Giải bài tập SGK Toán 10 Bài 4: Hệ trục tọa độ

Trên trục (O, ) cho các điểm A, B, M có tọa độ lần lượt là \(-1, 2, 3, -2\) .

a) Hãy vẽ trục và biểu diễn các điểm đã cho trên trục

b) Tính độ dài đại số của \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{MN}\). Từ đó suy ra hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{MN}\) ngược hướng

Phương pháp giải

• Nếu hai điểm A, B trên trục \(\left( {O,\overrightarrow e } \right)\) có tọa độ lần lượt là a, b thì độ dài đại số \(\overline {AB}  = {b - a} \).
• Số a là độ dài đại số của véc tơ \(\overrightarrow {AB} \) đối với trục \(\left( {O,\overrightarrow e } \right)\) thì \(\overrightarrow {AB}  = a\overrightarrow e \).

Hướng dẫn giải

Câu a

Câu b

Đáp số: \(\overrightarrow{AB}\) = 3; \(\overrightarrow{MN}\) = -5. Từ đây ta có \(\overrightarrow{AB}\) = 3, \(\overrightarrow{MN}\) = -5 và suy ra \(\overrightarrow{AB}\) = - \(\overrightarrow{MN}\) ⇒ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{MN}\) là hai vectơ ngược hướng.

Trong mặt phẳng tọa độ các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) \(\overrightarrow{a}= ( -3; 0)\)  và \(\overrightarrow{i}= (1; 0)\) là hai vectơ ngược hướng

b) \(\overrightarrow{a}= ( 3; 4)\)  và \(\overrightarrow{i}= (-3; -4)\) là hai vectơ đối nhau

c) \(\overrightarrow{a}= ( 5; 3)\)  và \(\overrightarrow{i}= (3; 5)\) là hai vectơ đối nhau

d) hai vec tơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau

Phương pháp giải

\(+ )\;\overrightarrow a  = k\overrightarrow b  \Rightarrow \overrightarrow a ,\;\overrightarrow b \) cùng phương. Với \(k < 0\) thì \(\overrightarrow a ,\;\overrightarrow b\) ngược hướng,  với \(k > 0\) thì \(\overrightarrow a ,\;\overrightarrow b\) cùng hướng.

Hai véc tơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) đối nhau nếu \(\overrightarrow a  =  - \overrightarrow b \)

Hướng dẫn giải

Câu a: Ta có: \(\overrightarrow a  =  - 3\overrightarrow i \) và \( -3 < 0\)

\( \Rightarrow \overrightarrow a ,\;\overrightarrow i \) là hai vecto ngược hướng.

Vậy a) đúng.

Câu b: Ta thấy: \(\overrightarrow a  =  - \overrightarrow b  \)

\(\Rightarrow \overrightarrow a ,\;\overrightarrow b \) là hai vecto đối của nhau.

Vậy b) đúng.

Câu c: Ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow a = 5\overrightarrow e + 3\overrightarrow j \\
\overrightarrow i = 3\overrightarrow e + 5\overrightarrow j 
\end{array} \right. \\\Rightarrow \overrightarrow a \ne k\overrightarrow i \Rightarrow \overrightarrow a, \, \overrightarrow i \) không cùng phương.

Vậy c) sai.

Câu d: Dựa vào định nghĩa hai vecto bằng nhau ta thấy đáp án D đúng.

Tìm tọa độ của các vec tơ sau:

a) \(\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{j}\)

b) \(\overrightarrow{b}= -3\) 

c) \(\overrightarrow{c}=3\overrightarrow{i} - 4\)

d) \(\overrightarrow{d}= 0,2\) \(\overrightarrow{i} + \sqrt{3}\overrightarrow{j}\)

Phương pháp giải

Cho vecto: \(\;\overrightarrow u  = a\overrightarrow i  + b\overrightarrow j  \Rightarrow \overrightarrow u  = \left( {a;\;b} \right).\)

Hướng dẫn giải

Câu a

Ta có     = 2 = 2 + 0  suy ra  = (2;0)

Câu b

  = (0; -3)

Câu c

 = (3; -4)

 Câu d

 \(\overrightarrow{d}= (0,2; - \sqrt{3})\) 

Trong mặt phẳng Oxy. Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Tọa độ của điểm A là tọa độ của vec tơ \(\overrightarrow{OA}\)

b) Điểm A nằm trên trục hoành thì có tung độ bằng 0

c) Điểm A nằm trên trục tung thì có hoành độ bằng 0

d) Hoành độ và tung độ của điểm A bằng nhau khi và chỉ khi A nằm trên tia phân giác của góc phần tư thứ nhất

Phương pháp giải

Dựa vào các khái niệm đã học trong sách giáo khoa để làm bài.

Hướng dẫn giải

Câu a: Đúng vì \(\overrightarrow {OA}  = \left( {{x_A} - 0;\;{y_A} - 0} \right) = \left( {{x_A};\;y{  _A}} \right)\) chính là tọa độ điểm A.

Câu b: Đúng.

Mọi điểm trên trục hoành có tọa độ dạng (x;0).

Câu c: Đúng.

Mọi điểm trên trục tung có tọa độ dạng (0;y).

Câu d: Đúng vì tia phân giác của góc phần tư thứ nhất có phương trình là: \(y=x.\)

Mọi điểm thuộc đường thẳng này đều có y=x nên có tọa độ dạng (a;a) hay hoành độ và tung độ của chúng bằng nhau.

Trong các mặt phẳng Oxy cho điểm (x0; y0)

a) Tìm tọa độ điểm A đối xứng với M qua trục Ox

b) Tìm tọa độ điểm B đối xứng với M qua trục Oy

c) Tìm tọa độ điểm C đối xứng với M qua gốc O

Phương pháp giải

Dựng hình suy ra tọa độ cần tìm.

Hướng dẫn giải

Câu a

Hai điểm đối xứng nhau qua trục hoành thì có hoành độ bằng nhau và tung độ đối nhau.

M0 (x0; y0) ⇒ A(x0;-y0) 

Câu b

Hai điểm đối xứng với nhau qua trục tung thì có tung độ bằng nhau còn hoành độ thì đối nhau.

M0 (x0; y0) ⇒ B(-x0;y0)

Câu c

Hai điểm đối xứng nhau qua gốc O thì các tọa độ tương ứng đối nhau.

M0 (x0; y0) ⇒ C(-x0;-y0)

Cho hình bình hành ABCD có A(-1; -2), B(3;2), C(4;-1). Tìm tọa độ điểm D.

Phương pháp giải

Dựa vào tính chất của hình bình hành: ABCD là hình bình hành \( \Leftrightarrow \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {BA} \)

Các công thức sử dụng: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}} \right)\)

Hai véc tơ bằng nhau \(\overrightarrow u = \overrightarrow v \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = {x_2}\\
{y_1} = {y_2}
\end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải

Tứ giác ABCD là hình bình hành nên 

\(\overrightarrow {CD} \) = \(\overrightarrow {BA} \) 

Gọi (x; y) là tọa độ của D thì

\(\overrightarrow {CD} \) = (x-4; y+1)

\(\overrightarrow {BA} \)= (-4;4)

\(\overrightarrow {CD} \) = \(\overrightarrow {BA} \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - 4 =  - 4\\
y + 1 =  - 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
y = 5
\end{array} \right.\)

Vậy điểm D(0;-5) là điểm cần tìm

Các điểm A'(-4; 1), B'(2;4), C(2, -2) lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA và AB của tam giác ABC. Tính tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Chứng minh trọng tâm của các tam giác ABC và A'B'C' trùng nhau.

Phương pháp giải

- \(I\) là trung điểm của \(AB\) thì: \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\
{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}
\end{array} \right..\)

- \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) thì: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right..\)

Hướng dẫn giải

A' là trung điểm của cạnh BC nên -4 = \(\frac{1}{2}\) (xB+ xC)

⇒ xB+ xC = -8                        (1)

Tương tự ta có  xA+ xC = 4         (2)

                       xB+ xC = 4          (3)  

⇒  xA+ xB+ xC =0                            (4)

Kết hợp (4) và (1) ta có:  xA= 8

             (4) và (2) ta có:  xB= -4

               (4) và (3) ta có: xC = -4

Tương tự ta tính được: yA = 1; yB = -5; yC = 7.

Vậy A(8;1), B(-4;-5), C(-4; 7).

Gọi G la trọng tâm tam giác ABC thì 

xG = \(\frac{{8 - 4 - 4}}{3}\)= 0;        yG = \(\frac{{1 - 5 +7}}{3}\)  = 1  ⇒ G(0,1).

xG’ = \(\frac{{-4 +2+2}}{3}\);         yG’ = \(\frac{{1+4-2}}{3}\)  = 1 ⇒ G'(0;1)

Rõ ràng G và G' trùng nhau.

Cho \(\overrightarrow{a}= (2; -2)\), \(\overrightarrow{b} = (1; 4)\). Hãy phân tích vectơ \(\overrightarrow{c} = (5; 0)\) theo hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}.\)

Phương pháp giải

Dựa vào công thức cộng các vecto để làm bài toán.

\(\overrightarrow c = m\overrightarrow a + n\overrightarrow b \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_c} = m{x_a} + n{x_b}\\
{y_c} = m{y_a} + n{y_c}
\end{array} \right..\)

Hướng dẫn giải

Giả sử ta phân tích được \(\overrightarrow{c}\) theo \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) tức là có hai số \(m, n\) để:

\(\overrightarrow{c}= m.\overrightarrow{a} + n.\overrightarrow{b}\).

Mà \(\overrightarrow{a}= (2; -2)\), \(\overrightarrow{b} = (1; 4)\) nên:

\(\begin{array}{l}
m\overrightarrow a = \left( {2m; - 2m} \right)\\
n\overrightarrow b = \left( {n;4n} \right)
\end{array}\)

Do đó \(\overrightarrow{c}= (2m+n; -2m+4n)\)

Vì \(\overrightarrow{c} =(5;0)\) nên ta có hệ:

\(\left\{\begin{matrix} 2m+n=5\\ -2m+4n=0 \end{matrix}\right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
5n = 5\\
2m + n = 5
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
n = 1\\
2m + 1 = 5
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m = 2\\
n = 1
\end{array} \right.\)

Vậy \(\overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\