Toán 8 Chương 1 Bài 4: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp)

Trong bài học này, chúng ta sẽ làm quen với Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp). Đây là phần tiếp theo của bài học trước, ở bài học này chúng ta sẽ xét các hằng đẳng thức liên quan đến lập phương của một tổng hoặc một hiệu.

Toán 8 Chương 1 Bài 4: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp)

1. Tóm tắt lý thuyết

1.1. Lập phương của một tổng: 

\({(A + B)^3} = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\)

1.2. Lập phương của một hiệu: 

\({(A - B)^3} = {A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3}\)  

Việc chứng minh các hằng đẳng thức này cũng dựa trên việc nhân đa thức với đa thức.

Chẳng hạn như ở hằng đẳng thức lâp phương của một tổng ta có thể chứng minh như sau :

\(\begin{array}{l} {(A + B)^3} = (A + B){(A + B)^2}\\ = (A + B)({A^2} + 2AB + {B^2})\\ = {A^3} + 2{A^2}B + A{B^2} + {A^2}B + 2A{B^2} + {B^3}\\ = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3} \end{array}\)

chúng ta cũng chứng minh tương tự cho hằng đẳng thức lập phương của một hiệu.

2. Bài tập minh họa

Câu 1. Tính nhanh:

a. \({97^3} + {3.97^2}.3 + {3.97.3^2} + {3^3}\)

b. \({16^3} - {3.16^2}.6 + {3.16.6^2} - {6^3}\) 

Hướng dẫn giải:

a.

\(\begin{array}{l} {97^3} + {3.97^2}.3 + {3.97.3^2} + {3^3}\\ = {\left( {97 + 3} \right)^3} = {100^3} = 1000000 \end{array}\)

b.

\(\begin{array}{l} {16^3} - {3.16^2}6 + {3.16.6^2} - {6^3}\\ = {\left( {16 - 6} \right)^3} = {10^3} = 1000 \end{array}\)

Câu 2. Khai triển biểu thức: \({\left( {x + y + 1} \right)^3}\)

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l} {\left( {x + y + 1} \right)^3}\\ = {\left[ {(x + y) + 1} \right]^3}\\ = {(x + y)^3} + 3{(x + y)^2} + 3(x + y) + 1\\ = {x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3} + 3\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) + 3x + 3y + 1\\ = {x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3} + 3{x^2} + 6xy + 3{y^2} + 3x + 3y + 1 \end{array}\)

Câu 3. Chứng minh rằng: \({\left( {x + y + z} \right)^3} = {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3(x + y)(y + z)(z + x)\)

Hướng dẫn giải:

Ta có thể biến đổi vế phải như sau

\(\begin{array}{l} {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3(x + y)(y + z)(z + x)\\ = {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3(xy + xz + {y^2} + yz)(z + x)\\ = {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3(xyz + x{z^2} + {y^2}z + y{z^2} + {x^2}y + {x^2}z + {y^2}x + xyz)\\ = {x^3} + {y^3} + {z^3} + 6xyz + 3x{z^2} + 3{y^2}z + 3y{z^2} + 3{x^2}y + 3{x^2}z + 3x{y^2}\\ = \left( {{x^3} + 3{x^2}y + + 3x{y^2} + {y^3}} \right) + \left( {3{x^2}z + 6xyz + 3{y^2}z} \right) + \left( {3x{z^2} + 3y{z^2}} \right) + {z^3}\\ = {(x + y)^3} + 3({x^2} + 2xy + {y^2})z + 3(x + y){z^2} + {z^3}\\ = {(x + y)^3} + 3{(x + y)^2}z + 3(x + y){z^2} + {z^3}\\ = {\left( {x + y + z} \right)^3} \end{array}\)

Bên cạnh đó các em cũng có thể biến đổi từ vế trái thành vế phải.

3. Luyện tập

3.1. Bài tập tự luận

Câu 1. Tính nhanh:

a. \({56^3} + {3.56^2}.44 + {3.56.44^2} + {44^3}\)

b. \({35^3} - {3.35^2}.25 + {3.35.25^2} - {25^3}\)

Câu 2. Khai triển biểu thức: \({\left( {x + y + z} \right)^3}\)

3.2. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Rút gọn đa thức \(9{x^2} - 2x + \frac{1}{9}\) ta được két quả nào sau đây?

A. \({\left( {x - \frac{1}{3}} \right)^2}\)

B. \({\left( {3x - \frac{1}{3}} \right)^2}\)

C. \({\left( {3x + \frac{1}{3}} \right)^2}\)

D. \(- {\left( {3x + \frac{1}{3}} \right)^2}\)

Câu 2: Biểu diễn biểu thức \(a^4+b^4\) theo a+b và ab

A. \({\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - 2ab} \right]^2} + 2{a^2}{b^2}\)

B. \({\left( {a + b} \right)^4} + 4{a^2}{b^2}(a + b) + 6{a^2}{b^2}\)

C. \({\left( {a + b} \right)^3} - 3ab(a + b) + 3{a^2}{b^2}\)

D. \({\left( {a + b} \right)^4} - 4ab{\left( {a + b} \right)^2} + 2{a^2}{b^2}\)

 Câu 3: Trong các khai triển hằng đẳng thức sau, khai triển nào sai ?

A. \((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)

B. \((A+B)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3\)

C. \((A-B)^3=A^3-3A^2B-3AB^2+B^3\)

D. \((A-B)^2=A^2-2AB+B^2\)

Câu 4: Cho \(A=-x^2-4x-1\)

Giá trị lớn nhất của biểu thức A là?

A. 3

B. 5

C. 7

D. 1

4. Kết luận

Qua bài giảng Những hằng đẳng thức đáng nhớ này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như: 

  • Ghi nhớ được hằng đẳng thức lập phương của một tổng, lập phương của một hiệu.
  • Vận dụng được các hằng đẳng thức đã học để giải các bài toán liên quan.
Ngày:15/07/2020 Chia sẻ bởi:Tuyết Trịnh

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM