Toán 8 Chương 2 Bài 6: Phép trừ các phân thức đại số

Hai phân thức được gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng \(0\).

Phân thức đối của phân thức \( \dfrac{A}{B}\) được kí hiệu là \( -\dfrac{A}{B}\)

Vậy \( -\dfrac{A}{B} =\dfrac{-A}{B}\) và \( -\dfrac{-A}{B}=\dfrac{A}{B}\)

Quy tắc: Muốn trừ phân thức \( \dfrac{A}{B}\) cho phân thức \( \dfrac{C}{D}\), ta cộng \( \dfrac{A}{B}\) với phân thức đối của \( \dfrac{C}{D}\)

Vậy: \( \dfrac{A}{B}-\dfrac{C}{D}=\dfrac{A}{B}+\left( { - \dfrac{C}{D}} \right)\).

Tìm phân thức đối của \(\dfrac{{1 - x}}{x}\).

Hướng dẫn giải

Phân thức đối của \(\dfrac{{1 - x}}{x}\) là \( - \dfrac{{1 - x}}{x} = \dfrac{{x - 1}}{x}\)

Làm tính trừ phân thức: \(\dfrac{{x + 3}}{{{x^2} - 1}} - \dfrac{{x + 1}}{{{x^2} - x}}\)

Hướng dẫn giải

\(\eqalign{
& {x^2} - 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) \cr
& {x^2} - x = x\left( {x - 1} \right) \cr
& \Rightarrow MTC = x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) \cr} \)

\(\eqalign{
& {{x + 3} \over {{x^2} - 1}} - {{x + 1} \over {{x^2} - x}} \cr
& = {{x + 3} \over {{x^2} - 1}} + \left( { - {{x + 1} \over {{x^2} - x}}} \right) \cr
& = {{x + 3} \over {{x^2} - 1}} + {{ - x - 1} \over {{x^2} - x}} \cr
& = {{x + 3} \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} + {{ - x - 1} \over {x\left( {x - 1} \right)}} \cr
& = {{x\left( {x + 3} \right)} \over {x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} + {{\left( { - x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \over {x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cr
& = {{{x^2} + 3x} \over {x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} + {{ - {x^2} - x - x - 1} \over {x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cr
& = {{{x^2} + 3x} \over {x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} + {{ - {x^2} - 2x - 1} \over {x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cr
& = {{{x^2} + 3x - {x^2} - 2x - 1} \over {x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cr
& = {{x - 1} \over {x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = {1 \over {x\left( {x + 1} \right)}} \cr} \)

Thực hiện phép tính: \(\dfrac{{x + 2}}{{x - 1}} - \dfrac{{x - 9}}{{1 - x}} - \dfrac{{x - 9}}{{1 - x}}\)

Hướng dẫn giải

\(\eqalign{
& {{x + 2} \over {x - 1}} - {{x - 9} \over {1 - x}} - {{x - 9} \over {1 - x}} \cr
& = {{x + 2} \over {x - 1}} - {{ - \left( {x - 9} \right)} \over {x - 1}} - {{ - \left( {x - 9} \right)} \over {x - 1}} \cr
& = {{x + 2} \over {x - 1}} + {{x - 9} \over {x - 1}} + {{x - 9} \over {x - 1}} \cr
& = {{x + 2 + x - 9 + x - 9} \over {x - 1}} \cr
& = {{3x - 16} \over {x - 1}} \cr} \)

Câu 1: Làm tính trừ phân thức

a) \(\displaystyle{{3x - 2} \over {2xy}} - {{7x - 4} \over {2xy}}\)

b) \(\displaystyle{{3x + 5} \over {4{x^3}y}} - {{5 - 15x} \over {4{x^3}y}}\)

c) \(\displaystyle{{4x + 7} \over {2x + 2}} - {{3x + 6} \over {2x + 2}}\)

d) \(\displaystyle{{9x + 5} \over {2\left( {x - 1} \right){{\left( {x + 3} \right)}^2}}} - {{5x - 7} \over {2\left( {x - 1} \right){{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\)

Câu 2: Rút gọn biểu thức :

a) \(\displaystyle{{3{x^2} + 5x + 1} \over {{x^3} - 1}} - {{1 - x} \over {{x^2} + x + 1}} - {3 \over {x - 1}}\)

b) \(\displaystyle{1 \over {{x^2} - x + 1}} + 1 - {{{x^2} + 2} \over {{x^3} + 1}}\)

c) \(\displaystyle{7 \over x} - {x \over {x + 6}} + {{36} \over {{x^2} + 6x}}\)

Câu 3: Nếu mua lẻ thì giá một bút bi là \(x\) đồng. Nhưng nếu mua từ \(10\) bút trở lên thì giá mỗi bút rẻ hơn \(100\) đồng. Cô Dung dùng \(180\; 000\) đồng để mua bút cho văn phòng.

Hãy biểu diễn qua \(x\) :

- Tổng số bút mua được khi mua lẻ ;

- Số bút mua được nếu mua cùng một lúc, biết rằng giá tiền một bút không quá \(1200\) đồng ;

- Số bút được lợi khi mua cùng một lúc so với khi mua lẻ.

Câu 4:

a) Chứng minh \(\displaystyle{1 \over x} - {1 \over {x + 1}} = {1 \over {x\left( {x + 1} \right)}}.\)

b) Đố. Đố em tính nhẩm được tổng sau :

\(\displaystyle{1 \over {x\left( {x + 1} \right)}} + {1 \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} \) \(\displaystyle+ {1 \over {\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}} + {1 \over {\left( {x + 3} \right)\left( {x + 4} \right)}} \) \(\displaystyle+ {1 \over {\left( {x + 4} \right)\left( {x + 5} \right)}} + {1 \over {x + 5}}\) 

Câu 1: Thực hiện phép trừ 

\(\displaystyle{{2x} \over {x - 1}} - {x \over {x - 1}} - {1 \over {x - 1}}\). Cách thực hiện nào sau đây là sai ?

A. \(\displaystyle{{2x} \over {x - 1}} - {x \over {x - 1}} - {1 \over {x - 1}} \) \(\displaystyle= \left( {{{2x} \over {x - 1}} - {x \over {x - 1}}} \right) - {1 \over {x - 1}} = ...;\)

B. \(\displaystyle{{2x} \over {x - 1}} - {x \over {x - 1}} - {1 \over {x - 1}} \) \(\displaystyle= {{2x} \over {x - 1}} - \left( {{x \over {x - 1}} - {1 \over {x - 1}}} \right) = ...;\)

C. \(\displaystyle{{2x} \over {x - 1}} - {x \over {x - 1}} - {1 \over {x - 1}} \) \(\displaystyle= {{2x} \over {x - 1}} - \left( {{x \over {x - 1}} + {1 \over {x - 1}}} \right) = ...;\)

D. \(\displaystyle{{2x} \over {x - 1}} - {x \over {x - 1}} - {1 \over {x - 1}} \) \(\displaystyle= {{2x} \over {x - 1}} + {{ - x} \over {x - 1}} + {{ - 1} \over {x - 1}} = ....\)

Câu 2: Kết quả nào sau đây là sai: 

A. \(\frac{4x^{2}y-5z}{3xy}+\frac{4x^{2}y-5z}{3xy}=\frac{4}{3}(x+y)\)

B. \(\frac{x+3}{x-y}+\frac{x}{y-x}-\frac{x-3}{x-y}=\frac{-x+6}{x-y}\)

C. \(\frac{3a^{2}-5ab}{a^{2}-b^{2}}+\frac{2a^{2}-4b^{2}}{b^{2}-a^{2}}+\frac{7ab-3b^{2}}{a^{2}-b^{2}}=-(a+b)\)

D. \(\frac{12}{x^{2}-4}+\frac{5}{2-x}+3x=\frac{3x^{2}-17x+2}{x^{2}-14}\)

Câu 3: Kết quả của phép tính \(\frac{xy}{x^{2}-y^{2}}-\frac{x^{2}}{y^{2}-x^{2}}\) là:

A. \(\frac{x}{x-y}\)

B. \(\frac{x}{x+y}\)

C. \(\frac{y}{x-y}\)

D. \(\frac{y}{x+y}\)

Câu 4: Nếu lấy 1 trừ cho nghịch đảo của (1-x) ta được số nghịch đảo của (1-x), vậy x bằng:

A. -2

B. -1

C. \(\frac{1}{2}\)

D. 2

Câu 5: Biểu thức \(\frac{P+Q}{P-Q}-\frac{P-Q}{P+Q}\) khi P=x+y và Q=x-y là:

A. \(\frac{x^{2}-y^{2}}{xy}\)

B. \(\frac{x^{2}-y^{2}}{2xy}\)

C.1

D. \(\frac{x^{2}+y^{2}}{xy}\)

Qua bài học này, các em nắm được một số nội dung chính như sau:

• Biết tìm phân thức đối của phân thức cho trước.
• Làm được phép trừ các phân thức (cùng mẫu, không cùng mẫu).
• Biết vận dụng quy tắc phép trừ phân thức để giải bài tập.