sqrt {1 - x} }}\)
d) \(y = {x \over {\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}\) (a là hằng số).
Phương pháp giải:
a) Sử dung công thức tính đạo hàm: \(\left( {{u^n}} \right)' = n{u^{n - 1}}u'\).
b) Sử dụng các công thức tính đạo hàm: \(\left( {\frac{1}{u}} \right)' = \frac{{ - u'}}{{{u^2}}}\), \(\left( {\sqrt x } \right)' = \dfrac{1}{{2\sqrt x }}\).
c) d) Sử dụng các công thức tính đạo hàm : \(\left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\), \(\left( {\sqrt u } \right)' = \dfrac{u'}{{2\sqrt u }}\).
Hướng dẫn giải:
a) \(y'= 32{\left( {x - {x^2}} \right)^{31}}(x-x^2)'\)
\(= 32{\left( {x - {x^2}} \right)^{31}}\left( {1 - 2x} \right)\)
b) \(y' = \frac{{1'.x\sqrt x - 1.\left( {x\sqrt x } \right)'}}{{{{\left( {x\sqrt x } \right)}^2}}}\)
\( =- {{\left( {x\sqrt x } \right)'} \over {{x^3}}} \\= -{{\sqrt x + {x \over {2\sqrt x }}} \over {{x^3}}} \\= {{ - 3x} \over {2\sqrt x .{x^3}}} \\= {{ - 3} \over {2{x^2}\sqrt x }}\)
c) \(y' = \frac{{\left( {1 + x} \right)'\sqrt {1 - x} - \left( {1 + x} \right)\left( {\sqrt {1 - x} } \right)'}}{{{{\left( {\sqrt {1 - x} } \right)}^2}}}\)
\(= {{\sqrt {1 - x} - \left( {1 + x} \right).{{ - 1} \over {2\sqrt {1 - x} }}} \over {1 - x}} \\= {{2\left( {1 - x} \right) + 1 + x} \over {2\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^3}} }} \\= {{3 - x} \over {2\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^3}} }}\)
d) \(y' = \frac{{x'\sqrt {{a^2} - {x^2}} - x\left( {\sqrt {{a^2} - {x^2}} } \right)'}}{{{{\left( {\sqrt {{a^2} - {x^2}} } \right)}^2}}}\)
\(\eqalign{ & = {{\sqrt {{a^2} - {x^2}} - x.{{ - 2x} \over {2\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}} \over {{{\left({\sqrt {{a^2} - {x^2}} } \right)}^2}}} \cr &= {{2\left( {{a^2} - {x^2}} \right) + 2{x^2}} \over {2{{\left( {\sqrt {{a^2} - {x^2}} } \right)}^3}}} \cr & = {{{a^2}} \over {\sqrt {{{\left( {{a^2} - {x^2}} \right)}^3}} }} \cr}\)
5. Giải bài 20 trang 204 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} - 2x} \). Hãy giải bất phương trình \(f'\left( x \right) \le f\left( x \right)\).
Phương pháp giải:
- Tính f'(x) theo công thức \(\left( {\sqrt u } \right)' = \frac{{u'}}{{2\sqrt u }}\).
- Giải bất phương trình và kết luận nghiệm.
Hướng dẫn giải:
Vì \(f'(x) = \frac{{\left( {{x^2} - 2x} \right)'}}{{2\sqrt {{x^2} - 2x} }} = \frac{{2x - 2}}{{2\sqrt {{x^2} - 2x} }} = \frac{{x - 1}}{{2\sqrt {{x^2} - 2x} }}\)
Nên ta cần giải bất phương trình: \({{x - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 2x} }} \le \sqrt {{x^2} - 2x}\)
Ta có:
\(\eqalign{ & {{x - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 2x} }} \le \sqrt {{x^2} - 2x} \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {x < 0\,\text{ hoặc }\,x > 2} \cr {x - 1 \le {x^2} - 2x} \cr } } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {x < 0\,\text{ hoặc }\,x > 2} \cr {x \le {{3 - \sqrt 5 } \over 2}\,\text{ hoặc }\,x \ge {{3 + \sqrt 5 } \over 2}} \cr } } \right. \cr}\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(\left( { - \infty ;0} \right) \cup \left[ {{{3 + \sqrt 5 } \over 2}; + \infty } \right)\)
6. Giải bài 21 trang 204 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2.\) Hãy giải bất phương trình:
a) \(f'\left( x \right) > 0\)
b) \(f'\left( x \right) \le 3\)
Phương pháp giải:
- Tính f'(x) theo công thức \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\)
- Giải các bpt.
