Toán 10 Chương 3 Bài 2: Phương trình đường tròn

Để giúp các em học sinh lớp 10 học hiệu quả môn Toán, đội ngũ eLib đã biên soạn và tổng hợp nội dung bài Phương trình đường tròn. Tài liệu gồm kiến thức cần nhớ và các dạng Toán về phương trình đường tròn, giúp các em học tập và củng cố thật tốt kiến thức tốt hơn. Mời các em cùng tham khảo.

Toán 10 Chương 3 Bài 2: Phương trình đường tròn

1.Tóm tắt lý thuyết

1.1. Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước

Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) tâm I(a;b) bán kính R.

Ta có \(M\left( {x;y} \right) \subset \left( C \right) \Leftrightarrow IM = R\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - a} \right)}^2} + {{\left( {y - b} \right)}^2}} = R\\ \Leftrightarrow {\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2} \end{array}\)

Vì vậy, phương trình \({{{\left( {x - a} \right)}^2} + {{\left( {y - b} \right)}^2} = {R^2}}\) được gọi là phương trình đường tròn tâm I(a;b) bán kính R

Chú ý: Phương trình đường tròn có tâm là gốc tọa độ O và có bán kính R là: 

\(x^2+x^2=R^2\)

1.2. Nhận xét

Phương trình đường tròn \({{{\left( {x - a} \right)}^2} + {{\left( {y - b} \right)}^2} = {R^2}}\) có thể viết lại dưới dạng \({x^2} + {y^2} - 2{\rm{ax}} - 2by + c = 0\) trong đó \(c=a^2+b^2-R^2\).

Ngược lại, phương trình \({x^2} + {y^2} - 2{\rm{ax}} - 2by + c = 0\) là phương trình của đường tròn (C) khi và chỉ khi \({a^2} + {b^2} - c > 0\). Khi đó đường tròn (C) có tâm I(a;b) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} \)

1.3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Cho điểm \(M_0\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) nằm trên đường tròn tâm I(a;b). Gọi \(\Delta\) là tiếp tuyến của (C) tại \(M_0\)

Ta có \(M_0\) thuộc \(\Delta\) và vectơ \(\overrightarrow {I{M_0}} = \left( {{x_0} - a;{y_0} - b} \right)\) là vectơ pháp tuyến của \(\Delta\). Do đó, \(\Delta\) có phương trình là 

\(\left( {{x_0} - a} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + \left( {{y_0} - b} \right)\left( {y - {y_0}} \right) = 0\)

Đây chính là phương trình tiếp tuyến của đường tròn \({{{\left( {x - a} \right)}^2} + {{\left( {y - b} \right)}^2} = {R^2}}\) tại điểm \(M_0\) trên đường tròn.

2. Bài tập minh họa

Câu 1: Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau:

a) \({x^2} + {y^2} + 8{\rm{x}} - 6y + 16 = 0\)

b) \(4{x^2} + 4{y^2} + 5{\rm{x}} - 16y + 10 = 0\)

Hướng dẫn giải

a)

\(\begin{array}{l} {x^2} + {y^2} + 8{\rm{x}} - 6y + 16 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 8{\rm{x}} + 16 + {y^2} - 6y + 9 = 9\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = {3^2} \end{array}\)

Nên đường tròn có tâm I(-4;3) và bán kính R = 3.

b)

 \(\begin{array}{l} 4{x^2} + 4{y^2} + 5{\rm{x}} - 16y + 10 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + \frac{{5{\rm{x}}}}{4} - 4y + \frac{5}{2} = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2.x.\frac{5}{8} + \frac{{25}}{{64}} + {y^2} - 4y + 4 = \frac{{121}}{{64}}\\ \Leftrightarrow {\left( {x + \frac{5}{8}} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {\left( {\frac{{11}}{8}} \right)^2} \end{array}\)

Nên đường tròn có tâm \(I\left( {\frac{{ - 5}}{8};2} \right)\) và bán kính \(R = \frac{{11}}{8}\)

Câu 2: Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm: A(1;2), B(3;4) C(1;6)

Hướng dẫn giải

Tâm I của đường tròn này là giao điểm của đường trung trực của AB và BC.

Phương trình đường trung trực  AB: x + y - 5 = 0

Phương trình đường trung trực BC: x - y + 3 = 0

Nên tâm I (1;4) và R = 2

Vậy phương trình đường tròn: (C): \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 4\)

3. Luyện tập

3.1. Bài tập tự luận

Câu 1: Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau:

a) \(x^2+ y^2- 4x -4y - 1 = 0\)

b) \(4x^2+ 9y^2+ 4x - 12y - 11 = 0\)

c) \(x^2 + y^2 - 6x + 4y - 3 = 0\)

Câu 2: Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:

a) (C) có tâm I(-1; 4) và đi qua M(1; -2);

b) (C) có tâm I(2; -1) và tiếp xúc với đường  thẳng \(d : x - y + 3 = 0\)

c) (C) có đường kính AB với A(2; 3) và B(6; 6)

Câu 3: Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm: A(1; 2); B(3; 4); C(4; -3)

3.2. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho đường tròn (C) có phương trình x2+y2+2x-8y=0. Khi đó đường tròn có tâm I và bán kính R với

A. I(2;-8), R=2√2

B. I(1;-4), R=3

C.  I(-1;4), R=3

D. I(1;-4), R=2√2

Câu 2: Phương trình đường tròn đi qua ba điểm A(-1; 3), B(1; 4), C(3; 2) là:

A. \({x^2} + {y^2} - \frac{5}{3}x - \frac{{11}}{3}y + \frac{2}{3} = 0\)

B. \({x^2} + {y^2} - \frac{5}{2}x - \frac{{11}}{3}y - \frac{2}{3} = 0\)

C. \({x^2} + {y^2} - \frac{5}{6}x - \frac{{11}}{6}y - \frac{2}{3} = 0\)

D. \({x^2} + {y^2} - \frac{5}{6}x - \frac{{11}}{6}y + \frac{2}{3} = 0\)

Câu 3: Cho đường tròn (C) có phương trình x2+y2-6x+4y-12=0. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm A(-1; 1) là:

A. – 4x + 3y – 7 = 0

B. 4x + 3y + 1= 0

C.  3x + 4y – 1 = 0

D. 3x – 4y + 7 = 0

Câu 4: Cho đường tròn (C) có tâm I(2; 5) và tiếp xúc với đường thẳng Δ: 3x – 4y – 6 = 0. Khi đó (C) có bán kính là:

A. R=2

B. R=2√2

C. R=3

D. R=4

Câu 5:  Đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng Δ: x + 2y – 6 = 0 và tiếp xúc với hai trục tọa độ. Khi đó bán kính của đường tròn là

A. R = 2 hoặc R = 4

B.  R = 2 hoặc R = 6

C. R = 3 hoặc R = 6

D.  R = 3 hoặc R = 4

4. Kết luận

Qua bài học này, các em cần nắm được những nội dung sau:

  • Phương pháp để lập phương trình của một đường tròn.
  • Làm được các dạng toán liên quan đến đường tròn.
Ngày:04/08/2020 Chia sẻ bởi:Denni Trần

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM