Toán 10 Chương 1 Bài 3: Tích của vectơ với một số

Tích của vectơ \(\vec{a}\) với số thực k là một vectơ, kí hiệu là \(k\vec{a}\), được xác định như sau:

• Nếu \(k\geq 0\) thì vectơ \(k\vec{a}\) cùng hướng với vectơ \(\vec{a}\).

• Nếu \(k<0\) thì vectơ \(k\vec{a}\) ngược hướng với vectơ \(\vec{a}\).

• Độ dài của vectơ \(k\vec{a}\) bằng \(|k|.|\vec{a}|\).

Với hai vectơ bất kì \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) và mọi số thực k, l ta có:

• \(k\left( {l\overrightarrow a } \right) = \left( {kl} \right)\overrightarrow a\)
• \(\left( {k + l} \right)\overrightarrow a = k\overrightarrow a + l\overrightarrow a \)
• \(k\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = k\overrightarrow a + k\overrightarrow b ;\,\,\,k\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right) = k\overrightarrow a - k\overrightarrow b \)
• \(k\overrightarrow a = \overrightarrow 0 \) khi và chỉ khi \(k = 0\) hoặc \(\vec{a} =\vec{0}\).

Vectơ \(\vec{b}\) cùng phương với vectơ \(\vec{a}\neq \vec{0}\) khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho \(\vec{b}=k\vec{a}\)

Ứng dụng vào ba điểm thẳng hàng:

Điều kiện cần và đủ để ba điểm A, B, C thẳng hàng là có số k sao cho \(\vec{AB}=k\vec{AC}\)

Dựa vào hình trên, ta có định lí sau:

Cho hai vectơ không cùng phương \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\). Khi đó mọi vectơ \(\vec{x}\) đều có thể hiển thị một cách duy nhất qua hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\), nghĩa là có cặp số duy nhất m và n sao cho:

\(\vec{x}=m\vec{a}+n\vec{b}\)

Câu 1: Cho tam giác OAB vuông cân với \(OA = OB = a\) . Tính độ dài của các vectơ  \(\overrightarrow {AO}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {AB} ;\) \(3\overrightarrow {OA}  - 2\overrightarrow {OB} \)

Câu 2: Chứng minh rằng với tứ giác ABCD bất kì, ta luôn có hệ thức: \(\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {DA} - \overrightarrow {DC} \) .

Câu 3: Cho tam giác ABC. M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \)

Câu 1: Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Khi đó khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(\overrightarrow {AM}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \)

B. \(\overrightarrow {AM}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \)

C. \(\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} \)

D. \(\overrightarrow {AM}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB}  - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \)

Câu 2: Cho tứ giác ABCD; X là trọng tâm của tam giác BCD, G là trọng tâm tứ giác ABCD. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GX}  = \overrightarrow 0 \)

B. \(\overrightarrow {GA}  +3 \overrightarrow {GX}  = \overrightarrow 0 \)

C. \(\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GX}  = \overrightarrow 0 \)

D. \(\overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GX}  = \overrightarrow 0 \)

Câu 3: Tam giác ABC có trọng tâm G, độ dài các cạnh BC, CA, AB lần lượt là a, b, c. Khi đó ABC là tam giác đều nếu có điều kiện nào sau đây?

A. \(a\overrightarrow {GA}  + b\overrightarrow {GB}  + c\overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \)

B. \(a\overrightarrow {GA}  + b\overrightarrow {GB}  - c\overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \)

C. \(a\overrightarrow {GA}  - b\overrightarrow {GB}  + c\overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \)

D. \( - a\overrightarrow {GA}  + b\overrightarrow {GB}  + c\overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \)

Câu 4: Tìm khẳng định sai:

A. Hai vectơ cùng phương với một vectơ thứ ba khác \(\vec{0}\) thì cùng phương

B. Hai vectơ cùng hướng với một vectơ thứ ba khác \(\vec{0}\) thì cùng phương

C. Ba vectơ \(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\) khác \(\vec{0}\) đôi một cùng phương thì ít nhất có hai vectơ cùng phương

D. Để \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) bằng nhau thì \(|\vec{a}|=|\vec{b}|\)

Câu 5: Cho vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) và các số thực m, n, k. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Từ đẳng thức \(m\vec {a} = n\vec {b} \) suy ra m = n

B. Từ đẳng thức \(k\vec {a} = k\vec {kb} \) luôn suy ra \(\vec a = \vec b \)

C. Từ đẳng thức \(k\vec {a} = k\vec {kb} \) luôn suy ra k = 0

D. Từ đẳng thức \(m\vec {a} = n\vec {b} \) và \(\vec a \ne \vec 0\) suy ra m = n

Câu 6: Cho ba điểm A, B, C phân biệt sao cho \(\overrightarrow {AB}  = k\overrightarrow {AC} \). Biết rằng B nằm giữa A và C. Giá trị k thỏa mãn điều kiện nào sau đây?

A. k < 0

B. k = 1

C.  0 < k < 1

D. k > 1

Qua bài học này, các em cần nắm được những nội dung sau:

• Định nghĩa tính chất tích của một vectơ với một số.
• Nhận biết hai vectơ cùng phương.
• Cách biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương.