Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 11: Chia đa thức cho đơn thức

Không làm tính chia, hãy xét xem đa thức \(A\) có chia hết cho đơn thức \(B\) không:

\(A = 15x{y^2} + 17x{y^3} + 18{y^2}\)

\(B = 6{y^2}\)

Phương pháp giải

Áp dụng

• Công thức: \({a^m}:{a^n} = {a^{m - n}}\left( {m \ge n} \right)\) 
• Tính chất chia hết: Nếu tất cả các hạng tử của một đa thức đều chia hết cho một đơn thức thì đa thức chia hết cho đơn thức.
• Đơn thức A chia hết cho đơn thức B khi mỗi biến của B đều là biến của A với số mũ không lớn hơn số mũ của nó trong A. 

Hướng dẫn giải

\(15xy^2\) chia hết cho \(6y^2\)

\(17xy^3\) chia hết cho \(6y^2\)

\(18y^2\) chia hết cho \(6y^2\)

Mỗi hạng tử của \(A\) đều chia hết cho \(B\) do đó \(A\) chia hết cho \(B\).

Làm tính chia

a) \((-2x^5 + 3x^2 – 4x^3) : 2x^2\)

b) \((x^3 - 2x^2y + 3xy^2) : \left(-\dfrac{1}{2}x\right)\)

c) \((3x^2y^2 + 6x^2y^3 – 12xy) : 3xy\)

Phương pháp giải

Áp dụng qui tắc chia đa thức cho đơn thức:

Muốn chia đa thức \(A\) cho đơn thức \(B\) (trường hợp các hạng tử của đa thức \(A\) đều chia hết cho đơn thức \(B\)), ta chia mỗi hạng tử của \(A\) cho \(B\) rồi cộng các kết quả với nhau.

Hướng dẫn giải

Câu a

\(( - 2{x^5} + 3{x^2} - 4{x^3}):2{x^2} \)

\( = \left( { - 2{x^5}} \right):2{x^2} + 3{x^2}:2{x^2} - 4{x^3}:2{x^2}\)

\( =  - \dfrac{2}{2}{x^{(5 - 2)}} + \dfrac{3}{2}{x^{(2 - 2)}} - \dfrac{4}{2}{x^{(3 - 2)}} \)

\(=  - {x^3} + \dfrac{3}{2} - 2x\)

Câu b

\(({x^3} - 2{x^2}y + 3x{y^2}):\left( { - \dfrac{1}{2}x} \right) \)

\(= \left[ {{x^3}:\left( { - \dfrac{1}{2}x} \right)} \right] + \left[ { - 2{x^2}y:\left( { - \dfrac{1}{2}x} \right)} \right]\)\( + \left[ {3x{y^2}:\left( { - \dfrac{1}{2}x} \right)} \right]\)

\( = \left[ {1:\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)} \right].\left( {{x^3}:x} \right) \)\(+ \left[ {\left( { - 2} \right):\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)} \right].\left( {{x^2}:x} \right).y \)\(+ \left[ {3:\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)} \right].\left( {x:x} \right).{y^2}\)

\(=  - 2{x^2} + 4xy - 6{y^2}\)

Câu c

\((3{x^2}{y^2} + 6{x^2}{y^3} - 12xy):3xy\) 

\(=(3{x^2}{y^2}:3xy) + (6{x^2}{y^3}:3xy) \)\(+ ( - 12xy:3xy) \)

\( = \left( {3:3} \right).\left( {{x^2}:x} \right).\left( {{y^2}:y} \right) \)\(+ \left( {6:3} \right).\left( {{x^2}:x} \right).\left( {{y^3}:y} \right) \)\(+ \left[ {\left( { - 12} \right):3} \right].\left( {x:x} \right).\left( {y:y} \right)\) 

\(= xy + 2x{y^2} - 4\)

Làm tính chia: \([3(x - y)^4 + 2(x - y)^3 - 5(x - y)^2] : (y - x)^2\)

(Gợi ý : Có thể đặt \(x - y = z\) rồi áp dụng qui tắc chia đa thức cho đơn thức)

Phương pháp giải

• Ta chứng minh \((y-x)^2=(x-y)^2\)
• Đặt \(z = x - y \) \(\Rightarrow {\left( {y - x} \right)^2} = {\left( {x - y} \right)^2} = {z^2}\) và thực hiện phép chia đa thức cho đơn thức.
• Thay \(z = x - y\) ta được kết quả cuối cùng.

Hướng dẫn giải

Ta có: \((y-x)^2=[-(x-y)]^2\)\(=(-1)^2.(x-y)^2=(x-y)^2\)

(hoặc \({(y - x)^2} = {y^2} - 2.y.x + {x^2} \)\(= {x^2} - 2xy + {y^2} = {(x - y)^2})\)

Như vậy \((y-x)^2=(x-y)^2\)

Đặt \(z=x-y\), khi đó biểu thức đã cho trở thành

\((3{z^4} + 2{z^3} - 5{z^2}):{z^2} \)

\(= (3{z^4}:{z^2}) + (2{z^3}:{z^2}) + ( - 5{z^2}:{z^2}) \)

\(= 3{z^2} + 2z - 5\)

Thay trả lại \(z = x – y\) ta được

\([3{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}y} \right)^4} + {\rm{ }}2{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}y} \right)^3}-{\rm{ }}5{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}y} \right)^2}]{\rm{ }}\)\(:{\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}x} \right)^2}\)

\(= 3(x - y)^2+ 2(x - y) - 5\)

Ai đúng, ai sai?

Khi giải bài tập: "Xét xem đa thức \(A = 5x^4 - 4x^3 + 6x^2y\) có chia hết cho đơn thức \(B = 2x^2\) hay không ?"

Hà trả lời: "\(A\) không chia hết cho \(B\) vì \(5\) không chia hết cho \(2\)"

Quang trả lời: "\(A\) chia hết cho \(B\) vì mọi hạng tử của \(A\) đều chia hết cho \(B\)"

Cho biết ý kiến của em về lời giải của hai bạn

Phương pháp giải

Áp dụng qui tắc chia đa thức cho đơn thức:

Muốn chia đa thức \(A\) cho đơn thức \(B\) (trường hợp các hạng tử của đa thức \(A\) đều chia hết cho đơn thức \(B\)), ta chia mỗi hạng tử của \(A\) cho \(B\) rồi cộng các kết quả với nhau.

Sử dụng

Đơn thức A chia hết cho đơn thức B khi mỗi biến của B đều là biến của A với số mũ không lớn hơn số mũ của nó trong A.

Đa thức A (đã được rút gọn) chia hết cho đơn thức B nếu mỗi hạng tử của đa thức A đều chia hết cho đơn thức B.

Hướng dẫn giải

Ta có: \(A{\rm{ }}:{\rm{ }}B{\rm{ }} = {\rm{ }}(5{x^4}-{\rm{ }}4{x^3} + {\rm{ }}6{x^2}y){\rm{ }}:{\rm{ }}2{x^2}\)

\( = {\rm{ }}(5{x^4}:{\rm{ }}2{x^2}){\rm{ }} + {\rm{ }}(-{\rm{ }}4{x^3}:{\rm{ }}2{x^2}){\rm{ }} \)\(+ {\rm{ }}(6{x^2}y{\rm{ }}:{\rm{ }}2{x^2})\)

\(= \dfrac{5}{2}x^2– 2x + 3y\)

Như vậy \(A\) chia hết cho \(B\) vì mọi hạng tử của \(A\) đều chia hết cho \(B\).

Vậy: Quang trả lời đúng, Hà trả lời sai.

Chú ý: Đơn thức A chia hết cho đơn thức B nếu tìm được đơn thức Q sao cho \(A=B.Q\). Như vậy, khi xét xem 1 đơn thức có chia hết cho 1 đơn thức hay không ta chỉ cần xét phần biến số có chia hết cho nhau hay không, phần hệ số có thể là số hữu tỉ nên ta không cần xét chỗ này.