Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 2: Phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải

Tính diện tích của hình thang \(ABCD\) (h.1) theo \(x\) bằng hai cách:

1) Tính theo công thức \(S = BH \times (BC + DA) : 2\);

2) \(S = {S_{ABH}} + {S_{BCKH}} + {S_{CKD}}\) 

Sau đó sử dụng giả thiết \(S = 20\) để thu được hai phương trình tương đương với nhau. Trong hai phương trình ấy, có phương trình nào là phương trình bậc nhất không?

Phương pháp giải

Phương trình có dạng \(ax+b=0\), với \(a\) và \(b\) là hai số đã cho và \(a\ne0\), được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

Hướng dẫn giải

Gọi S là diện tích hình thang ABCD. 

1) Theo công thức: \(S =  \dfrac{BH(BC+DA)}{2}\)

Ta có: \(AD = AH + HK + KD\)

\(\Rightarrow AD = 7 + x + 4 = 11 + x\)

Có \(BH\bot HK, CK\bot HK\) (giả thiết)

Mà \(BC//HK\) (vì \(ABCD\) là hình thang)

Do đó \(BH\bot BC, CK\bot BC\)

Tứ giác \(BCKH\) có bốn góc vuông nên \(BCKH\) là hình chữ nhật

Mặt khác: \(BH=HK=x\) (giả thiết) nên \(BCKH\) là hình vuông

\( \Rightarrow BH = BC =CK=KH= x\)

Thay \(BH=x\), \(BC=x\), \(DA=11+x\) vào biểu thức tính \(S\) ta được:

\(S = \dfrac{{x\left( {x + 11 + x} \right)}}{2} = \dfrac{{x(11 + 2x)}}{2}\)\(\,=\dfrac{{11x + 2{x^2}}}{2}\) 

2) Ta có: 

\(\eqalign{
& S = {S_{ABH}} + {S_{BCKH}} + {S_{CKD}} \cr
& \,\,\,\,\, = {1 \over 2}BH.AH + BH.HK + {1 \over 2}CK.KD \cr
& \,\,\,\,\, = {1 \over 2}x.7 + x.x + {1 \over 2}.x.4 \cr
& \,\,\,\,\, = {7 \over 2}x + {x^2} + 2x \cr 
& \,\,\,\,\, =x^2+{11 \over 2}x \cr} \)

Vậy \(S = 20\) ta có hai phương trình: 

\(\dfrac{{11x + 2{x^2}}}{2}= 20\)        (1)

\( \dfrac{11}{2}x + x^2  = 20  \)       (2)

Hai phương trình trên tương đương và cả hai phương trình không có phương trình nào là phương trình bậc nhất.

Hãy chỉ ra các phương trình bậc nhất trong các phương trình sau:

a) \(1 + x = 0\) 

b) \(x + x^2 = 0\)   

c) \(1 - 2t = 0\)

d) \(3y = 0\)

e) \(0x - 3 = 0\)

Phương pháp giải

Phương trình có dạng \(ax+b=0\), với \(a\) và \(b\) là hai số đã cho và \(a\ne0\), được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

Hướng dẫn giải

Theo định nghĩa phương trình bậc nhất 1 ẩn là phương trình có dạng \(ax+b=0\;\;(a\ne0)\)

Do đó các phương trình là phương trình bậc nhất 1 ẩn là:

\(1 + x = 0\) ẩn là \(x\) và a=1;b=1

\(1 - 2t = 0\) ấn là \(t\) và a=-2;b=1

\(3y = 0\) ẩn là \(y\) và a=3;b=0

Các phương trình không là phương trình bậc nhất 1 ẩn là:

\(x + {x^2} = 0\) vì phương trình có chứa \(x^2\) nên không là phương trình bậc nhất 1 ẩn.

\(0x-3=0\) vì phương trình có \(a=0\) nên không là phương trình bậc nhất 1 ẩn.

Giải các phương trình:

a) \(4x - 20 = 0\)

b) \(2x + x + 12 = 0\)

c) \(x - 5 = 3 - x\)

d) \(7 - 3x = 9 - x\)

Phương pháp giải

a) Phương trình \(ax+b=0\) (với \(a\ne0\)) được giải như sau:

\(ax + b = 0 \Leftrightarrow  ax = -b  \Leftrightarrow  x = \dfrac{-b}{a}\)

Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất là \(x=   \dfrac{-b}{a} \)

b), c), d) 

+) Quy tắc chuyển vế

Trong một phương trình ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó.

+) Quy tắc nhân với một số

Trong một phương trình, ta có thể nhân (hoặc chia) cả hai vế phương trình với cùng một số khác \(0\).

Hướng dẫn giải

Câu a:  \(4x - 20 = 0 \)

\(\Leftrightarrow  4x = 20  \)

\( \Leftrightarrow x = \dfrac{20} {4}\)

\(\Leftrightarrow  x = 5\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = 5\).

Câu b: \(2x + x + 12 = 0\)

\( \Leftrightarrow  3x + 12 = 0\)

\( \Leftrightarrow 3x = -12\)

\( \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 12}}{3}\)

\( \Leftrightarrow x = - 4\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x = - 4\)

Câu c: \(x - 5 = 3 - x\)

\( \Leftrightarrow  x + x = 3+5\)

\( \Leftrightarrow  2x = 8 \)

\( \Leftrightarrow x = \dfrac{8}{2}\)

\( \Leftrightarrow  x = 4\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = 4\)

Câu d: \(7 - 3x = 9 - x\)

\( \Leftrightarrow  -3x+x = 9 -7\)

\( \Leftrightarrow  -2x = 2\)

\( \Leftrightarrow x = \dfrac{2}{{ - 2}}\)

\( \Leftrightarrow  x = -1\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = -1\).

Giải các phương trình sau, viết số gần đúng của mỗi nghiệm ở dạng số thập phân bằng cách làm tròn đến hàng phần trăm:

a) \(3x - 11 = 0\)

b) \(12 + 7x = 0\)

c) \(10 - 4x = 2x - 3\)

Phương pháp giải