Hướng dẫn giải:
a) Ta có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x\)
\(f'\left( x \right) > 0 \\ \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x > 0 \\\Leftrightarrow x < 0\,\text{ hoặc }\,x > 2\)
b) \(f'\left( x \right) \le 3\)
\(\Leftrightarrow 3{x^2} - 6x \le 3\)
\(\Leftrightarrow {x^2} - 2x - 1 \le 0 \\ \Leftrightarrow 1 - \sqrt 2 \le x \le 1 + \sqrt 2\)
7. Giải bài 22 trang 205 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
Tìm các nghiệm của phương trình sau (làm tròn kết quả nghiệm gần đúng đến hàng phần nghìn)
a) \(f'\left( x \right) = 0\,\text{ với }\,f\left( x \right) = {{{x^3}} \over 3} - 2{x^2} - 6x - 1\)
b) \(f'\left( x \right) = - 5\,\text{ với }\,f\left( x \right) = {{{x^4}} \over 4} - {x^3} - {{3{x^2}} \over 2} - 3.\)
Phương pháp giải:
- Tính f'(x) theo công thức \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\).
- Giải các phương trình.
Hướng dẫn giải:
a) Ta có:
\(\eqalign{ & f'\left( x \right) = {x^2} - 4x - 6 \cr & f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 6 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {x = 2 - \sqrt {10} \approx - 1,162} \cr {x = 2 + \sqrt {10} \approx 5,162} \cr } } \right. \cr}\)
b) Ta có: \(f' = {x^3} - 3{x^2} - 3x.\)
Do đó:
\(\eqalign{ & f' + 5 = 0 \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} - 3x + 5 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2x - 5} \right) = 0 \cr}\)
Phương trình có ba nghiệm là \(1;1 + \sqrt 6 \;\text{ và }\,1 - \sqrt 6\)
Vậy các nghiệm gần đúng của phương trình với sai số tuyệt đối không vượt quá 0,001 là:
\(\eqalign{ & {x_1} = 1 \cr & {x_2} = 3,449 \pm 0,001 \cr & {x_3} = - 1,449 \pm 0,001 \cr}\)
8. Giải bài 23 trang 205 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau:
a) \(y = {{2x + 3} \over {{x^2} - 5x + 5}}\)
b) \(y = {1 \over {{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)}^5}}}\)
c) \(y = {x^2} + x\sqrt x + 1\)
d) \(y = \left( {x + 1} \right){\left( {x + 2} \right)^2}{\left( {x + 3} \right)^3}\)
e) \(y = \sqrt {{{{x^2} + 1} \over x}}\)
Phương pháp giải:
a) b) Sử dụng các công thức tính đạo hàm: \(\left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\), \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\).
c) Sử dụng các công thức tính đạo hàm: \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\), \(\left( {\sqrt x } \right)' = \frac{{1}}{{2\sqrt x }}\).
d) Áp dụng công thức: \((u.v.w)=u'.v.w+u.v'.w+u.v.w'\), \(\left( {{u^n}} \right)' = n{u^{n - 1}}.u'\)
e) Sử dụng các công thức tính đạo hàm: \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\), \(\left( {\sqrt u } \right)' = \frac{{u'}}{{2\sqrt u }}\), \(\left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\).
Hướng dẫn giải:
a) \(y' = \frac{{\left( {2x + 3} \right)'\left( {{x^2} - 5x + 5} \right) - \left( {2x + 3} \right)\left( {{x^2} - 5x + 5} \right)'}}{{{{\left( {{x^2} - 5x + 5} \right)}^2}}}\)
\( = {{2\left( {{x^2} - 5x + 5} \right) - \left( {2x + 3} \right)\left( {2x - 5} \right)} \over {{{\left( {{x^2} - 5x + 5} \right)}^2}}} \\ = {{ - 2{x^2} - 6x + 25} \over {{{\left( {{x^2} - 5x + 5} \right)}^2}}}\)
b) \(y' = \frac{{1'{{({x^2} - x + 1)}^5} - 1.\left[ {{{({x^2} - x + 1)}^5}} \right]'}}{{{{({x^2} - x + 1)}^{10}}}}\)
\(= {{ - 5{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)}^4}\left( {2x - 1} \right)} \over {{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)}^{10}}}} \\= {{ - 5\left( {2x - 1} \right)} \over {{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)}^6}}}\)
c) \(y' = 2x + \sqrt x + x.{1 \over {2\sqrt x }} = 2x + {3 \over 2}\sqrt x\)
d) \(y' = \left( {x + 1} \right)'{\left( {x + 2} \right)^2}{\left( {x + 3} \right)^3}+ \left( {x + 1} \right)\left[{\left( {x + 2} \right)^2}\right]'{\left( {x + 3} \right)^3}+ \left( {x + 1} \right)'{\left( {x + 2} \right)^2}\left[{\left( {x + 3} \right)^3}\right]'\)
\(\eqalign{ & = {\left( {x + 2} \right)^2}{\left( {x + 3} \right)^2} + \left( {x + 1} \right).2\left( {x + 2} \right){\left( {x + 3} \right)^3} + \left( {x + 1} \right){\left( {x + 2} \right)^2}3{\left( {x + 3} \right)^2} \cr & = 2\left( {x + 2} \right){\left( {x + 3} \right)^2}\left( {3{x^2} + 11x + 9} \right) \cr}\)
9. Giải bài 24 trang 205 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:
a) \(y = {{x - 1} \over {x + 1}}\), biết hoành độ tiếp điểm là x0 = 0.
b) \(y = \sqrt {x + 2} ,\) biết tung độ tiếp điểm là y0 = 2.
Phương pháp giải:
Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(M(x_0;y_0)\) là: \(y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)\)
Hướng dẫn giải:
a) Ta có:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {{x - 1} \over {x + 1}} \cr & {x_0} = 0 \Rightarrow {y_0} = f\left( 0 \right) = - 1 \cr & f'\left( x \right) = {{\left| {\matrix{ 1 & { - 1} \cr 1 & 1 \cr } } \right|} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = {2 \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \Rightarrow f\left( 0 \right) = 2 \cr}\)
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
\(y - \left( { - 1} \right) = 2\left( {x - 0} \right) \Leftrightarrow y = 2x - 1\).
b) Ta có:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \sqrt {x + 2} ;f\left( {{x_0}} \right) = 2 \cr&\Leftrightarrow \sqrt {{x_0} + 2} = 2 \Leftrightarrow {x_0} = 2 \cr & f'\left( x \right) = {1 \over {2\sqrt {x + 2} }} \Rightarrow f'\left( 2 \right) = {1 \over 4} \cr}\)
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
\(y - 2 = {1 \over 4}\left( {x - 2} \right) \Leftrightarrow y = {{x + 6} \over 4}\)
10. Giải bài 25 trang 205 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
Viết phương trình tiếp tuyến của parabol y = x2, biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0 ; -1).
Hướng dẫn: Trước hết viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 thuộc parabol đã cho. Sau đó tìm x0 để tiếp tuyến đi qua điểm A (chú ý rằng điểm A không thuộc parabol).
Phương pháp giải:
Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 thuộc parabol đã cho.
Sau đó tìm x0 để tiếp tuyến đi qua điểm A (chú ý rằng điểm A không thuộc parabol).
Hướng dẫn giải:
Đặt \(f\left( x \right) = {x^2}\) và gọi M0 là điểm thuộc (P) với hoành độ x0.
Khi đó tọa độ của điểm M0 là \(\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) hay \(\left( {{x_0};x_0^2} \right)\)
Ta có: \(y’ = 2x\). Phương trình tiếp điểm của (P) tại điểm M0 là:
\(y = 2{x_0}\left( {x - {x_0}} \right) + x_0^2 \Leftrightarrow y = 2{x_0}x - x_0^2\)
Tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0 ; -1) nên ta có:
\(- 1 = 2{x_0}.0 - x_0^2 \Leftrightarrow {x_0} = \pm 1\)
+ Với x0 = 1 thì f(x0) = 1, f ’(x0) = 2 và phương trình tiếp tuyến phải tìm là:
\(y = 2\left( {x - 1} \right) + 1 \Leftrightarrow y = 2x - 1\)
+ Với x0 = -1 thì f(x0) = 1, f ’(x0) = -2 và phương trình tiếp tuyến phải tìm là:
\(y = - 2\left( {x + 1} \right) + 1 \Leftrightarrow y = - 2x - 1\)
Vậy có hai tiếp tuyến của (P) đi qua A với các phương trình tương ứng là: y = ±2x – 1.
11. Giải bài 26 trang 205 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
Hình 5.6 thể hiện màn hình của một trò chơi điện tử. Một máy bay xuất hiện ở bên trái màn hình rồi bay sang phải theo một quỹ đạo (C) là đồ thị của hàm số y = f(x), trong đó \(f\left( x \right) = - 1 - {1 \over x},\left( {x > 0} \right).\) Biết rằng tên lửa được bắn ra từ máy bay tại một điểm thuộc (C) sẽ bay theo phương tiếp tuyến của (C) tại điểm đó. Tìm hoành độ các điểm thuộc (C) sao cho tên lửa bắn ra từ đó có thể bắn trúng một trong bốn mục tiêu nằm ở trên màn hình có tọa độ (1 ; 0), (2 ; 0), (3 ; 0) và (4 ; 0) (làm tròn kết quả đến hàng phần vạn).
Phương pháp giải:
Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 thuộc parabol đã cho.
Sau đó tìm x0 để tiếp tuyến đi qua các điểm (1 ; 0), (2 ; 0), (3 ; 0) và (4 ; 0).
Hướng dẫn giải:
Ta có: \(f'\left( x \right) = {1 \over {{x^2}}}\)
Phương trình tiếp tuyến (d) của quỹ đạo (C) tại tiếp điểm \({M_0}\left( {{x_0}; - 1 - {1 \over {{x_0}}}} \right)\) là:
\(\eqalign{ & y = {1 \over {x_0^2}}\left( {x - {x_0}} \right) - 1 - {1 \over {{x_0}}} \cr} \) hay \( x_0^2 + 2{x_0} - x + x_0^2y = 0\)
Ta phải tìm x0 > 0, sao cho (d) lần lượt đi qua 4 điểm có tọa độ (1 ; 0), (2 ; 0), (3 ; 0) và (4 ; 0).
a) Với x = 1, y = 0, ta có \(x_0^2 + 2{x_0} - 1 = 0.\)
Suy ra \({x_0} = - 1 + \sqrt 2 \approx 0,4142\)
b) Với x = 2, y = 0, ta có \(x_0^2 + 2{x_0} - 2 = 0.\)
Suy ra \({x_0} = - 1 + \sqrt 3 \approx 0,7321\)
c) Với x = 3, y = 0, ta có \(x_0^2 + 2{x_0} - 3 = 0.\)
Suy ra \({x_0} = 1\)
d) Với x = 4, y = 0, ta có \(x_0^2 + 2{x_0} - 4 = 0.\)
Suy ra \({x_0} = - 1 + \sqrt 5 \approx 1,2361\)
12. Giải bài 27 trang 206 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
Một viên đạn được bắn lên từ mặt đất theo phương thẳng đứng với tốc độ ban đầu v0 = 196 m/s (bỏ qua sức cản của không khí). Tìm thời điểm tại đó tốc độ của viên đạn bằng 0. Khi đó, viên đạn cách mặt đất bao nhiêu mét?
Phương pháp giải:
- Viết phương trình chuyển động của viên đạn.
- Vận tốc tại thời điểm t là đạo hàm của phương trình chuyển động.
Hướng dẫn giải:
Cho Ox theo phương thẳng đứng, chiều dương hướng từ mặt đất lên trời, gốc O là vị trí viên đạn được bắn lên, khi đó phương trình chuyển động của viên đạn là:
\(y = {v_0}t - {1 \over 2}g{t^2}\,\left( {g = 9,8m/{s^2}} \right)\)
Ta có vận tốc tại thời điểm t là:
\(v = y'\left( t \right) = {v_0} - gt\)
Do đó:
\(v = 0 \\\Leftrightarrow {v_0} - gt = 0\\ \Leftrightarrow t = {{{v_0}} \over g} = {{196} \over {9,8}} = 20\left( s \right)\)
Vậy khi t = 20s thì viên đạn bắt đầu rơi, lúc đó viên đạn cách mặt đất:
\(y = {v_0}t - {1 \over 2}g{t^2} \\= 196.20 - {1 \over 2}.9,{8.20^2} \) \(= 1960\,\left( m \right)\)
Tham khảo thêm
- doc Giải bài tập SGK Toán 11 Nâng cao Bài 1: Khái niệm đạo hàm
- doc Giải bài tập SGK Toán 11 Nâng cao Bài 2: Đạo hàm của các hàm số lượng giác
- doc Giải bài tập SGK Toán 11 Nâng cao Bài 4: Vi phân
- doc Giải bài tập SGK Toán 11 Nâng cao Bài 5: Đạo hàm cấp cao