Giải bài tập SGK Toán 10 Bài 1: Bất đẳng thức

 Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng với mọi giá trị của x?

a) \(8x > 4x\)

b) \(4x > 8x\)

c) \(8x^2 > 4x^2\)

d) \(8 + x > 4 + x\)

Phương pháp giải:

Sử dụng các tính chất của bất đẳng thức: nhân cả hai vế với một số dương (âm), cộng cả hai vế với một số bất kì.

Chú ý: Tìm phản ví dụ cho các khẳng định sai.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

8x > 4x ⇔ x > 0

Câu b:

4x > 8x ⇔  x < 0

Câu c:

8x2 > 4x2 ⇔  x # 2

Câu d:

8 + x > 4 +x 

Vậy khẳng định d là đúng với mọi giá trị của x

Cho số \(x > 5\), số nào trong các số sau đây là nhỏ nhất?

\(A=\frac{5}{x}\)

\(B=\frac{5}{x}+1\)

\(C=\frac{5}{x}-1\)

\(D=\frac{x}{5}\)

Phương pháp giải:

So sánh các số đã cho với \(0\) và kết luận.

Hướng dẫn giải:

Do \(x > 5 \Rightarrow \frac{x}{5} + 1\)

Mặt khác: \(x > 5 \Rightarrow \frac{5}{x} - 1 < \frac{5}{x} < 1 < \frac{5}{x} + 1\)

Do vậy với cùng một số x > 5 thì biểu thức C có giá trị nhỏ nhất

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác

a) Chứng minh \((b-c)^2 < a^2\)

b) Từ đó suy ra \(a^2 + b^2 + c^2 < 2(ab + bc +ca)\)

Phương pháp giải:

Ta biết trong một tam giác thì một cạnh luôn nhỏ hơn tổng hai cạnh kia: \(a + b > c\)

Hướng dẫn giải:

Câu a: Chứng minh \((b-c)^2 < a^2\)

a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác nên \(\left| {b - c} \right| < a \Rightarrow {(b - c)^2} < {a^2}\)

Câu b: Chứng minh \(a^2 + b^2 + c^2 < 2(ab + bc +ca)\)

Do a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác:

\(a + b > c > 0 \Rightarrow ac + bc < {c^2}\) (1)

Hoàn toàn tương tự: \(bc + ba > {b^2}\) (2)

\(ab + ac > {a^2}\) (3)

Từ (1), (2), (3) \( \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} < ac + bc + bc + ba + ab + ac\)

\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {b^2} < 2(ab + bc + ca)\,\,\,(dpcm)\)

Chứng minh rằng: 

\(x^3 + y^3 \geq x^2y + xy^2, \forall x \geq 0, \forall y \geq 0\)

Phương pháp giải:

Sử dụng từ bất đẳng thức \((x - y)^2\ge 0\)

Hướng dẫn giải:

Xét hiệu: \({x^3} + {y^3}) - ({x^2}y + x{y^2}) = (x + y)({x^2} - xy + {y^2}) - xy(x + y)\)

\( = (x + y)({x^2} - 2xy + {y^2}) = (x + y){(x - y)^2} \ge 0,\forall x \ge 0,\forall y \ge 0\)

Do đó: \({x^3} + {y^3} \ge {x^2}y + x{y^2},\forall x \ge 0,\forall y \ge 0\)

Đẳng thức chỉ xảy ra khi \(x = y \ge 0\)

Chứng minh rằng:  \(x^4 - \sqrt{x^5} + x - \sqrt{x} + 1 > 0, \forall x \geq 0\)

Phương pháp giải:

Đặt \(\sqrt x  = t\), sau đó xét 2 trường hợp \(0 \le x < 1;x \ge 1\)

Hướng dẫn giải:

Ta có: \({x^4} - {x^5} + {x^2} - x + 1 = {x^8} - 2.{x^4}.\frac{x}{2} + \frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^2}}}{4} - x + 1\)

\( = {({x^4} - \frac{x}{2})^2} + \frac{{{x^2}}}{4} + {(\frac{x}{2} - 1)^2}\)

Mà \({({x^4} - \frac{x}{2})^2} \ge 0;\frac{{{x^2}}}{4} \ge 0;{(\frac{x}{2} - 1)^2} \ge 0\)

\( \Rightarrow {x^8} - {x^5} + {x^2} - x + 1 \ge 0\,\,\,\,(1)\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {{x^4} - \frac{x}{2}} \right)^2} = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{{x^4}}}{4} = 0\,\,vô\,\,lý\,\,\,\,\,\,\,(2)\\{\left( {\frac{x}{2} - 1} \right)^2} = 0\end{array} \right.\)

Từ (1) và (2), ta có: \({x^8} - {x^5} + {x^2} - x + 1 > 0\,\,\forall x\)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, trên các tia Ox, Oy lần lượt lấy các điểm A và B thay đổi sao cho đường thẳng AB luôn tiếp xúc với đường tròn tâm O bán kính 1. Xác định tọa độ của A và B để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.

Phương pháp giải:

Sử dụng hệ quả: Hai số dương bất kì có tích không đổi thì tổng đạt giá trị nhỏ nhất khi hai số bằng nhau.

BĐT Cô si: Cho hai số dương a, b. Khi đó \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \).

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\).

Hướng dẫn giải:

Gọi A(a; 0), B(0;b) (a,b > 0)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \\OA = \left| {\overrightarrow {OA} } \right| = a;OB = \left| {\overrightarrow {OB} } \right| = b\end{array}\)

Do AB tiếp xúc với đường tròn tâm O, bán kính R = 1,

Suy ra: diện tích \((\Delta OAB) = \frac{1}{2}AB.{h_0} = \frac{1}{2}AB.1 = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

Mặt khác: Diện tích \((\Delta OAB) = \frac{1}{2}OA.OB = \frac{1}{2}a.b\)

\( \Rightarrow \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2}}  = \frac{1}{2}ab \Leftrightarrow ab = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \,\,(1)\)

Lại có theo bất đẳng thức cô–si:

\(\sqrt {{a^2} + {b^2}}  \ge \sqrt 2 .\sqrt {ab} \)

Nên từ (1) \( \Rightarrow ab \ge \sqrt 2 .\sqrt {ab}  \Leftrightarrow \sqrt {ab} (\sqrt {ab}  - \sqrt 2 ) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {ab}  - \sqrt 2  \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt {ab}  \ge \sqrt 2 \)

Do đó AB nhỏ nhất \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {ab}  = \sqrt 2 \\a = b\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = \sqrt 2 \)

Vậy AB nhỏ nhất khi \(A(\sqrt 2 ;0),B(0;\sqrt 2 )\)