Giải bài tập SGK Toán 11 Nâng cao Bài 3: Nhị thức Niu-tơn

eLib gửi đến các em học sinh lớp 11 nội dung giải bài tập bài Nhị thức Niu-tơn bên dưới đây, thông qua tài liệu này các em sẽ hệ thống lại toàn bộ kiến thức đã học, bên cạnh đó các em còn nắm được phương pháp giải các bài tập SGK Nâng cao và vận dụng vào giải các bài tập tương tự.

Giải bài tập SGK Toán 11 Nâng cao Bài 3: Nhị thức Niu-tơn

1. Giải bài 17 trang 67 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao

Tìm hệ số của \({x^{101}}{y^{99}}\) trong khai triển \({\left( {2x - 3y} \right)^{200}}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức Newton:

\(T_{k+1}={C_n^k{a^{n-k}}{b^k}} \,\,\left( {k \in Z} \right)\) với k = 99.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\({\left( {2x - 3y} \right)^{200}} = \sum\limits_{k = 0}^{200} {C_{200}^k{{\left( {2x} \right)}^{200 - k}}{{\left( { - 3y} \right)}^k}}\)

Số hạng chứa \({x^{101}}{y^{99}}\) ứng với k = 99, đó là: \(C_{200}^{99}.{\left( {2x} \right)^{101}}{\left( { - 3y} \right)^{99}}\)

Vậy hệ số của \({x^{101}}{y^{99}}\) là \(C_{200}^{99}.{\left( {2} \right)^{101}}{\left( { - 3} \right)^{99}}\)

2. Giải bài 18 trang 67 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao

Tính hệ số của \({x^5}{y^8}\) trong khai triển \({\left( {x + y} \right)^{13}}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức Newton: 

\(T_{k+1}={C_n^k{a^{n-k}}{b^k}} \,\,\left( {k \in Z} \right)\) với k = 8

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\({\left( {x + y} \right)^{13}} = \sum\limits_{k = 0}^{13} {C_{13}^k{x^{13 - k}}{y^k}} \)

Số hạng chứa \({x^5}{y^8}\) ứng với k = 8 đó là \( C_{13}^8{x^5}{y^8}.\)

Vậy hệ số của \( {x^5}{y^8}\,\text{ là }\,C_{13}^8 = 1287\)

3. Giải bài 19 trang 67 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao

Tính hệ số của \(x^7\) trong khai triển \({\left( {1 + x} \right)^{11}}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức Newton: 

\(T_{k+1}={C_n^k{a^{n-k}}{b^k}} \,\,\left( {k \in Z} \right)\) với k = 7

Hướng dẫn giải:

\({\left( {1 + x} \right)^{11}} = \sum\limits_{k = 0}^{11} {C_{11}^k{x^k}{{.1}^{11 - k}}} = \sum\limits_{k = 0}^{11} {C_{11}^k{x^k}} \)

Hệ số \({x^7}\) trong khai triển \({\left( {1 + x} \right)^{11}}\) ứng với \(k=7 \text{ là }\,C_{11}^7 = 330.\)

4. Giải bài 20 trang 67 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao

Tính hệ số của \(x^9\) trong khai triển \({\left( {2 - x} \right)^{19}}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức Newton: 

\(T_{k+1}={C_n^k{a^{n-k}}{b^k}} \,\,\left( {k \in Z} \right)\) với k = 9

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\({\left( {2 - x} \right)^{19}} = \sum\limits_{k = 0}^{19} {C_{19}^k{2^{19 - k}}{{\left( { - x} \right)}^k}} \)

\(= \sum\limits_{k = 0}^{19} {C_{19}^k{2^{19 - k}}.{{\left( { - 1} \right)}^k}{x^k}} \)

Hệ số của \({x^9}\) (ứng với k = 9 là \((-1)^{19} C_{19}^9{2^{10}} = - 94595072\)

5. Giải bài 21 trang 67 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao

Khai triển \({\left( {3x + 1} \right)^{10}}\) cho tới x3.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton:

\(\begin{array}{l} {\left( {a + b} \right)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ...\\ ... + C_n^k{a^{n - k}}{b^k} + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n} \end{array}\)

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\eqalign{ & {\left( {3x + 1} \right)^{10}} = {\left( {1 + 3x} \right)^{10}}\cr& = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{{.1}^{10 - k}}{{\left( {3x} \right)}^k}} \cr&= \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{{\left( {3x} \right)}^k}} \cr&= 1 + C_{10}^1\left( {3x} \right) + C_{10}^2{{\left( {3x} \right)}^2} + C_{10}^3{{\left( {3x} \right)}^3} + ... \cr & = 1 + 30x + 405{x^2} + 3240{x^3} + ... \cr}\)

6. Giải bài 22 trang 67 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao

Tìm hệ số của \(x^7\) trong khai triển của \({\left( {3 - 2x} \right)^{15}}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức Newton: 

\(T_{k+1}={C_n^k{a^{n-k}}{b^k}} \,\,\left( {k \in Z} \right)\) với k = 7

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\({\left( {3 - 2x} \right)^{15}} = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k{3^{15 - k}}{{\left( { - 2x} \right)}^k}} \) \( = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k{{.3}^{15 - k}}{{\left( { - 2} \right)}^k}{x^k}} \)

Hệ số của \(x^7\) (ứng với k = 7) là: \( C_{15}^7{.3^8}{\left( { - 2} \right)^7} = - C_{15}^7{.3^8}{.2^7}\)

7. Giải bài 23 trang 67 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao

Tính hệ số của \({x^{25}}{y^{10}}\) trong khai triển của \({\left( {{x^3} + xy} \right)^{15}}\)

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức Newton: 

\(T_{k+1}={C_n^k{a^{n-k}}{b^k}} \,\,\left( {k \in Z} \right)\)

- Để tìm hệ số của \({x^{25}}{y^{10}}\) ta cho số mũ của x bằng 25, của y bằng 10, giải phương trình tìm k.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\({\left( {{x^3} + xy} \right)^{15}} = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k{{\left( {{x^3}} \right)}^{15 - k}}{{\left( {xy} \right)}^k}} \)

\( = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k.{x^{45 - 3k}}{x^k}{y^k}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k.{x^{45 - 2k}}{y^k}} \)

Số hạng chứa \({x^{25}}{y^{10}}\) thì:

\(\left\{ \begin{array}{l} 45 - 2k = 25\\ k = 10 \end{array} \right. \Leftrightarrow k = 10\)

Do đó k = 10 nên số hạng đó là: \(C_{15}^{10}{x^{25}}{y^{10}}\)

Vậy hệ số của \({x^{25}}{y^{10}}\,\ là \ \,C_{15}^{10} = 3003\)

8. Giải bài 24 trang 67 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao

Biết rằng hệ số của \({x^{n - 2}}\) trong khai triển \({\left( {x - {1 \over 4}} \right)^n}\) bằng 31. Tìm n.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton:

\({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}} \)

Để tìm hệ số của \({x^{n - 2}}\) ta cho số mũ của x bằng n - 2, giải phương trình tìm n.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\({\left( {x - {1 \over 4}} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{x^{n - k}}{{\left( { - {1 \over 4}} \right)}^k}} \)

Hệ số của \(x^{n-2}\) (ứng với k=2) là \(C_n^2{\left( { - {1 \over 4}} \right)^2}\)

Theo bài ra: \(C_n^2{\left( { - {1 \over 4}} \right)^2} = 31\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}.\frac{1}{{16}} = 31\\ \Leftrightarrow \frac{{{n^2} - n}}{{32}} = 31\\ \Leftrightarrow {n^2} - n = 992\\ \Leftrightarrow {n^2} - n - 992 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} n = 32\left( {nhận} \right)\\ n = - 31\left( {loại} \right) \end{array} \right. \end{array}\)

Vậy n = 32.

Ngày:03/11/2020 Chia sẻ bởi:Chương

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM