Giải bài tập SGK Toán 11 Nâng cao Bài 4: Biến cố và xác suất của biến cố

Danh sách lớp của Hường được đánh số từ 1 đến 30. Hường có số thứ tự là 12. Chọn ngẫu nhiên một bạn trong lớp.

a) Tính xác suất để Hường được chọn.

b) Tính xác suất để Hường không được chọn.

c) Tính xác suất để một bạn có số thứ tự nhỏ hơn số thứ tự của Hường được chọn.

Phương pháp giải:

- Tính \(\left| \Omega \right| \): là số cách chọn ngẫu nhiên 1 người trong lớp là tổ hợp chập 1 của 30.

- Tính các kết quả thuận lợi cho từng biến cố ở câu a, b, c.

- Tính xác suất theo công thức \(P\left( A \right) = {{\left| {{\Omega _A}} \right|} \over {\left| \Omega \right|}}\).

Hướng dẫn giải:

a) Chọn 1 bạn trong 30 bạn trong lớp, có \(\left| \Omega \right| = C_{30}^1 = 30\)

Gọi A là biến cố “Hường được chọn”, có duy nhất 1 cách chọn nên \(\left| {{\Omega _A}} \right| = 1\)

Ta có: \(P\left( A \right) =\dfrac{{\left| {{\Omega _A}} \right|}}{{\left| \Omega \right|}}= {1 \over {30}}\)

b) Gọi B là biến cố: “Hường không được chọn”.

Ta có:

\({\left| {{\Omega _B}} \right| = \left| \Omega \right| - \left| {{\Omega _A}} \right| = 30 - 1 = 29}\)

Xác suất \(P\left( B \right) = {{29} \over {30}}\)

c) Gọi C là biến cố: “Bạn có số thứ tự nhỏ hơn 12 được chọn”.

Ta có: \({\Omega _C} = \left\{ {1;2;...;11} \right\} \Rightarrow \left| {{\Omega _C}} \right| = 11\)

Vậy \(P\left( C \right) = {{11} \over {30}}\)

Gieo hai con súc sắc cân đối.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Gọi A là biến cố “Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc nhỏ hơn hoặc bằng 7”. Liệt kê các kết quả thuận lợi cho A. Tính P(A).

c) Cũng hỏi như trên cho các biến cố B : “Có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm” và C “Có đúng một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm”.

Phương pháp giải:

- Liệt kê các phần tử của không gian mẫu.

- Liệt kê các khả năng thuận lợi cho từng biến cố A, B, C.

- Tính xác suất theo công thức \(P\left( A \right) = \dfrac{{\left| {{\Omega _A}} \right|}}{{\left| \Omega \right|}}\)

Hướng dẫn giải:

a) Không gian mẫu có 36 phần tử.

\({\Omega} = \left\{ \begin{array}{l} \left( {1;1} \right),\left( {1;2} \right),\left( {1;3} \right),\left( {1;4} \right),\left( {1;5} \right),\left( {1;6} \right)\\ \left( {2;1} \right),\left( {2;2} \right),\left( {2;3} \right),\left( {2;4} \right),\left( {2;5} \right),\left( {2;6} \right)\\ \left( {3;1} \right),\left( {3;2} \right),\left( {3;3} \right),\left( {3;4} \right),\left( {3;5} \right),\left( {3;6} \right)\\ \left( {4;1} \right),\left( {4;2} \right),\left( {4;3} \right),\left( {4;4} \right),\left( {4;5} \right),\left( {4;6} \right)\\ \left( {5;1} \right),\left( {5;2} \right),\left( {5;3} \right),\left( {5;4} \right),\left( {5;5} \right),\left( {5;6} \right)\\ \left( {6;1} \right), \left( {6;2} \right),\left( {6;3} \right),\left( {6;4} \right),\left( {6;5} \right),\left( {6;6} \right)\\ \end{array} \right\}\)

b) Ta có:

\({\Omega _A} = \left\{ \begin{array}{l} \left( {1;1} \right),\left( {1;2} \right),\left( {1;3} \right),\left( {1;4} \right),\left( {1;5} \right),\left( {1;6} \right)\\ \left( {2;1} \right),\left( {2;2} \right),\left( {2;3} \right),\left( {2;4} \right),\left( {2;5} \right),\\ \left( {3;1} \right),\left( {3;2} \right),\left( {3;3} \right),\left( {3;4} \right),\left( {4;1} \right),\\ \left( {4;2} \right),\left( {4;3} \right),\left( {5;1} \right),\left( {5;2} \right),\left( {6;1} \right) \end{array} \right\}\)

Tập \({\Omega _A}\) có 21 phần tử.

Vậy \(\displaystyle P\left( A\right) = {{21} \over {36}}= {{7} \over {12}}\)

c) Ta có:

\({\Omega _B} = \left\{ \begin{array}{l}\left( {6;1} \right),\left( {6;2} \right),\left( {6;3} \right),\left( {6;4} \right),\\\left( {6;5} \right),\left( {6;6} \right),\left( {1;6} \right),\left( {2;6} \right),\\\left( {3;6} \right),\left( {4;6} \right),\left( {5;6} \right)\end{array} \right\}\)

Tập \({\Omega _B}\)có 11 phần tử.

Vậy \(\displaystyle P\left( B\right) = {{11} \over {36}}.\)

\({\Omega _C} = \left\{ \begin{array}{l}\left( {6;1} \right),\left( {6;2} \right),\left( {6;3} \right),\left( {6;4} \right),\left( {6;5} \right),\\\left( {1;6} \right),\left( {2;6} \right),\left( {3;6} \right),\left( {4;6} \right),\left( {5;6} \right)\end{array} \right\}\)

Vậy \({\Omega _C}\) có 10 phần tử.

Do đó \(\displaystyle P\left( C \right) = {{10} \over {36}} = {5 \over {18}}.\)

Chọn ngẫu nhiên 5 người có tên trong một danh sách 20 người được đánh số từ 1 đến 20. Tính xác suất để 5 người được chọn có số thứ tự không lớn hơn 10 (tính chính xác đến hàng phần nghìn). 

Phương pháp giải:

- Tính \(\left| \Omega \right| \): là số cách chọn ngẫu nhiên 5 người trong một danh sách là tổ hợp chập 5 của 20.

- Tính các kết quả thuận lợi cho biến cố A.

- Tính xác suất theo công thức \(P\left( A \right) = {{\left| {{\Omega _A}} \right|} \over {\left| \Omega \right|}}\).

Hướng dẫn giải:

Số cách chọn 5 trong 20 người là \(\left| \Omega \right| = C_{20}^5.\)

Gọi A: "Chọn 5 người có số thứ tự không nhỏ hơn 10"

Số kết quả thuận lợi là số cách chọn 5 số trong tập {1, 2,…, 10}.

Do đó, số kết quả thuận lợi là \(\left| \Omega _A \right| =C_{10}^5\)

Vậy xác suất cần tìm là \({{C_{10}^5} \over {C_{20}^5}} \approx 0,016\)

Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh có tên trong một danh sách được đánh số thứ tự từ 001 đến 199. Tính xác suất để 5 học sinh này có số thứ tự:

a) Từ 001 đến 099 (tính chính xác đến hàng phần nghìn);

b) Từ 150 đến 199 (tính chính xác đến hàng phần vạn).

Phương pháp giải:

- Tính \(\left| \Omega \right| \): là số cách chọn ngẫu nhiên 5 người trong một danh sách là tổ hợp chập 5 của 199.

- Tính các kết quả thuận lợi cho từng biến cố ở câu a, b.

- Tính xác suất theo công thức \(P\left( A \right) = \dfrac{{\left| {{\Omega _A}} \right|}}{{\left| \Omega \right|}}\)

Hướng dẫn giải:

a) Từ 001 đến 199 có 199 người nên số kết quả có thể là \(C_{199}^5.\)

Từ 001 đến 099 có 99 người nên số kết quả thuận lợi là \(C_{99}^5.\)

Xác suất cần tìm là \(P={{C_{99}^5} \over {C_{199}^5}} \approx 0,029.\)

b) Từ 150 đến 199 có 199 - 150 + 1 = 50 người nên số kết quả thuận lợi là \(C_{50}^5.\)

Xác suất cần tìm là \(P={{C_{50}^5} \over {C_{199}^5}} \approx 0,0009\)

Một túi đựng 4 quả cầu đỏ, 6 quả cầu xanh. Chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu. Tính xác suất để trong bốn quả đó có cả quả màu đỏ và màu xanh. 

Phương pháp giải:

- Tính \(\left| \Omega \right| \): là số cách chọn ngẫu nhiên 4 quả bóng trong túi là tổ hợp chập 4 của 10.

- Tính số cách chọn toàn quả cầu đỏ, toàn quả cầu xanh.

- Tính số cách chọn có cả quả màu đỏ và màu xanh: Lấy \(\left| \Omega \right| \) trừ kết quả vừa tính được.

- Tính xác suất theo công thức \(P\left( A \right) = \dfrac{{\left| {{\Omega _A}} \right|}}{{\left| \Omega \right|}}\)

Hướng dẫn giải:

Số kết quả có thể \(\left| \Omega \right| =C_{10}^4 = 210.\)

Số cách chọn toàn quả cầu đỏ là \(C_4^4 = 1.\)

Số cách chọn quả cầu xanh là \(C_6^4 = 15.\)

Do đó số cách chọn trong đó có cả quả cầu xanh và cầu đỏ là \(210 – 15 – 1 = 194.\)

Vậy xác suất cần tìm là  \(P={{194} \over {210}} = {{97} \over {105}}.\)

Chiếc kim của bánh xe trong trò chơi “Chiếc nón kì diệu” có thể dừng lại ở một trong 7 vị trí với khả năng như nhau. Tính xác suất để trong ba lần quay, chiếc kim của ba bánh xe đó lần lượt dừng lại ở ba vị trí khác nhau.

Phương pháp giải:

- Tính \(\left| \Omega \right| \): sử dụng quy tắc nhân.

- Tính số kết quả thuận lợi: Là chỉnh hợp chập 3 của 7 phần tử.

- Tính xác suất theo công thức \(P\left( A \right) = \dfrac{{\left| {{\Omega _A}} \right|}}{{\left| \Omega \right|}}\).

Hướng dẫn giải:

Số kết quả có thể là \(\left| \Omega \right| =7^3= 343.\)

Số kết quả thuận lợi là \(A_7^3 = 210.\)

Vậy xác suất cần tìm là \(P={{210} \over {343}} = {{30} \over {49}}\)

Gieo đồng thời hai con súc sắc cân đối. Tính xác suất để số chấm xuất hiện trên hai con súc sắc hơn kém nhau 2. 

Phương pháp giải:

- Tính \(\left| \Omega \right| \): sử dụng quy tắc nhân.

- Liệt kê các kết quả thuận lợi.

- Tính xác suất theo công thức \(P\left( A \right) = \dfrac{{\left| {{\Omega _A}} \right|}}{{\left| \Omega \right|}}\).

Hướng dẫn giải:

Số kết quả có thể là \(6.6=36.\)

Có 8 kết quả thuận lợi là: (1; 3), (2; 4), (3; 5), (4; 6), (3;1), (4;2), (5;3), (6;4)

Vậy xác suất cần tìm là \(P={8 \over {36}} = {2 \over 9}.\)