Giải bài tập SGK Toán 11 Nâng cao Bài 5: Hai hình bằng nhau

Chứng tỏ rằng hai hình chữ nhật cùng kích thước (cùng chiều dài và chiều rộng) thì bằng nhau.

Phương pháp giải:

Chứng minh có phép dời hình F biến hình chữ nhật này thành hình chữ nhật kia.

Hướng dẫn giải:

Giả sử hai hình chữ nhật ABCD và A’B’C’D’ có AB = CD = A’B’= C’D’, AD = BC = A’D = B’C’.

Khi đó ABC và A’B’C’ là hai tam giác vuông bằng nhau.

Do đó có phép dời hình F biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’.

Khi đó phép dời hình F biến trung điểm O của AC thành trung điểm O’ của A’C’.

Nhưng vì O và O’ lần lượt cũng là trung điểm của BD và B’D’ nên F cũng biến D thành D’.

Vậy F biến ABCD thành A’B’C’D’, nên theo định nghĩa, hai hình chữ nhật đó bằng nhau.

a) Chứng minh rằng hai tứ giác lồi có cặp cạnh tương ứng bằng nhau và một cặp đường chéo tương ứng bằng nhau thì bằng nhau.

b) Chứng minh rằng hai tứ giác lồi có các cặp cạnh tương ứng bằng nhau và một cặp góc tương ứng bằng nhau thì bằng nhau.

c) Hai tứ giác lồi có các cặp cạnh tương ứng bằng nhau thì có bằng nhau hay không?

Phương pháp giải:

a) Chứng minh có phép dời hình F biến các đỉnh của tứ giác lồi này thành các đỉnh của tứ giác lồi kia.

b) Áp dụng kết quả câu a để chứng minh.

c) Cho phản ví dụ.

Hướng dẫn giải:

a) Giả sử hai tứ giác lồi ABCD và A’B’C’D’ có AB = A′B′; BC = B′C′; CD = C′D′, DA = D′A′.

Khi đó \(\Delta ABC=\Delta A'B'C'\) nên có phép dời hình F biến ba điểm A, B, C lần lượt thành ba điểm A’, B’, C’.

Gọi D” là điểm đối xứng với điểm D’ qua đường thẳng A’C’.

⇒ Hai tam giác A’C’D’ và A’C’D” bằng nhau và theo giả thiết, cùng bằng tam giác ACD.

Bởi vậy phép F chỉ có thể biến điểm D thành điểm D’ hoặc D” (do phép dời hình bảo toàn độ dài đoạn thẳng).

Ta có:

ABCD là tứ giác lồi nên hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau.

A’B’C’D’ cũng là tứ giác lồi nên hai đoạn thẳng nên hai đoạn thẳng A’C’ và B’D’ cắt nhau.

Do đó hai đoạn thẳng A’C’ và B’D” không cắt nhau.

Từ đó ta suy ra F biến D thành D’.

Vậy F biến tứ giác ABCD thành tứ giác A’B’C’D’ và do đó hai tứ giác đó bằng nhau.

b) Giả sử hai tứ giác ABCD và A’B’C’D’ có:

AB = A′B′, BC = B′C′, CD = C′D′, DA = D′A′ và góc ABC bằng góc A’B’C’.

Khi đó AC = A′C′ và ta đưa về trường hợp ở câu a).

c) Có thể không bằng nhau.

Hai hình thoi có cạnh bằng nhau nhưng có thể là hai hình không bằng nhau (vì phép dời hình biến góc thành góc bằng nó).

Đa giác lồi n cạnh gọi là n – giác đều nếu tất cả các cạnh của nó bằng nhau và tất cả các góc của nó bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cạnh bằng nhau 

Phương pháp giải:

Chứng minh có phép dời hình F biến các đỉnh của đa giác này thành các đỉnh của đa giác kia.

Hướng dẫn giải:

Theo định nghĩa, hai n - giác đều bằng nhau thì cạnh bằng nhau.

Ngược lại, giả sử hai n-giác đều A₁A₂…A_n có cạnh bằng nhau

Gọi O và O’ lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp hai đa giác đó

⇒ Hai tam giác OA₁A₂ và O’A’₁A’₂  bằng nhau

Vậy có phép dời hình F biến tam giác OA₁A₂ thành tam giác O’A’₁A’₂.

Vì hai tam giác OA₂A₃ và O’A’₂A’₃ cũng bằng nhau nên F biến điểm A₃ thành điểm A’₃ (vì A₃ không thể biến thành A’₁)

Lập luận tương tự ta cũng có F biến các điểm A₄,…, A_n lần lượt thành các điểm A₄ ,…, A_n

Như vậy hai đa giác đều đã cho bằng nhau

Hình H₁ gồm ba đường tròn (O₁; r₁), (O₂; r₂) và (O₃;r₃) đôi một tiếp xúc ngoài với nhau.

Hình H₂ gồm ba đường tròn (I₁; r₁), (I₂; r₂) và (I₃; r₃) đôi một tiếp xúc ngoài với nhau.

Chứng tỏ rằng hai hình H₁ và H₂ bằng nhau.

Phương pháp giải:

Chứng minh có phép dời hình F biến ba điểm O₁, O₂, O₃ lần lượt thành ba điểm I₁, I₂, I_3.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\({{O_1}{O_2} = {r_1} + {\rm{ }}{r_2} = {I_1}{I_2}}\)

\({{O_2}{O_3} = {r_2} + {\rm{ }}{r_3} = {I_2}{I_3}}\)

\({{O_3}{O_1} = {r_3} + {\rm{ }}{r_1} = {I_3}{I_1}}\)

Suy ra \(\Delta {O_1}{O_2}{O_3} = \Delta {I_1}{I_2}{I_3}\) nên có phép dời hình F biến ba điểm O₁, O₂, O₃ lần lượt thành ba điểm I₁, I₂, I₃

Hiển nhiên khi đó F biến ba đường tròn \(({O_{1}}{\rm{; }}{r_1}),{\rm{ }}({O_2};{\rm{ }}{r_2}),{\rm{ }}({O_3};{\rm{ }}{r_3})\) lần lượt thành ba đường tròn \(({I_1};{r_1}),({I_2};{r_2}),({I_3};{r_3})\), tức là biến hình H₁ thành hình H₂

Vậy hai hình H₁ và H₂ bằng nhau.

Cho hai hình bình hành. Hãy vẽ một đường thẳng chia mỗi hình bình hành đó thành hai hình bằng nhau.

Phương pháp giải:

Đường thẳng đi qua tâm của một hình bình hành thì sẽ chia hình bình hành thành hai phần bằng nhau.

Hướng dẫn giải:

Một đường thẳng đi qua tâm O của hình bình hành thì chia hình bình hành đó thành hai phần bằng nhau (vì phép đối xứng qua tâm O sẽ biến phần này thành phần kia).

⇒ Ta chỉ cần vẽ đường thẳng đi qua tâm của hình bình hành.