Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 1: Phân thức đại số

Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng tỏ rằng:

a) \(\dfrac{5y}{7} = \dfrac{20xy}{28x}\)

b) \(\dfrac{3x(x + 5)}{2(x + 5)} = \dfrac{3x}{2}\)

c) \(\dfrac{x + 2}{x - 1} = \dfrac{(x + 2)(x + 1)}{x^2 - 1}\)

d) \(\dfrac{x^2 - x - 2}{x + 1} = \dfrac{x^2 - 3x + 2}{x - 1}\)

e) \(\dfrac{x^3 + 8}{x^2 - 2x + 4} = x + 2\)

Phương pháp giải

Áp dụng định nghĩa hai phân thức bằng nhau: \( \dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}\) nếu \(AD = BC\).

Hướng dẫn giải

Câu a

\( \left.\begin{matrix} 5y.28x = 140xy\\ 7.20xy = 140xy \end{matrix}\right\}\) \(\Rightarrow 5y.28x = 7.20xy\)

nên \( \dfrac{5y}{7}= \dfrac{20xy}{28x}\)

Câu b

Xét tích chéo:

\(3x(x + 5).2 = 6x(x + 5)\)

\(3x.2(x + 5) = 6x(x + 5)\)

Suy ra \(3x(x + 5).2 = 3x.2(x + 5) \)

Do đó \( \dfrac{3x(x + 5)}{2(x +5)}= \dfrac{3x}{2}\)

Câu c

Xét tích chéo:

\((x + 2)(x^2- 1) \)\(= (x + 2)(x + 1)(x - 1)\).

Nên \( \dfrac{x + 2}{x - 1}= \dfrac{(x + 2)(x + 1)}{x^{2} - 1}\)

Câu d

\(\begin{array}{l}
\left( {{x^2} - x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)\\
= \left( {{x^2} - 2x + x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)\\
= \left[ {x\left( {x - 2} \right) + \left( {x - 2} \right)} \right]\left( {x - 1} \right)\\
= \left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)\\
\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)\\
= \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 2x - x + 2} \right)\\
= \left( {x + 1} \right)\left[ {x\left( {x - 2} \right) - \left( {x - 2} \right)} \right]\\
= \left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right) 
\end{array}\)

\(\Rightarrow \left( {{x^2} - x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)=\)\( \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)\)

Vậy  \( \dfrac{x^{2} - x - 2}{x + 1}= \dfrac{x^{2}- 3x + 2}{x - 1}\)

Câu e

Ta có: \( \dfrac{x^{3}+ 8 }{x^{2}- 2x + 4}= x + 2\)

Suy ra \( \dfrac{x^{3}+ 8 }{x^{2}- 2x + 4}= \dfrac{x + 2}1\)

Xét tích chéo:

\((x^3+ 8).1 = x^3+ 2^3\)\(= (x + 2)(x^2– 2x + 4)\)

Do đó: \( \dfrac{x^{3}+ 8 }{x^{2}- 2x + 4}= x + 2\)

Ba phân thức sau có bằng nhau không?

\(\dfrac{x^2 - 2x - 3}{x^2 + x};\,\dfrac{x - 3}{x};\,\dfrac{x^2 - 4x + 3}{x^2 - x}\)

Phương pháp giải

Áp dụng định nghĩa hai phân thức bằng nhau: \( \dfrac{A}{B} =  \dfrac{C}{D}\) nếu \(AD = BC\), ta lần lượt xét từng đôi một.

Hướng dẫn giải

+) So sánh \( \dfrac{x^{2}- 2x - 3}{x^{2} + x}\) và \(  \dfrac{x - 3}{x}\)

Xét các tích chéo, ta có:

*) \(\left( {{x^2}-2x-3} \right)x = {x^3}-2{x^2}-3x \)

*) \(\left( {{\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x} \right)\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right) \)\(= {x^3}-{\rm{ }}3{x^2} + {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}3x{\rm{ }}\)\( = {\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}2{x^2}-{\rm{ }}3x\)

Nên  \((x^2– 2x – 3)x = ( x^2+ x)(x – 3)\)

Do đó: \( \dfrac{x^{2}- 2x - 3}{x^{2} + x} =  \dfrac{x - 3}{x}\) (1)

+) So sánh \( \dfrac{x - 3}{x} \) và \( \dfrac{x^{2}- 4x + 3}{x^{2}- x}\) 

Xét các tích chéo, ta có: 

*) \(\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}3} \right)({x^2}-{\rm{ }}x){\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}{x^2} - {\rm{ }}3{x^2} + {\rm{ }}3x{\rm{ }} \)\(= {\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}4{x^2} + {\rm{ }}3x\)

*) \(x({x^2}{\rm{ }} - {\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}3){\rm{ }} = {x^3}-{\rm{ }}4{x^2} + {\rm{ }}3x\)

Nên \(\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}3} \right)({x^2}-{\rm{ }}x){\rm{ }} = x({x^2}{\rm{ }} - {\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}3)\)

Do đó  \( \dfrac{x - 3}{x} =  \dfrac{x^{2}- 4x + 3}{x^{2}- x}\) (2)

Vậy từ (1) và (2) ta suy ra: \( \dfrac{x^{2}- 2x - 3}{x^{2} + x} =  \dfrac{x - 3}{x} =  \dfrac{x^{2}- 4x + 3}{x^{2}- x}\)

Cho ba đa thức: \(x^2 - 4x,\, x^2 + 4,\, x^2 + 4x.\) Hãy chọn đa thức thích hợp trong ba đa thức đó rồi điền vào chỗ trống trong đẳng thức dưới đây: \(\dfrac{...}{x^2 - 16} = \dfrac{x}{x - 4}\)

Phương pháp giải

Áp dụng định nghĩa hai phân thức bằng nhau: Với hai phân thức \( \dfrac{A}{B}\) và \( \dfrac{C}{D}\) gọi là bằng nhau nếu: \(AD = BC.\)

Hướng dẫn giải

Ta có: \( \dfrac{...}{x^{2}- 16}= \dfrac{x}{x - 4}\)

\(\Rightarrow \left(  \ldots  \right)\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right) = x({x^2}-{\rm{ }}16)\)

\(\Rightarrow \left(  \ldots  \right)\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right) = x\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}4} \right)\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}4} \right) \)

\(\Rightarrow \left(  \ldots  \right)\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right)= ({x^2} + {\rm{ }}4x)\left( {x{\rm{ }} - 4} \right)\)

\(\Rightarrow \left(  \ldots  \right)= {x^2} + {\rm{ }}4x\)

Vậy phải điền vào chỗ trống đa thức \(x^2+ 4x.\)