Giải bài tập SGK Toán 7 Bài 1: Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác

So sánh các góc trong tam giác \(\triangle{ABC}\), biết rằng:

\(AB = 2cm,        BC = 4cm,          AC = 5cm\)

Hướng dẫn giải

Dựa vào hình vẽ, ta có:

Góc đối diện cạnh BC là góc A

Góc đối diện cạnh AC là góc B

Góc đối diện cạnh AB là góc C

Trong tam giác \(\triangle{ABC}\) có:

\(AB = 2cm, BC = 4cm, AC = 5cm\)

Suy ra \(AB < BC < CA\) (\(2cm<4cm<5cm\)) mà trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn nên ta có: \(\widehat{C}< \widehat{A}<\widehat{B}\). 

So sánh các cạnh của tam giác \( ABC\), biết rằng:

\(\widehat{A} =  80^o;\)   \(\widehat{B}  = 45^o\)

Hướng dẫn giải

Tam giác \(ABC\)  có  \(\widehat{A} = 80^o\); \(\widehat{B} =  45^o\)

Ta có: \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^0\) (Theo định lý tổng ba góc trong một tam giác)

\( \Rightarrow \widehat{C}  = 180^o – (80^o + 45^o) = 55^o\)

Cạnh đối diện góc B là AC, cạnh đối diện góc C là AB, cạnh đối diện góc A là BC.

Vì \(\widehat{B} < \widehat{C} < \widehat{A}\) (do \(45^o < 55^o< 80^o\))

\(\Rightarrow AC < AB < BC\) (cạnh đối diện với góc lớn hơn thì lớn hơn) 

Cho tam giác \(ABC\) với \(\widehat{A} =  100^o\) , \(\widehat{B}  =  40^o\)

a) Tìm cạnh lớn nhất của tam giác.

b) Tam giác \(ABC\)  là tam giác gì?

Hướng dẫn giải

Câu a:

Tam giác \(ABC\) có \(\widehat{A} =   100^o\) và \(\widehat{B} = 40^o\) 

Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác vào tam giác \(ABC\) ta được: 

\(\eqalign{
& \widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0} \cr
& \Rightarrow \widehat C = {180^0} - (\widehat A + \widehat B) \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;= {180^0} - ({100^0} + {40^0}) = {40^0} \cr} \)

\( \Rightarrow \widehat A > \widehat B = \widehat C\) \(\left( {{{100}^o} > {{40}^o}} \right)\)

Vậy \(\widehat A\) lớn nhất do đó cạnh đối diện với góc A là cạnh \(BC\) lớn nhất (Theo định lí về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện) 

Câu b:

Tam giác \(ABC\) có \(\widehat C = \widehat B = {40^0}\) do đó \(\Delta ABC \) là tam giác cân tại \(A\)

Trong một tam giác, đối diện với cạnh nhỏ nhất là góc gì ( nhọn, vuông, tù)? Tại sao?

Hướng dẫn giải

Trong một tam giác, đối diện với cạnh nhỏ nhất là góc nhọn.

Thật vậy, giả sử góc nhỏ nhất là góc vuông hoặc tù thì hai góc còn lại có số đo \(\ge 90^0\), hay cả ba góc của tam giác đều có số đo \(\ge 90^0\)

Khi đó tổng ba góc của tam giác \(\ge 3.90^0=270^0>180^o\) ( mâu thuẫn với định lý tổng ba góc của tam giác bằng \(180^0\))

Vậy trong một tam giác, đối diện với cạnh nhỏ nhất là góc nhọn.

Ba bạn Hạnh, Nguyên, Trang đi đến trường theo ba con đường \(AD, BD,\)  và \(CD\) (hình dưới). Biết rằng ba điểm \(A, B, C \) cùng nằm trên một đường thẳng và góc \(ACD\) là góc tù. Hỏi ai đi xa nhất, ai đi gần nhất? Hãy giải thích

Hướng dẫn giải

Vì \(\widehat{ACD}\) tù (gt) nên  \(∆DCB\) có \(\widehat{C}>\widehat{CBD}\) (góc tù là góc lớn nhất trong tam giác) 

\( \Rightarrow  BD > CD\) (1) (đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn)

\(\Delta ABD \) có \(\widehat{DBA}\) là góc ngoài của \( \Delta DCB\)

nên \(\widehat{DBA}=\widehat{DCB}+\widehat{BDC}\)

\( \Rightarrow \widehat{DBA}\)  > \(\widehat{DCB}\) 

Vì \(\widehat{DCB}\)  là góc tù nên \(\widehat{DBA}\) là góc tù

Do đó \(\widehat{DBA}\) là góc lớn nhất trong \(\Delta ABD \) nên AD là cạnh lớn nhất trong \(\Delta ABD \) (đối diện với góc lớn nhất là cạnh lớn nhất) 

\(\Rightarrow AD > BD\) (2)  

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow\)  \(AD > BD >CD\)

Vậy Hạnh đi xa nhất, Trang đi gần nhất.

Xem hình 6, có hai đoạn bằng nhau \(BC\) và \(DC\). Hỏi rằng kết luận nào trong các kết luận sau là đúng? Tại sao?

a) \(\widehat{A} = \widehat{B}\)

b) \(\widehat{A} > \widehat{B}\)

c) \(\widehat{A} < \widehat{B}\)

Hướng dẫn giải

Vì \(D\) nằm giữa \(A\) và \(C\) (giả thiết)

\(⇒ AC = AD + DC = AD + BC\) (\(DC = BC\) giả thiết)

Do đó \(AC>BC\)

Trong tam giác \(ABC \):

Góc đối diện cạnh \(AC\) là góc \(B\)

Góc đối diện cạnh \(BC\) là góc \( A\)

\(AC > BC\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow \widehat B > \widehat A\) (Theo định lí 1)

Vậy kết luận c) là đúng.

Cho tam giác \( {ABC}\) với \(AC > AB\). Trên tia \(AC\), lấy điểm \(B’\) sao cho \(AB’ = AB\)

a) Hãy so sánh góc \(\widehat{ABC}\) với góc \(\widehat{ABB'}\)

b) Hãy so sánh góc \(\widehat{ABB'}\) với góc \(\widehat{AB'B}\)

c) Hãy so sánh góc  \(\widehat{AB'B}\) với góc \(\widehat{ACB}\)

 Từ đó suy ra \(\widehat{ABC} > \widehat{ACB}\) 

Hướng dẫn giải

Câu a:

Trên tia \(AC\), lấy \(B'\) sao cho \(AB' = AB\) 

Mà \(AB < AC\) ( giả thiết) nên \(AB'

Suy ra \(B'\) nằm giữa \(A\) và \(C\)

\(=>\) tia \(BB'\) nằm giữa hai tia \(BA\) và \(BC\)

\(=> \widehat{ABB'} < \widehat{ABC}\)

Câu b:

\( ∆ABB'\) có \(AB = AB'\) nên \( ∆ABB'\) cân tại \(A\)

\(=> \widehat{ABB'} = \widehat{AB'B}\)

Câu c:

Vì góc \(\widehat{AB'B}\) là góc ngoài tại \(B'\) của  \(\Delta BB'C\)  nên

\(\widehat {AB'B} = \widehat {B'BC} + \widehat {B'CB}\)

Mà \(\widehat {B'CB} = \widehat {ACB}\)

Do đó: \(\widehat {AB'B}>\widehat {ACB}\)     (1)

Mặt khác:

\( \widehat{ABB'} = \widehat{AB'B}\) ( theo b)  (2)

\(\widehat{ABB'} < \widehat{ABC}\) (theo a)      (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\widehat{ABC} > \widehat{ACB}\)