Giải bài tập SGK Toán 9 Bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Phần hướng dẫn giải bài tập Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai sẽ giúp các em nắm được phương pháp và rèn luyện kĩ năng các dạng bài tập từ SGK Toán 9 Tập một.

Giải bài tập SGK Toán 9 Bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

1. Giải bài 58 trang 32 SGK Toán 9 tập 1

Rút gọn các biểu thức sau

a) \(5\sqrt{\frac{1}{5}}+\frac{1}{2}\sqrt{20}+\sqrt{5}\)

b) \(\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{4,5}+\sqrt{12,5}\)

c) \(\sqrt{20}-\sqrt{45}+3\sqrt{18}+\sqrt{72}\)

d) \(0,1.\sqrt{200}+2.\sqrt{0,08}+0,4.\sqrt{50}\)

Phương pháp giải

- Sử dụng quy tắc đưa thừa số vào trong dấu căn: Với hai biểu thức \(A,\ B\) mà \(B \ge 0\), ta có

  • \(A\sqrt{B}=\sqrt{A^2B}\),  nếu \(A \ge 0\).
  • \(A\sqrt{B}=-\sqrt{A^2B}\),  nếu \(A < 0\).

- Sử dụng quy tắc đưa thừa số ra ngoài dấu căn: Với hai biểu thức \(A,\ B\) mà \(B \ge 0\), ta có:

  • \(\sqrt{A^2.B}=A\sqrt{B}\),  nếu \(A \ge 0\).
  • \(\sqrt{A^2.B}=-A\sqrt{B}\),  nếu \(A < 0\).

- \( \dfrac{A}{\sqrt B}=\dfrac{A\sqrt B}{B}\),  với \(B > 0\).

Hướng dẫn giải

Câu a

\(5\sqrt{\frac{1}{5}}+\frac{1}{2}\sqrt{20}+\sqrt{5}=\sqrt{\frac{25}{5}}+\sqrt{\frac{20}{4}}+\sqrt{5}\)

\(=\sqrt{5}+\sqrt{5}+\sqrt{5}=3\sqrt{5}\)

Câu b

\(\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{4,5}+\sqrt{12,5}=\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{9.\frac{1}{2}}+\sqrt{25.\frac{1}{2}}\)

\(=\sqrt{\frac{1}{2}}+3\sqrt{\frac{1}{2}}+5\sqrt{\frac{1}{2}}=9\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{9\sqrt{2}}{2}\)

Câu c

\(\sqrt{20}-\sqrt{45}+3\sqrt{18}+\sqrt{72}=2\sqrt{5}-3\sqrt{5}+3.3\sqrt{2}+6\sqrt{2}\)

 \(=15\sqrt{2}-\sqrt{5}\)

Câu d

 \(0,1.\sqrt{200}+2.\sqrt{0,08}+0,4.\sqrt{50}=0,1\sqrt{100.2}+2\sqrt{2.0,04}+0,4\sqrt{25.2}\)

\(=\sqrt{2}+0,4\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3,4\sqrt{2}=\frac{17\sqrt{2}}{5}\)

2. Giải bài 59 trang 32 SGK Toán 9 tập 1

Rút gọn các biểu thức sau (với \(a>0, b>0\))

a) \(5\sqrt{a}-4b\sqrt{25a^{3}}+5a\sqrt{16ab^{2}}-2\sqrt{9a}\)

b) \(5a\sqrt{64ab^{3}}-\sqrt{3}.\sqrt{12a^{3}b^{3}}+2ab\sqrt{9ab}-5b\sqrt{81a^{3}b}\)

Phương pháp giải

- Sử dụng quy tắc đưa thừa số ra ngoài dấu căn: Với hai biểu thức \(A,\ B\) mà \(B \ge 0\), ta có

  • \(\sqrt{A^2.B}=A\sqrt{B}\),  nếu \(A \ge 0\).
  • \(\sqrt{A^2.B}=-A\sqrt{B}\),  nếu \(A < 0\).

- \( \sqrt{A^2}=|A|\). 

- \(|A|=A\)  nếu \(A \ge 0\); \(|A|=-A\),  nếu \( A < 0\).

Hướng dẫn giải

Câu a

\(5\sqrt{a}-4b\sqrt{25a^{3}}+5a\sqrt{16ab^{2}}-2\sqrt{9a}\)

\(=5\sqrt{a}-4b.5a\sqrt{a}+5a.4b\sqrt{a}-2.3\sqrt{a}=-\sqrt{a}\)

Câu b

\(5a\sqrt{64ab^{3}}-\sqrt{3}.\sqrt{12a^{3}b^{3}}+2ab\sqrt{9ab}-5b\sqrt{81a^{3}b}\)

\(=5a.8b\sqrt{ab}-\sqrt{3}.2\sqrt{3}ab\sqrt{ab}+2ab.3\sqrt{ab}-5b.9a\sqrt{ab}\)

\(=-5ab\sqrt{ab}\)

3. Giải bài 60 trang 33 SGK Toán 9 tập 1

Cho biểu thức \(B= \sqrt{16x+16}-\sqrt{9x+9}+\sqrt{4x+4}+\sqrt{x+1}\) với \(x\geq -1\)

a) Rút gọn biểu thức B

b) Tìm x sao cho B có giá trị là 16

Phương pháp giải

  • Sử dụng quy tắc đặt nhân tử chung và quy tắc khai phương một tích để đưa các số hạng về dạng có cùng biểu thức dưới dấu căn.
  • \(\sqrt x =a \Leftrightarrow (\sqrt x)^2=a^2 \Leftrightarrow x=a^2\),  với \(a \ge 0.\) 

Hướng dẫn giải

Câu a

Vì \(x\geq -1\) nên căn thức của biểu thức B luôn có nghĩa.

\(= 4\sqrt{x+1}-3\sqrt{x+1}+2\sqrt{x+1}+\sqrt{x+1}=4\sqrt{x+1}\)

Câu b

\(\Leftrightarrow \sqrt{x+1}=4\)

\(\Leftrightarrow x+1=4^2=16\)

\(\Leftrightarrow x=15\)

4. Giải bài 61 trang 33 SGK Toán 9 tập 1

Chứng minh các đẳng thức sau

a) \(\frac{3}{2}\sqrt{6}+2\sqrt{\frac{2}{3}}-4\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{6}\)

b) \(\left ( x\sqrt{\frac{6}{x}} +\sqrt{\frac{2x}{3}}+\sqrt{6x}\right ):\sqrt{6x}=2\frac{1}{3}\) với \(x>0\).

Phương pháp giải

  • Biến đổi vế trái thành vế phải ta sẽ có điều cần chứng minh.
  • Sử dụng công thức sau: \(\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}\) với \(a\ge 0;b>0.\)

Hướng dẫn giải

Câu a: Ta có

\(VT=\frac{3}{2}\sqrt{6}+2\sqrt{\frac{2}{3}}-4\sqrt{\frac{3}{2}}\)

\(=\frac{3}{2}\sqrt{6}+\sqrt{\frac{4.2}{3}}-\sqrt{\frac{16.3}{2}}\)

\(=\frac{3\sqrt{6}}{2}+\frac{2\sqrt{2}.\sqrt{3}}{3}-\frac{4\sqrt{3}.\sqrt{2}}{2}\)

\(=\frac{9\sqrt{6}}{6}+\frac{4\sqrt{2}.\sqrt{3}}{6}-\frac{12\sqrt{3}.\sqrt{2}}{6}\)

\(=\frac{9\sqrt{6}+4\sqrt{6}-12\sqrt{6}}{6}=\frac{\sqrt{6}}{6}=VP\)

Câu b: Ta có

 \(VT=\left ( x\sqrt{\frac{6}{x}} +\sqrt{\frac{2x}{3}}+\sqrt{6x}\right ):\sqrt{6x}= \left ( x\frac{\sqrt{6x}}{x} +\frac{\sqrt{6x}}{3}+\sqrt{6x}\right ):\sqrt{6x}\)

\(=\left (\sqrt{6x}+\frac{\sqrt{6x}}{3}+\sqrt{6x} \right ).\frac{1}{\sqrt{6x}}\)

\(=\frac{8}{3}\sqrt{6x}.\frac{1}{\sqrt{6x}}=\frac{8}{3}=2\frac{1}{3}=VP\)

5. Giải bài 62 trang 33 SGK Toán 9 tập 1

Rút gọn các biểu thức sau

a) \(\frac{1}{2}\sqrt{48}-2\sqrt{75}-\frac{\sqrt{33}}{\sqrt{11}}+5\sqrt{1\frac{1}{3}}\)

b) \(\sqrt{150}+\sqrt{1,6}.\sqrt{60}+4,5.\sqrt{2\frac{2}{3}}-\sqrt{6}\)

c) \((\sqrt{28}-2\sqrt{3}+\sqrt{7})\sqrt{7}+\sqrt{48}\)

d) \((\sqrt{6}+\sqrt{5})^{2}-\sqrt{120}\)

Phương pháp giải

- Cách đổi hỗn số ra phân số: \(a\dfrac{b}{c}=\dfrac{a.c+ b}{c}\).

- Sử dụng quy tắc đưa thừa số ra ngoài dấu căn:  

  • \(\sqrt{A^2.B}=A\sqrt{B}\),  nếu \(A \ge 0,\ B \ge 0\).
  • \(\sqrt{A^2.B}=-A\sqrt{B}\),  nếu \(A < 0,\ B \ge 0\).

- \(\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}\),   với \(a \ge 0,\ b > 0\).

- \(\sqrt a .\sqrt b =\sqrt{ab}\),  với \(a, \ b \ge 0\).

- \(\dfrac{A}{\sqrt B}=\dfrac{A\sqrt B}{B}\),   với \( B > 0\).

Hướng dẫn giải

Câu a

\(\frac{1}{2}\sqrt{48}-2\sqrt{75}-\frac{\sqrt{33}}{\sqrt{11}}+5\sqrt{1\frac{1}{3}}+5\sqrt{1\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}\sqrt{16. 3}-2\sqrt{25.3}-\sqrt{\frac{33}{11}}+5\sqrt{\frac{4}{3}}\)

\(=\frac{1}{2}. 4\sqrt{3}-2.5\sqrt{3}-\sqrt{3}+5.\frac{2}{3}\sqrt{3}=(2-10-1+\frac{10}{3})\sqrt{3}=-\frac{17}{3}\sqrt{3}\)

Câu b

 \(\sqrt{150}+\sqrt{1,6}.\sqrt{60}+4,5.\sqrt{2\frac{2}{3}}-\sqrt{6}=\sqrt{25.6}+\sqrt{1,6.4.15}+4,5.\sqrt{\frac{8}{3}}-\sqrt{6}\)

\(= 5\sqrt{6}+\sqrt{96}+4,5.\frac{\sqrt{8.3}}{3}-\sqrt{6}=5\sqrt{6}+4\sqrt{6}+4,5.2.\frac{\sqrt{6}}{3}-\sqrt{6}\)

\(=(5+4+3-1)\sqrt{6}=11\sqrt{6}\)

Câu c

\((\sqrt{28}-2\sqrt{3}+\sqrt{7})\sqrt{7}+\sqrt{48}\) 

\(= (2\sqrt{7}-2\sqrt{3}+\sqrt{7})\sqrt{7}+2\sqrt{21}=2.7-2\sqrt{21}+7+2\sqrt{21}=21\)

Câu d

 

\(=6+2\sqrt{30}+5-2\sqrt{30}=11\)

6. Giải bài 63 trang 33 SGK Toán 9 tập 1

Rút gọn biểu thức sau

a) \(\sqrt{\dfrac{a}{b}}+\sqrt{ab}+\dfrac{a}{b}\sqrt{\dfrac{b}{a}}\) với \(a>0\) và \(b>0\)

b) \(\sqrt{\dfrac{m}{1-2x+x^{2}}}.\sqrt{\dfrac{4m-8mx+4m^{2}}{81}}\) với \(m>0\) và \(x\neq 1\)

Phương pháp giải

  • \( \sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}\),   với \(a \ge 0, \ b > 0\).
  • \(\dfrac{A}{\sqrt B}=\dfrac{A\sqrt B}{B}\),   với \( B > 0\).
  • \((\sqrt b)^2=b\),  với \(b \ge 0\). 

Hương dẫn giải

Câu a

 \(\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{ab}+\frac{a}{b}\sqrt{\frac{b}{a}}=\frac{\sqrt{ab}}{b}+\sqrt{ab}+\frac{a}{b}.\frac{\sqrt{ab}}{a}=\frac{(b+2)\sqrt{ab}}{b}\)

Câu b

Vì \(m>0;x\neq 1\) nên

Biểu thức luôn có nghĩa và: \(|m|=m\)

 

\(=\sqrt{\frac{4m^{2}(1-2x+x^{2})}{81(1-2x+x^{2})}}=\sqrt{\frac{4m^{2}}{81}}=\frac{2m}{9}\)

7. Giải bài 64 trang 33 SGK Toán 9 tập 1

Chứng minh các đẳng thức sau

a) \(\left ( \dfrac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}} +\sqrt{a}\right ). \left ( \dfrac{1-\sqrt{a}}{1-a} \right )^{2}= 1\) với \(a ≥ 0\) và \(a ≠ 1\)

b) \(\dfrac{a+b}{b^{2}}\sqrt{\dfrac{a^{2}b^{4}}{a^{2}+2ab+b^{2}}}  = \left| a \right|\) với \(a + b > 0\) và \(b ≠ 0\)

Phương pháp giải

- Biến đối vế trái thành vế phải ta sẽ có điều cần chứng minh.

- \(\sqrt{A^2}=|A|\). 

- \(|A|=A \) nếu \(A \ge 0\); \(|A|=-A\) nếu  \(A < 0\).

- Sử dụng các hằng đẳng thức

  • \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)
  • \(a^2- b^2=(a+b).(a-b)\).
  • \(a^3- b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\).

Hướng dẫn giải

Câu a: Ta có

\(VT=\left ( \frac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}} +\sqrt{a}\right )\left ( \frac{1-\sqrt{a}}{1-a} \right )^{2}\)

\(= \frac{(1-a\sqrt{a}+\sqrt{a}-a)(1-\sqrt{a})}{(1-a)^{2}}=\frac{\left [ (1-a) +(\sqrt{a}-a\sqrt{a})\right ](1-\sqrt{a})}{(1-a)^{2}}\)

\(= \frac{(1-a)(1-a)}{(1-a)^{2}}=1=VP\)

Câu b: Ta có

\(VT=\frac{a+b}{b^{2}}\sqrt{\frac{a^{2}b^{4}}{a^{2}+2ab+b^{2}}}\)

\(=\frac{a+b}{b^{2}}.\frac{|a|b^2}{|a+b|}\)

Mà \(a+b>0\Rightarrow |a+b|=a+b\) nên:

\(\frac{a+b}{b^{2}}.\frac{|a|b^2}{|a+b|}=\frac{a+b}{b^{2}}.\frac{|a|b^2}{a+b}=|a|=VP\)

8. Giải bài 65 trang 34 SGK Toán 9 tập 1

Rút gọn rồi so sánh giá trị của \(M\) với \(1\), biết:

\(M={\left(\dfrac{1}{a -\sqrt a} +\dfrac{1}{\sqrt a -1}\right)} : \dfrac{\sqrt a +1}{a -2\sqrt a+1}\)   với \(a > 0\) và \( a \ne 1\). 

Phương pháp giải

  • Sử dụng hằng đẳng thức số \(2\): \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\). 
  • Sử dụng phép biến đổi đặt nhân tử chung.

Hướng dẫn giải

Ta có

\(M={\left(\dfrac{1}{a -\sqrt a} +\dfrac{1}{\sqrt a -1}\right)} : \dfrac{\sqrt a +1}{a -2\sqrt a+1}\)

\(={\left(\dfrac{1}{\sqrt a .\sqrt a -\sqrt a .1}+\dfrac{1}{\sqrt a -1} \right)} : \dfrac{\sqrt a +1}{(\sqrt a)^2 -2\sqrt a+1}\)

\(={\left(\dfrac{1}{\sqrt a(\sqrt a -1)}+\dfrac{1}{\sqrt a -1} \right)} : \dfrac{\sqrt a +1}{(\sqrt a -1)^2}\)

\(={\left(\dfrac{1}{\sqrt a(\sqrt a -1)}+\dfrac{\sqrt a}{\sqrt a(\sqrt a -1)} \right)} : \dfrac{\sqrt a +1}{(\sqrt a -1)^2}\)

\(=\dfrac{1+\sqrt a}{\sqrt a(\sqrt a -1)}  : \dfrac{\sqrt a +1}{(\sqrt a -1)^2}\)

\(=\dfrac{1+\sqrt a}{\sqrt a(\sqrt a -1)}  . \dfrac{(\sqrt a -1)^2}{\sqrt a +1}\)

\(=\dfrac{1}{\sqrt a}  . \dfrac{\sqrt a -1}{1}=\dfrac{\sqrt a -1}{\sqrt a}\).

\(=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt a}-\dfrac{1}{\sqrt a} =1 -\dfrac{1}{\sqrt a}\)

Vì \(a > 0 \Rightarrow \sqrt a > 0 \Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt a} > 0  \Rightarrow 1 -\dfrac{1}{\sqrt a} < 1\).

Vậy \(M < 1\). 

9. Giải bài 66 trang 34 SGK Toán 9 tập 1

Giá trị của biểu thức \(\frac{1}{2+\sqrt{3}}+\frac{1}{2-\sqrt{3}}\) bằng:

(A) \(\dfrac{1}{2}\)

(B) \(1\)

(C) \(-4\)

(D) \(4\)

Hãy chọn câu trả lời đúng.

Phương pháp giải

Sử dụng quy tắc trục căn thức ở mẫu: \(\dfrac{C}{\sqrt A \pm B}= \dfrac{C(\sqrt A \mp B)}{A- B^2}\),  với \(A \ge 0,\  A \ne B^2\).

Hướng dẫn giải

Ta có

\(\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{2-\sqrt{3}}\)

\(=\dfrac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}+\dfrac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}\)

\(=\dfrac{2-\sqrt{3}}{2^2-(\sqrt 3)^2}+\dfrac{2+\sqrt{3}}{2^2-(\sqrt 3)^2}\)

\(=\dfrac{2-\sqrt{3}}{4-3}+\dfrac{2+\sqrt{3}}{4-3}\)

\(=\dfrac{2-\sqrt{3}}{1}+\dfrac{2+\sqrt{3}}{1}\)

\(=2-\sqrt{3}+2+\sqrt{3}=4\).

Chọn đáp án (D). \(4\)

Ngày:15/07/2020 Chia sẻ bởi:Oanh

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM