Toán 10 Chương 6 Bài 3: Công thức lượng giác

cos( a – b) = cosa.cosb + sina.sinb    

cos( a + b) = cosa.cosb – sina.sinb    

sin(a – b) = sina.cosb – cosa.sinb      

sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb     

\(\tan (a - b) = \frac{{\tan a - \tan b}}{{1 + \tan a.\tan b}}\)       

\(\tan (a + b) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a.\tan b}}\)      

sin2a = 2sina.cosa

cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1= 1 – 2sin2a 

\(\tan 2a = \frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}}\)

\(\begin{array}{l}
\cos a.\cos b = \frac{1}{2}{\rm{[}}c{\rm{os}}(a - b) + c{\rm{os}}(a + b){\rm{]}}\\
\sin a.\sin b = \frac{1}{2}{\rm{[}}c{\rm{os}}(a - b) - c{\rm{os}}(a + b){\rm{]}}\\
\sin a.\cos b = \frac{1}{2}{\rm{[}}\sin (a - b) + \sin (a + b){\rm{]}}
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
\cos u + \cos v = 2\cos \frac{{u + v}}{2}\cos \frac{{u - v}}{2}\\
\cos u + \cos v = 2\cos \frac{{u + v}}{2}\cos \frac{{u - v}}{2}\\
\sin u + \sin v = 2\sin \frac{{u + v}}{2}\cos \frac{{u - v}}{2}\\
\sin u - \sin v = 2\cos \frac{{u + v}}{2}\sin \frac{{u - v}}{2}
\end{array}\)

Câu 1: Hãy chứng minh công thức sin(a + b) = sina cosb + cosa sinb.

Hướng dẫn giải:

\(\eqalign{ & \sin (a + b) = \cos \left[ {{\pi \over 2} - (a + b)} \right] = \cos \left[ {({\pi \over 2} - a) - b)} \right] \cr & = \cos ({\pi \over 2} - a)cos\,b\, + sin({\pi \over 2} - a)\sin b \cr & = \sin \,a\,\cos b\, + \,\cos a\sin b \cr}\)

Câu 2: Từ các công thức cộng, hãy suy ra các công thức còn lại.

Hướng dẫn giải:

+) Từ : cos⁡(a - b)= cosa cosb + sina sinb

cos⁡(a + b) = cosa cosb - sina sinb

⇒ cos⁡(a - b) + cos⁡(a + b)= 2cosa cosb

⇒ cosa cosb = \({1 \over 2}\) [cos⁡(a - b) + cos⁡(a + b)]

+) Tương tự: cos⁡(a - b)- cos⁡(a + b) = 2sina sinb

⇒ sinasinb = \({1 \over 2}\) [cos⁡(a - b) - cos⁡(a + b) ]

+) Từ: sin⁡(a - b) = sina cosb - cosa sinb

sin⁡(a + b)= sina cosb + cosa sinb

⇒ sin⁡(a - b) + sin⁡ (a + b) = 2 sina cosb

⇒ sina cosb = \({1 \over 2}\) [sin⁡(a - b)+ sin⁡(a + b)]

Câu 3: Bằng cách đặt u = a – b, v = a + b, hãy biến đổi cosu + cosv, sinu + sinv thành tích.

Hướng dẫn giải

Ta đặt:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
u = a - b\\
v = a + b
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
u + v = 2a\\
u - v = - 2b
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \dfrac{{u + v}}{2}\\
b = \dfrac{{v - u}}{2}
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \cos u + \cos v = \cos \left( {a - b} \right) + \cos \left( {a + b} \right)\\
= \cos a\cos b + \sin a\sin b\\
+ \cos a\cos b - \sin a\sin b\\
= 2\cos a\cos b\\
= 2\cos \dfrac{{u + v}}{2}\cos \dfrac{{v - u}}{2}\\
= 2\cos \dfrac{{u + v}}{2}\cos \left( { - \dfrac{{u - v}}{2}} \right)\\
= 2\cos \dfrac{{u + v}}{2}\cos \dfrac{{u - v}}{2}\\
\Rightarrow \cos u + \cos v = 2\cos \dfrac{{u + v}}{2}\cos \dfrac{{u - v}}{2}\\
\sin u + \sin v = \sin \left( {a - b} \right) + \sin \left( {a + b} \right)\\
= \sin a\cos b - \sin b\cos a\\
+ \sin a\cos b + \sin b\cos a\\
= 2\sin a\cos b\\
= 2\sin \dfrac{{u + v}}{2}\cos \dfrac{{v - u}}{2}\\ 
= 2\sin \dfrac{{u + v}}{2}\cos \left( { - \dfrac{{u - v}}{2}} \right)\\
= 2\sin \dfrac{{u + v}}{2}\cos \dfrac{{u - v}}{2}
\end{array}\)

\( \Rightarrow \sin u + \sin v = 2\sin \dfrac{{u + v}}{2}\cos \dfrac{{u - v}}{2}\)

Câu 1: Cho cosα = 1/4, tính sin(α + π/3) - cos(α - π/6)

Câu 2: Cho sinα = 8/17, sinβ = 15/17 với 0 < α < π/2, 0 < β <π/2. Chứng minh rằng: α + β = π/2

Câu 1: Tính \(C = \frac{{3{{\tan }^2}\alpha  - \tan \alpha }}{{2 - 3{{\tan }^2}\alpha }}\), biết \(\tan \frac{\alpha }{2} = 2\)

A. -2

B. 14

C. 2

D. 34

Câu 2: Nếu sinx = 3cosx thì sinx.cosx bằng:

A. 3/10

B. 2/9

C. 1/4

D. 1/6

Câu 3: Cho \(\sin a = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\) . Tính \(\cos 2a\sin a\) 

A. \(\frac{{17\sqrt 5 }}{{27}}\)

B. \( - \frac{{\sqrt 5 }}{9}\)

C. \(\frac{{\sqrt 5 }}{{27}}\)

D. \( - \frac{{\sqrt 5 }}{{27}}\)

Câu 4: Nếu \(\cos \alpha  + \sin \alpha  = \sqrt 2 \,\,\,\left( {0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}} \right)\) thì \(\alpha \) bằng:

A. \(\frac{\pi }{6}\)

B. \(\frac{\pi }{3}\)

C. \(\frac{\pi }{4}\)

D. \(\frac{\pi }{8}\)

Câu 5: Cho \(\cos 2a = \frac{1}{4}\). Tính \(\sin 2a\cos a\)

A. \(\frac{{3\sqrt {10} }}{8}\)

B. \(\frac{{5\sqrt 6 }}{{16}}\)

C. \(\frac{{3\sqrt {10} }}{{16}}\)

D. \(\frac{{5\sqrt 6 }}{8}\)

Qua bài học này, các em cần nắm được những nội dung sau:

• Biết được các công thức lượng giác cộng, nhân đôi, tổng thành tích, tích thành tổng
• Áp dụng giải được các bài toán liên quan.