Lý thuyết xác suất thống kê

Lý thuyết xác suất thống kê là một bộ phận của toán học, nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên và ứng dụng chúng vào thực tế.

Lý thuyết xác suất cũng là cơ sở để nghiên cứu Thống kê môn học nghiên cứu các các phương pháp thu thập thông tin chọn mẫu, xử lý thông tin, nhằm rút ra các kết luận hoặc quyết định cần thiết. Ngày nay, với sự hỗ trợ tích cực của máy tính điện tử và công nghệ thông tin, lý thuyết xác suất thống kê ngày càng được ứng dụng rộng rãi và hiệu quả trong mọi lĩnh vực khoa học tự nhiên và xã hội. Chính vì vậy lý thuyết xác suất thống kê được giảng dạy cho hầu hết các nhóm ngành ở đại học.

Phần thứ nhất nghiên cứu việc xác lập tính quy luật của các hiện tượng ngẫu nhiên và xem xét các điều kiện để các quy luật đó được bộc lộ trên các hiện tượng cụ thể. Việc nắm bắt các quy luật này sẽ cho phép dự báo các hiện tượng ngẫu nhiên đó sẽ xảy ra như thế nào. 

Phần thứ 2 nghiên cứu việc xây dựng các phương pháp thu thập và xử lý các số liệu thống kê nhằm rút ra các kết luận khoa học và thực tiễn.

Lý thuyết xác suất giới thiệu những nội dung cơ bản về biến cố ngẫu nhiên, xác suất; biến ngẫu nhiên và quy luật phân bố xác suất; các định lý giới hạn; vectơ ngẫu nhiên, kì vọng có điều kiện, hiệp phương sai và hệ số tương quan.

Thống kê toán bao gồm những nội dung cơ bản về lý thuyết mẫu, thống kê mô tả; các phương pháp ước lượng các tham số của biến ngẫu nhiên.  

Chuyên đề Triết học Xác suất thống kê mà eLib tổng hợp dưới đây sẽ giới thiệu đến các bạn sinh viên bao gồm 3 phần:

a. Một Học sinh bắt một đề gặp được đề trung bình.

b. Một Học sinh bắt hai đề, được ít nhất một đề trung bình.

Giải

a. Gọi A là biến cố Học sinh bắt được đề trung bình:

\($P(A) = \frac{{C_{20}^1}}{{C_{30}^1}} = \frac{{20}}{{30}} = \frac{2}{3}$\)

b. Gọi B là biến cố học sinh bắt được 1 đề trung bình và một đề khó

Gọi C là biến cố học sinh bắt được 2 đề trung bình.

Gọi D là biến cố học sinh bắt hai đề, được ít nhất một đề trung bình.

Khi đó: \($P(D) = \frac{{C_{20}^1.C_{10}^1 + C_{20}^2}}{{C_{30}^2}} = \frac{{200 + 190}}{{435}} = 0,896$\)

Bài 2: Có hai lớp 10A và 10 B mỗi lớp có 45 học sinh, số học sinh giỏi văn và số học sinh giỏi toán được cho trong bảng sau. Có một đoàn thanh tra. Hiệu trưởng nên mời vào lớp nào để khả năng gặp được một em giỏi ít nhất một môn là cao nhất?

Giải

Gọi V là biến cố học sinh giỏi Văn, T là biến cố học sinh giỏi Toán.

Ta có: Lớp 10A

\($P(V + T) = P(V) + P(T) - P(VT) = \frac{{25}}{{45}} + \frac{{30}}{{45}} - \frac{{20}}{{45}} = \frac{7}{9}$\)

Lớp 10B:

\($P(V + T) = P(V) + P(T) - P(VT) = \frac{{25}}{{45}} + \frac{{30}}{{45}} - \frac{{10}}{{45}} = 1$\)

Vậy nên chọn lớp 10B.

Bài 3: Lớp có 100 Sinh viên, trong đó có 50 SV giỏi Anh Văn, 45 SV giỏi Pháp Văn, 10 SV giỏi cả hai ngoại ngữ. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên trong lớp. Tính xác suất:

a. Sinh viên này giỏi ít nhất một ngoại ngữ.

b. Sinh viên này không giỏi ngoại ngữ nào hết.

c. Sinh viên này chỉ giỏi đúng một ngoại ngữ.

d. Sinh viên này chỉ giỏi duy nhất môn Anh Văn.

Giải

a) Gọi A là biến cố Sinh viên giỏi Anh Văn.

Gọi B là biến cố Sinh viên giỏi Pháp Văn.

Gọi C là biến cố Sinh viên giỏi ít nhất một ngoại ngữ.

\($P(C) = P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) = \frac{{50}}{{100}} + \frac{{45}}{{100}} - \frac{{10}}{{100}} = 0,85$\)

b) Gọi D là biến cố Sinh viên này không giỏi ngoại ngữ nào hết.

\($P(D) = 1 - P(C) = 1 - 0,85 = 0,15$\)

c) \($P(\overline A B + A\overline B ) = P(A) + P(B) - 2P(AB) = \frac{{50}}{{100}} + \frac{{45}}{{100}} - 2.\frac{{10}}{{100}} = 0,75$\)

d) \($P(A\overline B ) = P(A) - P(AB) = \frac{{50}}{{100}} - \frac{{10}}{{100}} = 0,4$\)

Bài 4: Trong một hộp có 12 bóng đèn, trong đó có 3 bóng hỏng. Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại ba bóng để dùng. Tính xác suất để:

a. Cả ba bóng đều hỏng.

b. Cả ba bóng đều không hỏng?

c. Có ít nhất một bóng không hỏng?

d. Chỉ có bóng thứ hai hỏng?

Giải

Gọi F là biến cố mà xác suất cần tìm và A_i là biến cố bóng thứ i hỏng

a. \($P(F) = P\left( {{{\rm{A}}_{\rm{1}}}{{\rm{A}}_{\rm{2}}}{{\rm{A}}_{\rm{3}}}} \right) = P\left( {{{\rm{A}}_{\rm{1}}}} \right)P\left( {{{\rm{A}}_{\rm{2}}}{\rm{/}}{{\rm{A}}_{\rm{1}}}} \right)P\left( {{{\rm{A}}_{\rm{3}}}/{{\rm{A}}_{\rm{1}}}{{\rm{A}}_{\rm{2}}}} \right) = \frac{3}{{12}}.\frac{2}{{11}}.\frac{1}{{10}} = \frac{1}{{220}}$\)

b. \($P(F) = P\left( {{{\rm{A}}_{\rm{1}}}{{\rm{A}}_{\rm{2}}}{{\rm{A}}_{\rm{3}}}} \right) = P\left( {{{\rm{A}}_{\rm{1}}}} \right)P\left( {{{\rm{A}}_{\rm{2}}}{\rm{/}}{{\rm{A}}_{\rm{1}}}} \right)P\left( {{{\rm{A}}_{\rm{3}}}/{{\rm{A}}_{\rm{1}}}{{\rm{A}}_{\rm{2}}}} \right) = \frac{3}{{12}}.\frac{2}{{11}}.\frac{1}{{10}} = \frac{1}{{220}}$\)

c. \($P(F) = 1 - P\left( {{{\rm{A}}_{\rm{1}}}{{\rm{A}}_{\rm{2}}}{{\rm{A}}_{\rm{3}}}} \right) = 1 - \frac{1}{{220}} = \frac{{219}}{{220}}$\)

d. \($P(F) = P\left( {\overline {{{\rm{A}}_{\rm{1}}}} \,.\,{{\rm{A}}_{\rm{2}}}\,.\,\overline {{{\rm{A}}_{\rm{3}}}} } \right) = P\left( {\overline {{{\rm{A}}_{\rm{1}}}} } \right)P\left( {{{\rm{A}}_{\rm{2}}}{\rm{/}}\overline {{{\rm{A}}_{\rm{1}}}} } \right)P\left( {\overline {{{\rm{A}}_{\rm{3}}}} /\overline {{{\rm{A}}_{\rm{1}}}} {{\rm{A}}_{\rm{2}}}} \right) = \frac{9}{{12}}.\frac{3}{{11}}.\frac{8}{{10}} = \frac{9}{{55}}$\)

A. 5    

B. 6    

C. 30 

D. 11

Câu 2. Công thức tính số hoán vị của n phần tử là:   

A. n!  

B. (n-1)!         

C. (n+1)! 

D. n+2           

Câu 3. Sắp xếp 5 sinh viên vào một bàn dài có 5 chỗ ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp?

A. 60 

B. 80 

C. 100           

D. 120

Câu 4. Hoán vị của n phần tử là:

A. Hoán đổi vị trí của n phần tử.

B. Sắp xếp n phần tử vào n vị trí.

C. Sắp xếp n phần tử vào n vị trí trên một vòng tròn

D. Sắp xếp n phần tử vào n vị trí theo hàng dọc hoặc hàng ngang

Câu 5. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 1 hàng dọc cho 5 sinh viên nam và 3 sinh viên nữ sao cho sinh viên nam đứng gần nhau và sinh viên nữ đứng gần nhau?

A. 8!   

B. 1440         

C. 5!3!

D. Số khác   

Câu 6. Đội văn nghệ của lớp có 4 nữ và 6 nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 1 đôi hát song ca nam - nữ?

A. 10!

B. 4!6!

C. 24 

D. 45 

Câu 7. Từ các số 2, 3, 4, 5, 6. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau?           

A. 60 

B. 10 

C. 6   

D. Số khác   

Câu 8. Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau ?

A. 720

B. 648

C. 640

D. 900

Trên đây là một số thông tin về môn Lý thuyết xác suất thống kê mà eLib muốn chia sẻ đến các bạn sinh viên. Ngoài ra, eLib còn tổng hợp các dạng bài tập khác nhau, giáo trình môn Xác suất thống kê, cuốn sách nhập môn Xác suất thống kêhay nhất hay những bài giảng chi tiết môn Xác suất thống kê. Chúc các bạn ôn tập và học tập thật tốt.