Giải bài tập SGK Toán 9 Bài 2: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Không cần vẽ hình, hãy cho biết số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau đây và giải thích vì sao:

a) \(\left\{\begin{matrix} y = 3 - 2x & & \\ y = 3x - 1 & & \end{matrix}\right.\)                       b) \(\left\{\begin{matrix} y = -\frac{1}{2}x+ 3 & & \\ y = -\frac{1}{2}x + 1 & & \end{matrix}\right.\)

c) \(\left\{\begin{matrix} 2y = -3x & & \\ 3y = 2x & & \end{matrix}\right.\)                         d) \(\left\{\begin{matrix} 3x - y = 3 & & \\ x - \frac{1}{3}y = 1 & & \end{matrix}\right.\)

Phương pháp giải

Ta biến đổi các hệ phương trình đã cho về dạng \(\left\{ \begin{array}{l}y = ax + b\\y = a'x + b'\end{array} \right.\)  

Gọi đường thẳng \((d):y=ax+b \) và đường thẳng \((d'): y=a'x+b' \). Ta so sánh các hệ số \(a,\ a'\); \(b,\ b'\).

• Nếu \(a \ne a'\) thì \(d\) cắt \(d' \Rightarrow \)  hệ đã cho có một nghiệm duy nhất.
• Nếu \(a=a',\ b \ne b'\) thì \(d\) song song với \(d' \Rightarrow \)  hệ đã cho vô nghiệm.
• Nếu \(a=a',\ b=b'\) thì \(d\) trùng với \(d' \Rightarrow \) hệ đã cho có vô số nghiệm. 

Hướng dẫn giải

Câu a: Ta có

\(\left\{\begin{matrix} y = 3 - 2x & & \\ y = 3x - 1 & & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} y = -2x + 3 \, (d) & & \\ y = 3x - 1 \, (d') & & \end{matrix}\right.\)

Ta có \(a = -2, a' = 3\) nên \(a ≠ a'\).

Do đó hai đường thẳng \( (d)\) và \((d')\) cắt nhau nên hệ phương trình đã cho  có một nghiệm duy nhất.

Câu b: Ta có

\(\left\{\begin{matrix} y = -\dfrac{1}{2}x+ 3 \, (d) & & \\ y = -\dfrac{1}{2}x + 1 \, (d') & & \end{matrix}\right.\)

Ta có \(a = -\dfrac{1}{2},b = 3 \) và \(a' = -\dfrac{1}{2}, b' = 1\) nên \(a = a', b ≠ b'\).

 Do đó hai đường thẳng \( (d)\) và \((d')\) song song nên hệ phương trình đã cho  vô nghiệm.

Câu c: Ta có

\(\left\{\begin{matrix} 2y = -3x & & \\ 3y = 2x & & \end{matrix}\right.\)⇔ \(\left\{\begin{matrix} y = -\dfrac{3}{2}x \, (d) & & \\ y = \dfrac{2}{3}x\, (d') & & \end{matrix}\right.\)

Ta có \(a = -\dfrac{3}{2}, a' = \dfrac{2}{3}\) nên \(a ≠ a'\)

Do đó hai đường thẳng \( (d)\) và \((d')\) cắt nhau nên hệ phương trình đã cho  có một nghiệm duy nhất.

Câu d: Ta có

\(\left\{\begin{matrix} 3x - y = 3 & & \\ x - \dfrac{1}{3}y = 1 & & \end{matrix}\right.\) ⇔\(\left\{\begin{matrix} y = 3x - 3 & & \\ \dfrac{1}{3}y = x - 1 & & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} y = 3x - 3\, (d) & & \\ y = 3x - 3 \, (d')& & \end{matrix}\right.\)

Ta có \(a = 3,\ b = -3 \)  và  \(a' = 3,\  b' = -3\) nên \(a = a',\  b = b'\).

 Do đó hai đường thẳng \( (d)\) và \((d')\) trùng nhau nên hệ phương trình đã cho  có vô số nghiệm.

Đoán nhận số nghiệm của hệ phương trình sau bằng hình học:

a) \(\left\{\begin{matrix} 2x-y=1\\ x-2y=-1 \end{matrix}\right.\)

b) \(\left\{\begin{matrix} 2x+y=4\\ -x+y=1 \end{matrix}\right.\)

Phương pháp giải

Ta biến đổi các hệ phương trình đã cho về dạng \(\left\{ \begin{array}{l}y = ax + b\\y = a'x + b'\end{array} \right.\)  

Gọi đường thẳng \((d):y=ax+b \) và đường thẳng \((d'): y=a'x+b' \). 

• Vẽ đường thẳng \((d)\) và \((d')\) biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình trên cùng một hệ tọa độ.
• Tìm giao điểm.
• Thử lại tọa độ giao điểm đó vào hệ hai phương trình ban đầu. Nếu thỏa mãn thì là nghiệm của hệ.

Hướng dẫn giải

Câu a

\(\left\{\begin{matrix} 2x-y=1\\ x-2y=-1 \end{matrix}\right.\)

Nhận thấy nghiệm chung của 2 đường thẳng đó là \(A(1;1)\)

Thử lại tọa độ điểm A bằng phương pháp đại số, ta thấy cả hai đường thẳng đề đi qua A

Câu b

\(\left\{\begin{matrix} 2x+y=4\\ -x+y=1 \end{matrix}\right.\)

Nhận thấy nghiệm chung của 2 đường thẳng đó là \(A(1;2)\)

Thử lại tọa độ điểm A bằng phương pháp đại số, ta thấy cả hai đường thẳng đề đi qua A

Đố: Bạn Nga nhận xét: Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn vô nghiệm thì luôn tương đương với nhau. Bạn Phương khẳng định: Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cùng có vô số nghiệm thì cũng luôn tương đương với nhau.

Theo em, các ý kiến đó đúng hay sai? Vì sao? (có thể cho một ví dụ hoặc minh họa bằng đồ thị)

Phương pháp giải

Sử dụng định nghĩa: hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

Hai phương trình vô nghiệm cũng được gọi là tương đương

Hướng dẫn giải

Bạn Nga đã nhận xét đúng vì hai hệ phương trình cùng vô nghiệm có nghĩa là chúng cùng có tập nghiệm bằng rỗng

Bạn Phương nhân xét sai. Chẳng hạn, hai hệ phương trình:

\((I)\) \(\left\{\begin{matrix} y = x & & \\ y = x & & \end{matrix}\right.\) và  \((II)\) \(\left\{\begin{matrix} y = -x & & \\ y = -x & & \end{matrix}\right.\)

Hệ (I) và hệ (II) đều có vô số nghiệm nhưng tập nghiệm của hệ \((I)\) được biểu diễn bởi đường thẳng \(y = x\), còn tập nghiệm của phương trình \((II)\) được biểu diễn bởi đường thẳng \(y = -x\). Hai đường thẳng này là khác nhau nên hai hệ đang xét không tương đương (vì không có cùng tập nghiệm).

Cho hai phương trình \(2x + y = 4\) và \(3x + 2y = 5\)

a) Tìm nghiệm tổng quát của mỗi phương trình trên.

b) Vẽ các đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình trong mỗi một hệ trục tọa độ, rồi xác định nghiệm chung của chúng.

Phương pháp giải

a) Từ phương trình \(ax+by=c\)  \((\) với \(b \ne 0)\) rút biến \(y\) theo biến \(x\), ta được: \(y=-\dfrac{a}{b}x+\dfrac{c}{b}\). Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình trên là:

\(\left\{ \matrix{x \in R \hfill \cr y =-\dfrac{a}{b}x+\dfrac{c}{b} \hfill \cr} \right.\) 

b) Vẽ hai đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình đã cho trên cùng một hệ trục tọa độ.

Xác định giao điểm. Thử lại tọa độ vào hai phương trình, nếu thỏa mãn thì tọa độ đó là nghiệm chung của hệ hai phương trình.

Hướng dẫn giải

Câu a

\(2x+y=4\Leftrightarrow y=-2x+4\) 

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình này là:

\(\left\{\begin{matrix} x\epsilon \mathbb{R}\\ y=-2x+4 \end{matrix}\right.\)

Phương trình này đi qua \(A(0;4),B(1;2)\)

\(3x + 2y = 5\Leftrightarrow y=-\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}\)

Phương trình này đi qua \(C\left ( 0;\frac{5}{2} \right ),D(-1;4)\)

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình này là:

\(\left\{\begin{matrix} x\epsilon \mathbb{R}\\ y=-\frac{3}{2}x+\frac{5}{2} \end{matrix}\right.\)

Câu b

Đồ thị hai phương trình này trên trục tọa độ:

Nhận thấy rằng giao điểm của chúng là điểm \(E(3;-2)\)

Thử lại bằng đại số, thấy E đều thuộc hai đồ thị

Cho các hệ phương trình sau:

a) \(\left\{\begin{matrix} x=2\\ 2x-y=3 \end{matrix}\right.\)

b) \(\left\{\begin{matrix} x+3y=2\\ 2y=4 \end{matrix}\right.\)

Trước hết, hãy đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình trên (giải thích rõ lí do). Sau đó, tìm tập nghiệm của các hệ đã cho bằng cách vẽ hình

Phương pháp giải

• Trong mỗi hệ phương trình, ta biến đổi phương trình có dạng \(ax+by=c\)  với \(b \ne 0)\) bằng cách rút biến \(y\) theo biến \(x\), ta được: \(y=-\dfrac{a}{b}x+\dfrac{c}{b}\).
• Vẽ các đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình trong hệ trên cùng một hệ trục tọa độ.
• Xác định tọa độ giao điểm. Thay tọa độ vào hệ ban đầu. Nếu thỏa mãn thì tọa độ đó là nghiệm của hệ đã cho.

Hướng dẫn giải

Câu a

  \(\Leftrightarrow\)

Hệ có nghiệm duy nhất vì một đồ thị là đường thẳng \(x = 2\) song song với trục tung, còn một đồ thị là đường thẳng \(y = 2x - 3\) cắt hai trục tọa độ

Hình vẽ cụ thể:

Điểm \(A(2;1)\) là giao của hai đồ thị, và đây cũng là nghiệm của hệ trên.

Thử lại, ta đều thấy thỏa hệ 2 phương trình

Câu b

 \(\Leftrightarrow\)\(\Leftrightarrow\)

Hệ có nghiệm duy nhất vì một đồ thị là đường thẳng y =  cắt hai trục tọa độ, còn một đồ thị là đường thẳng \(y = 2\) song song với trục hoành

Hình vẽ cụ thể:

Điểm \(A(-4;2)\) là giao của hai đồ thị, và đây cũng là nghiệm của hệ trên.

Thử lại, ta đều thấy thỏa hệ 2 phương trình

Đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau, giải thích vì sao:

a) \(\left\{\begin{matrix} x + y = 2 & & \\ 3x + 3y = 2 & & \end{matrix}\right.\)

b) \(\left\{\begin{matrix} 3x -2 y = 1 & & \\ -6x + 4y = 0 & & \end{matrix}\right.\)

Phương pháp giải

Đưa hệ phương trình đã cho về dạng 

\(\left\{ \begin{array}{l}y = ax + b\,\left( d \right)\\y = a'x + b'\left( {d'} \right)\end{array} \right.\)

Ta so sánh các hệ số \(a,\ b\) và \(a',\ b'\).

Nếu \(a=a',\ b \ne b'\) thì \(d\) song song với \(d' \Rightarrow \)  hệ vô nghiệm.

Hướng dẫn giải

Câu a

 \(\Leftrightarrow\)  \(\Leftrightarrow\)

Ta có:

\(a = a'=-1, b = 2\neq b' = \frac{2}{3}\)

Vậy hai đường thẳng song song nhau (tức là không có giao điểm chung nên hệ vô nghiệm)

Câu b

 \(\Leftrightarrow\)\(\Leftrightarrow\)

Ta có:

\(a = a'=\frac{3}{2}, b = -\frac{1}{2}\neq b' =0\)

Vậy hai đường thẳng song song nhau (tức là không có giao điểm chung nên hệ vô nghiệm)

Đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau, giải thích vì sao:

a) \(\left\{\begin{matrix} 4x - 4y = 2 & & \\ -2x + 2y = -1 & & \end{matrix}\right.\)

b) \(\left\{\begin{matrix} \frac{1}{3}x - y = \frac{2}{3} & & \\ x -3y = 2 & & \end{matrix}\right.\)

Phương pháp giải

Đưa hệ phương trình đã cho về dạng 

\(\left\{ \begin{array}{l}y = ax + b\,\left( d \right)\\y = a'x + b'\left( {d'} \right)\end{array} \right.\)

Ta so sánh các hệ số \(a,\ b\) và \(a',\ b'\). 

Nếu \(a=a',\ b=b'\) thì \(d\) trùng với \(d' \Rightarrow \) hệ có vô số nghiệm.

Hướng dẫn giải

Câu a

 \(\Leftrightarrow\)\(\Leftrightarrow\)

Ta có:

\(a = a'=1, b = b'=\frac{-1}{2}\)

Vậy hai đường thẳng trùng nhau (tức là có vô số điểm chung hay hệ vô số nghiệm)

Câu b

  \(\Leftrightarrow\) \(\Leftrightarrow\)

\(a = a'=\frac{1}{3}, b = b'=\frac{-2}{3}\)

Vậy hai đường thẳng trùng nhau (tức là có vô số điểm chung hay hệ vô số nghiệm)

Nếu tìm thấy hai nghiệm phân biệt của một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (nghĩa là hai nghiệm được biểu diễn bởi hai điểm phân biệt) thì ta có thể nói gì về số nghiệm của hệ phương trình đó? Vì sao?

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất: Qua hai điểm phân biệt vẽ được một và chỉ một đường thẳng.

Hướng dẫn giải

Giả sử hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: \(\left\{\begin{matrix} ax +by = c \ (d) & & \\ a'x + b'y = c' \ (d') & & \end{matrix}\right.\)

có hai nghiệm phân biệt. Khi đó \((d)\) và \((d')\) giao nhau tại hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\).

Do đó \(A,\ B\) nằm trên đường thẳng \(d\).

Cũng có \(A,\ B\) cùng nằm trên đường thẳng \(d'\).

Vì qua hai điểm phân biệt ta luôn vẽ được một và chỉ một đường thẳng nên \(d\) và \(d'\) trùng nhau. Tức là hệ trên có vô số nghiệm.