Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 3: Tính chất đường phân giác của tam giác

Môn Toán là môn quan trọng và tương đối khó với các em học sinh lớp 8, với mong muốn giúp các em nắm thật vững kiến thức và làm bài thật hiệu quả eLib đã biên soạn và tổng hợp nội dung giải bài tập SGK trang 67, 68 bên dưới đây. Với nội dung chi tiết, rõ ràng được trình bày logic, khoa học hứa hẹn sẽ mang lại cho các em thật nhiều kiến thức bổ ích. Mời các em cùng tham khảo!

Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 3: Tính chất đường phân giác của tam giác

Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 3: Tính chất đường phân giác của tam giác

1. Giải bài 15 trang 67 SGK Toán 8 tập 2

Tính x trong hình 24 và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất.

Phương pháp giải

Hình ABC

AD là tia phân giác góc A của ∆ABC

\dfrac{BD}{AB} = \dfrac{DC}{AC}

Suy ra tính được DC = x

Hình PMN

PQ là đường phân giác góc P của ∆PMN (gt) nên  \dfrac{MQ}{MP}= \dfrac{NQ}{NP}

Hay  \dfrac{MQ}{6,2} = \dfrac{x}{8,7}

Từ đó suy ra được x

Hướng dẫn giải

Hình ABC

AD là tia phân giác góc A của ∆ABC (gt) nên áp dụng tính chất của đường phân giác trong tam giác ta có:

 \dfrac{BD}{AB} = \dfrac{DC}{AC}

\Rightarrow DC = \dfrac{BD.AC}{AB}= \dfrac{3,5.7,2}{4,5}

\Rightarrow x = 5,6

Hình PMN

PQ là đường phân giác góc P của ∆PMN (gt) nên 

\dfrac{MQ}{MP}= \dfrac{NQ}{NP} (tính chất đường phân giác của tam giác)

Hay  \dfrac{MQ}{6,2} = \dfrac{x}{8,7}

Có: MN=MQ+x=12,5

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\Rightarrow \dfrac{x}{8,7} = \dfrac{MQ}{6,2} = \dfrac{x + MQ}{8,7+ 6,2}= \dfrac{12,5}{14,9}

\Rightarrow x = \dfrac{{12,5.8,7}}{{14,9}} \approx 7,3

2. Giải bài 16 trang 67 SGK Toán 8 tập 2

Tam giác ABC có độ dài các cạnh AB= m, AC= nAD là đường phân giác. Chứng minh rẳng tỉ số diện tích tam giác ABD và diện tích tam giác ACD bằng \dfrac{m}{n}.

Phương pháp giải

Kẻ AH ⊥ BC 

Chứng tỏ: \dfrac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \dfrac{BD}{DC}

Mặt khác: AD là đường phân giác của ∆ABC (gt)

 \Rightarrow \dfrac{BD}{DC}= \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{m}{n}

Vậy \dfrac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \dfrac{m}{n}

Hướng dẫn giải

Kẻ AH ⊥ BC 

Ta có: 

{S_{ABD}} = \dfrac{1}{2}AH.BD

{S_{ACD}} = \dfrac{1}{2}AH.DC

 \Rightarrow \dfrac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \dfrac{\dfrac{1}{2}AH.BD}{\dfrac{1}{2}AH.DC} = \dfrac{BD}{DC}

Mặt khác: AD là đường phân giác của ∆ABC (gt)

 \Rightarrow \dfrac{BD}{DC}= \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{m}{n} (tính chất đường phân giác của tam giác)

Vậy \dfrac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \dfrac{m}{n} (điều phải chứng minh).

3. Giải bài 17 trang 68 SGK Toán 8 tập 2

Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AM. Tia phân giác của góc AMB cắt cạnh ABD, tia phân giác của góc AMC cắt cạnh ACE. Chứng minh rằng DE // BC (h25)

Phương pháp giải

Ta có MD là đường phân giác góc M của tam giác ABM (giả thiết)

\Rightarrow \dfrac{AD}{BD} = \dfrac{AM}{BM} (1)

Tương tự ta có: \dfrac{AE}{CE}= \dfrac{AM}{MC} (2); \dfrac{AM}{BM} = \dfrac{AM}{MC} (3)

Từ (1), (2), (3) \Rightarrow \dfrac{AD}{BD}= \dfrac{AE}{CE} 

Vậy DE // BC 

Hướng dẫn giải

Ta có MD là đường phân giác góc M của tam giác ABM (giả thiết)

\Rightarrow \dfrac{AD}{BD} = \dfrac{AM}{BM} (1) (tính chất đường phân giác của tam giác)

ME là đường phân giác góc M của tam giác ACM (giả thiết) 

\Rightarrow \dfrac{AE}{CE}= \dfrac{AM}{MC} (2) (tính chất đường phân giác của tam giác)

MB = MC (vì AM là đường trung tuyến nên M là trung điểm của BC

 \Rightarrow \dfrac{AM}{BM} = \dfrac{AM}{MC} (3)

Từ (1), (2), (3) \Rightarrow \dfrac{AD}{BD}= \dfrac{AE}{CE} 

\Rightarrow  DE // BC ( theo định lí Talet đảo).

4. Giải bài 18 trang 68 SGK Toán 8 tập 2

Tam giác ABCAB= 5cm, AC= 6cm, BC= 7cm. Tia phân giác của góc BAC cắt BC tại E. Tính các đoạn EB, EC.

Phương pháp giải

Xét tam giác ABC có: \dfrac{EB}{AB} = \dfrac{EC}{AC}

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng ta được:

\dfrac{EB}{AB} = \dfrac{EC}{AC} = \dfrac{EB+EC}{AB+AC}\, = \dfrac{BC}{AB+AC}  

Từ đó tính được EB, EC.

Hướng dẫn giải

AE là đường phân giác của \widehat {BAC} (giả thiết) nên xét tam giác ABC có: 

\dfrac{EB}{AB} = \dfrac{EC}{AC} (tính chất đường phân giác của tam giác)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\dfrac{EB}{AB} = \dfrac{EC}{AC} = \dfrac{EB+EC}{AB+AC}\, = \dfrac{BC}{AB+AC}  

 \Rightarrow  EB = \dfrac{AB.BC}{AB+AC} = \dfrac{5.7}{5+6} =\dfrac{35}{11}

EC = BC- EB =7-\dfrac{35}{11}  =\dfrac{42}{11}

5. Giải bài 19 trang 68 SGK Toán 8 tập 2

Cho hình thang ABCD (AB // CD).

Đường thẳng a song song với DC, cắt các cạnh ADBC theo thứ tự là EF.

Chứng minh rằng:

a) \dfrac{AE}{ED} = \dfrac{BF}{FC};

b) \dfrac{AE}{AD} = \dfrac{BF}{BC}

c) \dfrac{DE}{DA} = \dfrac{CF}{CB}.

Phương pháp giải

a) Chứng minh \dfrac{AE}{ED} = \dfrac{AO}{OC} (1) và \dfrac{AO}{OC} = \dfrac{BF}{FC} (2)

Từ (1) và (2) \Rightarrow \dfrac{AE}{ED} = \dfrac{BF}{FC}

b) Theo câu a) có: {{AE} \over {ED}} = {{BF} \over {FC}} từ đó chứng minh {{BC} \over {BF}} = {{AD} \over {AE}} \Rightarrow {{AE} \over {AD}} = {{BF} \over {BC}}

c) Theo câu b) có: {{AE} \over {ED}} = {{BF} \over {FC}} từ đó chứng minh {{AD} \over {ED}} = {{BC} \over {FC}} suy ra {{DE} \over {DA}} = {{CF} \over {CB}}

Hướng dẫn giải

a) Nối AC cắt EF tại O

∆ADCEO // DC (giả thiết)  \Rightarrow \dfrac{AE}{ED} = \dfrac{AO}{OC}       (1) (theo định lí Talet)

∆ABCOF // AB (giả thiết)  \Rightarrow \dfrac{AO}{OC} = \dfrac{BF}{FC}         (2) (theo định lí Talet)

Từ (1) và (2) \Rightarrow \dfrac{AE}{ED} = \dfrac{BF}{FC}

b) Theo câu a) ta có: 

\eqalign{ & {{AE} \over {ED}} = {{BF} \over {FC}} \Rightarrow {{FC} \over {BF}} = {{ED} \over {AE}} \cr & \Rightarrow {{FC} \over {BF}} + 1 = {{ED} \over {AE}} + 1 \cr & \Rightarrow {{FC + BF} \over {BF}} = {{ED + AE} \over {AE}} \cr & \Rightarrow {{BC} \over {BF}} = {{AD} \over {AE}} \cr & \Rightarrow {{AE} \over {AD}} = {{BF} \over {BC}} \cr}

c)  Theo câu b) ta có:

\eqalign{ & {{AE} \over {ED}} = {{BF} \over {FC}} \cr & \Rightarrow {{AE} \over {ED}} + 1 = {{BF} \over {FC}} + 1 \cr & \Rightarrow {{AE + ED} \over {ED}} = {{BF + FC} \over {FC}} \cr & \Rightarrow {{AD} \over {ED}} = {{BC} \over {FC}} \cr & \Rightarrow {{FC} \over {BC}} = {{ED} \over {AD}}\,\,\,hay\,\,{{DE} \over {DA}} = {{CF} \over {CB}} \cr}

6. Giải bài 20 trang 68 SGK Toán 8 tập 2

Cho hình thang ABCD\; (AB //CD). Hai đường chéo ACBD cắt nhau tại O. Đường thẳng a qua O và song song với đáy của hình thang cắt các cạnh AD, BC theo thứ tự EF (h26)

Chứng minh rằng OE = OF.

Phương pháp giải

Chứng minh: \dfrac{OE}{DC} = \dfrac{AO}{AC} (1); \dfrac{OF}{DC} = \dfrac{BF}{BC} (2); \dfrac{AO}{AC} = \dfrac{BF}{BC} (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra \dfrac{OE}{DC} = \dfrac{OF}{DC} nên OE = OF

Hướng dẫn giải

∆ADCOE // DC (gt) nên \dfrac{OE}{DC} = \dfrac{AO}{AC}  (1) (hệ quả của định lí TaLet trong tam giác)

∆BDCOF // DC (gt) nên \dfrac{OF}{DC} = \dfrac{BF}{BC}   (2) (hệ quả của định lí TaLet trong tam giác)

∆BACOF // AB (gt) nên \dfrac{AO}{AC} = \dfrac{BF}{BC}   (3) (hệ quả của định lí TaLet trong tam giác)

Từ (1), (2), (3) suy ra \dfrac{OE}{DC} = \dfrac{OF}{DC} nên OE = OF

7. Giải bài 21 trang 68 SGK Toán 8 tập 2

a) Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AM và đường phân giác AD. Tính diện tích tam giác ADM, biết AB= m, AC= n\;( n>m) và diện tích của tam giác ABCS.

b) Cho n = 7cm, m = 3cm. Hỏi diện tích tam giác ADM chiếm bao nhiêu phần trăm diện tích tam giác ABC.

Phương pháp giải

a) Chỉ ra được \dfrac{S_{ABD}}{S_{ADC}} = \dfrac{DB}{DC}= \dfrac{AB}{AC}= \dfrac{m}{n} 

Chứng minh: \dfrac{S_{ABD}}{S_{ABC}}= \dfrac{m}{n+m} 

AM là trung tuyến của ∆ABC (gt) \Rightarrow S_{ABM}= \dfrac{1}{2}S_{ABC}.

AB < AC( m<n)AD là đường phân giác, AM là đường trung tuyến kẻ từ A nên AD nằm giữa ABAM.

Từ đó chưng minh được: S_{ADM}= \dfrac{S(n -m)}{2(m+n)} (với n>m)

b) {S_{A{\rm{D}}M}} = \dfrac{{7 - 3}}{{2\left( {7 + 3} \right)}}.S

Hướng dẫn giải

a) Ta có AD là đường phân giác của ∆ABC (gt) nên

\dfrac{{B{\rm{D}}}}{{DC}} = \dfrac{{AB}}{{AC}} (Tính chất đường phân giác của tam giác)
\dfrac{S_{ABD}}{S_{ADC}} = \dfrac{DB}{DC} (do hai tam giác có chung chiều cao từ đỉnh A) 

Nên \dfrac{S_{ABD}}{S_{ADC}} = \dfrac{DB}{DC}= \dfrac{AB}{AC}= \dfrac{m}{n} 

\eqalign{ & \Rightarrow  {{{S_{ADC}}} \over {{S_{ABD}}}} = {n \over m} \cr & \Rightarrow {{{S_{ADC}}} \over {{S_{ABD}}}} + 1 = {n \over m} + 1 \cr & \Rightarrow {{{S_{ADC}} + {S_{ABD}}} \over {{S_{ABD}}}} = {{n + m} \over m} \cr}

\Rightarrow \dfrac{S_{ABD}}{S_{ADC}+S_{ABD}}= \dfrac{m}{n+m} 

hay \dfrac{S_{ABD}}{S_{ABC}}= \dfrac{m}{n+m} 

\Rightarrow {S_{AB{\rm{D}}}} = \dfrac{{mS}}{{n + m}}

AM là trung tuyến của ∆ABC (gt) \Rightarrow S_{ABM}= \dfrac{1}{2}S_{ABC}.

AB < AC( m<n)AD là đường phân giác, AM là đường trung tuyến kẻ từ A nên AD nằm giữa ABAM.

\Rightarrow S_{ADM}= S_{ABM}- S_{ABD}

\Rightarrow S_{ADM} = \dfrac{1}{2}S -\dfrac{m}{n+m}S \,= \dfrac{S(m+n-2m)}{2(m+n)}

S_{ADM}= \dfrac{S(n -m)}{2(m+n)} (với n>m)

b) Khi n = 7cm, m = 3cm ta có:

{S_{A{\rm{D}}M}} = \dfrac{{7 - 3}}{{2\left( {7 + 3} \right)}}.S = \dfrac{S}{5} = \dfrac{{20.S }}{100} \,= 20\% S

Vậy S_{ADM} = 20\%S_{ABC}.

8. Giải bài 22 trang 68 SGK Toán 8 tập 2

Đố: Hình 27 cho biết có 6 góc bằng nhau:

\widehat{O_{1}} = \widehat {O_{2}} = \widehat {O_{3}} = \widehat {O_{4}} = \widehat {O_{5}} = \widehat {O_{6}}

Kích thước các đoạn thẳng đã được ghi trên hình. Hãy thiết lập những tỉ lệ thức từ kích thước đã cho.


Phương pháp giải

Ta có: 

OB là tia phân giác trong của ∆OAC  \Rightarrow  \dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{c}

OC là tia phân giác trong của ∆OBD \Rightarrow  \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{d}

Thực hiện tương tự với các ta phân giác còn lại: OC,OD, OE, OF

Hướng dẫn giải

OB là tia phân giác trong của ∆OAC  \Rightarrow  \dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{c}

OC là tia phân giác trong của ∆OBD \Rightarrow  \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{d}

OD là tia phân giác trong của ∆OCE  \Rightarrow  \dfrac{z}{c}= \dfrac{t}{e}

OE là tia phân giác trong của ∆ODF  \Rightarrow  \dfrac{t}{d} = \dfrac{u}{f}

OF là tia phân giác trong của ∆OEG  \Rightarrow  \dfrac{u}{e} = \dfrac{v}{g}

OC là tia phân giác của  ∆AOE  \Rightarrow  \dfrac{AC}{OA} = \dfrac{CE}{OE} hay \dfrac{x+ y}{a} = \dfrac{z + t}{e}

OE là phân giác của ∆OCG  \Rightarrow  \dfrac{z + t}{c} =  \dfrac{u+v }{g}

OD là phân giác của ∆AOG  \Rightarrow  \dfrac{x+y+z }{a} = \dfrac{t+u+v }{g}

OD là phân giác của ∆OBF  \Rightarrow  \dfrac{y+z}{b} = \dfrac{t + u}{f}

Ngày:08/10/2020 Chia sẻ bởi:Ngoan

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM