Giải bài tập SGK Toán 9 Bài 3: Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương

Áp dụng quy tắc khai phương một tích, hãy tính:

a) \(\sqrt{0,09.64}\)

b) \(\sqrt{2^{4}.(-7)^{2}}\)

c) \(\sqrt{12,1.360}\)

d) \(\sqrt{2^{3}.3^{4}}\)

Phương pháp giải

Sử dụng các công thức

- \(\sqrt{a^2}=\left|a \right|\).

• Nếu \(a \ge 0\)  thì \(\left|a \right| = a\).
• Nếu \(a  < 0\)  thì \(\left| a \right| =-a\)

- \(\sqrt{a.b}=\sqrt{a}.\sqrt{b}\), với \(a ,\ b \ge 0\).

- \((a^n)^m=a^{m.n}\),    với \(m ,\ n \in \mathbb{Z}\).

Hướng dẫn giải

Câu a: \(\sqrt{0,09.64}=\sqrt{(0,3)^2.8^2}=\sqrt{(0,3)^2}.\sqrt{8^2}=0,3.8=2,4\)

Câu b: \(\sqrt{2^{4}.(-7)^{2}}=\sqrt{4^2}.\sqrt{(-7)^2}=4.7=28\)

Câu c: \(\sqrt{12,1.360}=\sqrt{121.36}=\sqrt{11^2.6^2}=\sqrt{11^2}.\sqrt{6^2}=11.6=66\)

Câu d: \(\sqrt{2^{3}.3^{4}}=\sqrt{2.2^2.(3^2)^2}=\sqrt{2}.\sqrt{2^2}.\sqrt{9^2}=\sqrt{2}.9.2=18\sqrt{2}\)

Áp dụng quy tắc nhân các căn bậc hai, hãy tính

a) \(\sqrt{7}.\sqrt{63}\)

b) \(\sqrt{2,5}.\sqrt{30}.\sqrt{48}\)

c) \(\sqrt{0,4}.\sqrt{6,4}\)

d) \(\sqrt{2,7}.\sqrt{5}.\sqrt{1,5}\)

Phương pháp giải

Sử dụng các công thức

• \(\sqrt{a}.\sqrt{b}=\sqrt{a.b}\), với \(a ,\ b \ge 0\).
• Với mọi số \(a \ge 0\), luôn có \(\sqrt{a^2}=a\).
• Với mọi \(a ,\ b ,\ c\)  ta có:  \(a.b.c=(a.b).c=a.(b.c)=b.(a.c) \).

Hướng dẫn giải

Câu a: \(\sqrt{7}.\sqrt{63}=\sqrt{7.63}=\sqrt{7.7.9}=\sqrt{7^2.3^2}=7.3=21\)

Câu b: \(\sqrt{2,5}.\sqrt{30}.\sqrt{48}=\sqrt{2,5.30.48}=\sqrt{25.3.16.3}=\sqrt{5^2.3^2.4^2}=5.3.5=60\)

Câu c: \(\sqrt{0,4}.\sqrt{6,4}=\sqrt{0,4.6,4}=\sqrt{0,04.64}=\sqrt{(0,2)^2.8^2}=8.0,2=1,6\)

Câu d: \(\sqrt{2,7}.\sqrt{5}.\sqrt{1,5}=\sqrt{2,7.5.1,5}=\sqrt{27.5.0,15}=\sqrt{9.3.3.0,25}\)

\(=9.0,5=4,5\)

Rút gọn các biểu thức sau

a) \(\sqrt{0,36a^{2}}\) với \(a <0\)

b) \(\sqrt{a^4(3-a)^2}\) với \(a\geq 3\)

c) \(\sqrt{27.48(1 - a)^{2}}\) với \(a > 1\)

d) \(\frac{1}{a - b}\).\(\sqrt{a^{4}.(a - b)^{2}}\) với \(a > b\)

Phương pháp giải

Sử dụng các công thức

• \(\sqrt{a.b}=\sqrt{a}.\sqrt{b}\),   với \(a  ,\ b \ge 0\).
• \(\sqrt{a^2}=a\) ,  nếu \(a \ge 0\).
• \(\sqrt{a^2}=-a\) ,   nếu \(a <0\).

Hướng dẫn giải

Câu a: \(\sqrt{0,36a^{2}}=\sqrt{(0,6)^2.a^2}=0,6|a|\)

Vì \(a <0\) nên \(|a|=-a\)

Vậy \(\sqrt{0,36a^{2}}=-0,6a\)

Câu b: \(\sqrt{a^4(3-a)^2}=a^2|3-a|\)

Vì \(a\geq 3\) nên \(|3-a|=a-3\)

Vậy \(\sqrt{a^4(3-a)^2}=a^2(a-3)\)

Câu c: \(\sqrt{27.48(1 - a)^{2}}=\sqrt{3^2.3.3.4^2.(1-a)^2}=9.4.|1-a|=36.|1-a|\)

Vì \(a > 1\) nên \(|1-a|=a-1\)

Vậy \(\sqrt{27.48(1 - a)^{2}}=36(a-1)\)

Câu d: Do \(a > b\) nên \(a-b> 0\)

\(\frac{1}{a – b}\sqrt{a^{4}.(a – b)^{2}}=\frac{a^2.|a-b|}{a-b}=\frac{a^2.(a-b)}{a-b}=a^2\)

Rút gọn các biểu thức sau

a) \(\sqrt{\frac{2a}{3}}.\sqrt{\frac{3a}{8}}\) với \(a\geq 0\)

b) \(\sqrt{13a}.\sqrt{\frac{52}{a}}\) với \(a > 0\)

c) \(\sqrt{5a}.\sqrt{45a}- 3a\)  với \(a\geq 0\)

d) \((3 - a)^{2}- \sqrt{0,2}.\sqrt{180a^{2}}\)

Phương pháp giải

Sử dụng các công thức sau 

• \(\sqrt{a}.\sqrt{b}=\sqrt{a.b}\),   với \(a ,\ b \ge 0\).
• Với mọi số \(a \ge 0\), luôn có \(\sqrt{a^2}=a\).
• \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2.\)

Hướng dẫn giải

Câu a: \(\sqrt{\frac{2a}{3}}.\sqrt{\frac{3a}{8}}=\sqrt{\frac{2a.3a}{3.8}}=\sqrt{\frac{a^2}{4}}=\frac{a}{2}\) (vì \(a\geq 0\))

Câu b: \(\sqrt{13a}.\sqrt{\frac{52}{a}}=\sqrt{\frac{13.52a}{a}}=\sqrt{13.13.4}=13.2=26\) (vì \(a>0\))

Câu c: Do \(a\geq 0\) nên bài toán luôn được xác định có nghĩa.

\(\sqrt{5a}.\sqrt{45a}- 3a=\sqrt{5.5.9.a^2}-3a=15a-3a=12a\)

Câu d: \((3 - a)^{2}- \sqrt{0,2}.\sqrt{180a^{2}}\)

\((3-a)^2-\sqrt{2.18.a^2}=(3-a)^2-6|a|=a^2-6a-|6a|+9\)

TH1:\(a\geq 0\Rightarrow |a|=a\Rightarrow\) \((3 - a)^{2}- \sqrt{0,2}.\sqrt{180a^{2}}=a^2-12a+9\)

TH2: \(a<0\Rightarrow |a|=-a\Rightarrow\)\((3 - a)^{2}- \sqrt{0,2}.\sqrt{180a^{2}}=a^2+9\)

Khai phương tích 12.30.40 được

(A) 1200

(B) 120

(C) 12

(D) 240

Hãy chọn kết quả đúng

Phương pháp giải

Sử dụng các công thức sau

• \(\sqrt{a.b}=\sqrt{a}.\sqrt{b}\) ,   với \(a ,\ b \ge 0\).
• Nếu \(a \ge 0 \) thì \(\sqrt{a^2}=a\). Nếu \(a < 0 \) thì \(\sqrt{a^2}=-a\).
• Với mọi \(a,\ b,\ c\)   ta có: \(a.b.c=(a.b).c=a.(b.c)=b.(a.c)\).

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\sqrt{12.30.40}=\sqrt{(3.4).(3.10).(4.10)}\)

\(=\sqrt{(3.3).(4.4).(10.10)}\)

\(=\sqrt{3^2.4^2.10^2}\)

\(=\sqrt{3^2}.\sqrt{4^2}.\sqrt{10^2}\)

\(=3.4.10=120\).

Vậy đáp án đúng là \((B). 120\)

Biến đổi các biểu thức dưới dấu căn thành dạng tích rồi tính:

a) \(\sqrt{13^{2}- 12^{2}}\)

b) \(\sqrt{17^{2}- 8^{2}}\)

c) \(\sqrt{117^{2} - 108^{2}}\)

d) \(\sqrt{313^{2} - 312^{2}}\)

Phương pháp giải

Sử dụng các công thức sau

• \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\).
• \(\sqrt{a.b}=\sqrt{a}.\sqrt{b}\),   với \(a ,\ b \ge 0\).
• \(\sqrt{a^2}=|a|\).
• Nếu \(a \ge 0\)  thì \(|a|=a\)

Nếu \(a <0\)  thì \(|a|=-a.\)

Hướng dẫn giải

Câu a: \(\sqrt{13^{2}- 12^{2}}=\sqrt{(13+12)(13-12)}=\sqrt{25}=5\)

Câu b: \(\sqrt{17^{2}- 8^{2}}=\sqrt{(17+8)(17-8)}=\sqrt{25.9}=5.3=15\)

Câu c: \(\sqrt{117^{2} - 108^{2}}=\sqrt{(117-108)(117+108)}=\sqrt{9.225}=3.15=45\)

Câu d: \(\sqrt{313^{2} - 312^{2}}=\sqrt{(313-312)(313+312)}=\sqrt{625}=25\)

Chứng minh

a) \((2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 1\)

b) \((\sqrt{2006} - \sqrt{2005})\) và \((\sqrt{2006} + \sqrt{2005})\) là hai số nghịch đảo của nhau

Phương pháp giải

Sử dụng các công thức sau

• \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\).
• \((\sqrt{a})^2=a\),   với \(a \ge 0\).
• Muốn chứng minh hai số là nghịch đảo của nhau ta chứng minh tích của chúng bằng \(1\). 

Hướng dẫn giải

Câu a: \((2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})=2^2-(\sqrt{3})^2=4-3=1\)

Câu b: Ta tìm tích của hai số \((\sqrt{2006} - \sqrt{2005})\) và \((\sqrt{2006} + \sqrt{2005})\)

Ta có: \((\sqrt{2006} + \sqrt{2005})(\sqrt{2006} - \sqrt{2005})=(\sqrt{2006})^2-(\sqrt{2005})^2\)

\(=2006-2005=1\)

Vậy hai số trên là nghịch đảo của nhau

Rút gọn và tìm giá trị (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 3) của các căn thức sau

a) \(\sqrt{4(1 + 6x + 9x^{2})^{2}}\) tại \(x = -\sqrt{2}\)

b) \(\sqrt{9a^{2}(b^{2} + 4 - 4b)}\) tại \(a = -2, b = -\sqrt{3}\)

Phương pháp giải

Sử dụng các công thức sau

• \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\).
• \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\).
• \( \sqrt{a.b}=\sqrt{a}.\sqrt{b}\),   với \(a ,\ b \ge 0\).
• \(\sqrt{a^2}=\left|a\right|\).
• Nếu \(a \ge 0\)   thì \(\left|a\right|=a\). Nếu \(a<0\)   thì \(\left| a\right|=-a\).
• \(a^m. b^m=(ab)^m\),    với \(m ,\ n \in \mathbb{Z}\).

Hướng dẫn giải

Câu a: Vì \(x = -\sqrt{2}\) nên có giá trị âm. Vậy \(|x|=-x\)

\(\sqrt{4(1 + 6x + 9x^{2})^{2}}=2\sqrt{(3x+1)^4}=2.(3x+1)^2\)

\(=18x^2+12x+2\)

Thế \(x = -\sqrt{2}\) vào biểu thức, ta được:

\(=18.(\sqrt{-2}^2)-12.\sqrt{2}+2\approx 21,029\)

Câu b: Vì \(a = -2, b = -\sqrt{3}\)có giá trị âm nên \(|a|=-a;|b|=-b\)

\(\sqrt{9a^{2}(b^{2} + 4 – 4b)}=3|a||b-2|\)

Thế \(a = -2, b = -\sqrt{3}\) vào biểu thức, ta được:

\(=3|.-2|.|-\sqrt{3}-2|\approx 22,392\)

Tìm x biết

a) \(\sqrt{16x}= 8\)

b) \(\sqrt{4x} = \sqrt{5}\)

c) \(\sqrt{9(x - 1)}= 21\)

d) \(\sqrt{4(1 - x)^{2}} - 6 = 0\)

Phương pháp giải

- Đặt điều kiện để biểu thức có nghĩa: \(\sqrt A \) có nghĩa khi và chỉ khi \(A \ge 0\)

- Bình phương hai vế rồi giải bài toán tìm x.

- Ta sử dụng các cách làm sau

• \(\sqrt A  = B\left( {B \ge 0} \right) \Leftrightarrow A = {B^2}\)
• \(\sqrt A  = \sqrt B \left( {A \ge 0;B \ge 0} \right) \Leftrightarrow A = B\)

Hướng dẫn giải

Câu a: Điều kiện: \(x\geq 0\)

Khi đó: \(\sqrt{16x}= 8\Leftrightarrow 16x=64\Leftrightarrow x=\frac{64}{16}=4\)

Câu b: Điều kiện: \(x\geq 0\)

Khi đó: \(\sqrt{4x} = \sqrt{5}\Leftrightarrow 4x=5\Leftrightarrow x=\frac{5}{4}\)

Câu c: Điều kiện: \(x\geq 1\)

Khi đó: \(\sqrt{9(x - 1)}= 21\Leftrightarrow 9(x-1)=441\Leftrightarrow x-1=\frac{441}{9}=49\Leftrightarrow x=50\)

Câu d: Vì \((1-x)^2\geq 0\forall x\epsilon \mathbb{R}\) nên bài toán không cần điều kiện.

\(\sqrt{4(1 - x)^{2}} - 6 = 0\Leftrightarrow 4(1-x)^2=36\Leftrightarrow (1-x)^2=9\)

\(1-x=3\) hoặc \(1-x=-3\)

Vậy \(x=-2\) hoặc \(x=4\)

a) So sánh \(\sqrt{25 + 9}\) và \(\sqrt{25} + \sqrt{9}\)

b) Với \(a > 0\) và \(b > 0\), chứng minh \(\sqrt{a + b}< \sqrt{a} + \sqrt{b}\)

Phương pháp giải

• Sử dụng định lí so sánh hai căn bậc hai: \(a < b \Leftrightarrow \sqrt{a} < \sqrt{b}\),   với \(a,\ b \ge 0\).
• Sử dụng các công thức: với \(a ,\ b \ge 0\) , ta có: \((\sqrt{a})^2=a\). 

 \(\sqrt{a}.\sqrt{b}=\sqrt{ab}\).

Hướng dẫn giải

Câu a: Ta có: \(\sqrt{25 + 9}=\sqrt{34}\)

\(\sqrt{25} + \sqrt{9}=5+3=8=\sqrt{64}\)

Vậy: \(\sqrt{25 + 9}<\sqrt{25} + \sqrt{9}\)

Câu b: Với \(a>0,b>0\), ta có

\(+)\, (\sqrt{a + b})^{2} = a + b\).

\(+) \,(\sqrt{a} + \sqrt{b})^{2}= (\sqrt{a})^2+ 2\sqrt a .\sqrt b +(\sqrt{b})^2\)

 \( = a +2\sqrt{ab}  + b\)

 \(=(a+b) +2\sqrt{ab}\). 

Vì \(a > 0,\ b > 0\) nên \(\sqrt{ab} > 0 \Leftrightarrow 2\sqrt{ab} >0\)

\(\Leftrightarrow (a+b) +2\sqrt{ab} > a+b\)

\(\Leftrightarrow (\sqrt{a}+\sqrt{ b})^2 > (\sqrt{a+b})^2\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{a+b}\) (đpcm)

So sánh

a) 4 và \(2\sqrt{3}\)

b) \(-\sqrt{5}\) và -2

Phương pháp giải

• Sử dụng các công thức sau:  \((\sqrt a)^2=a\),   với \(a \ge 0\).
• Sử dụng định lí so sánh hai căn bậc hai số học: \(a< b \Leftrightarrow \sqrt a < \sqrt b\),  với \(a,\ b \ge 0\).
• Sử dụng tính chất của bất đẳng thức: \(a< b \Leftrightarrow a.c > b.c\),   với \( c<0\).

Hướng dẫn giải

Câu a: Ta có: \(4=\sqrt{16}\)

\(2\sqrt{3}=\sqrt{2^2.3}=\sqrt{12}\)

Nên: \(16>12\Leftrightarrow \sqrt{16}>\sqrt{12}\)

Vậy: \(4>2\sqrt{3}\)

Câu b: Số càng lớn khi biểu thức trong căn càng lớn. Nhưng đối với số âm: số âm càng bé khi giá trị tuyệt đối càng lớn!

\(2=\sqrt{4}\)

\(\Rightarrow \sqrt{5}>\sqrt{4}\Rightarrow -\sqrt{5}<-\sqrt{4}\)

Vậy \(-\sqrt{5} < -2\)