Giải bài tập SGK Toán 10 Bài 3: Dấu của nhị thức bậc nhất

Xét dấu các biểu thức: 

a) \(f(x) = (2x - 1)(x + 3)\)

b) \(f(x) = (- 3x - 3)(x + 2)(x + 3)\)

c) \(f(x) = \frac{-4}{3x+1}-\frac{3}{2-x}\)

d) \(f(x) = 4x^2 - 1\)

Hướng dẫn giải:

Câu a: xét dấu biểu thức \(f(x) = (2x - 1)(x + 3)\)

Ta có: \(2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2};x + 3 = 0 \Leftrightarrow x =  - 3\)

Xét dấu f(x) trên tập xác định D = R, ta lập bảng xét dấu:

Nhìn vào bảng xét dấu, ta có:

f(x) > 0 khi \(x \in ( - \infty ; - 3) \cup (\frac{1}{2}; + \infty )\)

f(x) < 0 khi \(x \in ( - 3;\frac{1}{2})\) 

f(x) = 0 khi \(x =  - 3;x = \frac{1}{2}\) 

Câu b: Xét dấu biểu thức \(f(x) = (- 3x - 3)(x + 2)(x + 3)\)

Ta có: \(- 3x - 3 = 0 \Leftrightarrow x =  - 1;x + 2 = 0 \Leftrightarrow x =  - 2;x + 3 = 0 \Leftrightarrow x =  - 3\)

Bảng xét dấu

Nhìn vào bảng xét dấu, ta có:

f(x) > 0 khi \(x \in ( - \infty ; - 3) \cup ( - 2; - 1)\)

f(x) < 0 khi \(x \in ( - 3; - 2) \cup ( - 1; + \infty )\)

f(x) = 0 khi \(x =  - 3;x =  - 2;x =  - 1\)

Câu c: Xét dấu biểu thức \(f(x) = \frac{-4}{3x+1}-\frac{3}{2-x}\)

\(f(x) = \frac{{ - 4(2 - x) - 3(3x + 1)}}{{(3x + 1)(2 - x)}} = \frac{{ - 5x - 11}}{{(3x + 1)(2 - x)}}\)

Ta có: f(x) không xác định khi \(x = \frac{{ - 1}}{3};x = 2.\)

Các nhị thức \( - 5x - 11;3x + 1;2 - x\) có nghiệm lần lượt là: \(\frac{{ - 11}}{5};\frac{{ - 1}}{3};2.\)

Bảng xét dấu

Nhìn vào bảng xét dấu, ta có:

f(x) > 0 khi \(x \in \left( {\frac{{ - 11}}{5};\frac{{ - 1}}{3}} \right) \cup (2; + \infty )\)

f(x) < 0 khi \(x \in \left( { - \infty ;\frac{{ - 11}}{5}} \right) \cup \left( {\frac{{ - 1}}{3};2} \right)\)

f(x) = 0 khi \(x = \frac{{ - 11}}{5}\) 

Câu d: Xét dấu biểu thức \(f(x) = 4x^2 - 1\)

Ta có: \(f(x) = 4{x^2} - 1 = (2x - 1)(2x + 1)\)

Các nhị thức: 2x - 1; 2x + 1 có các nghiệm lần lượt là \(\frac{1}{2}; - \frac{1}{2}\)

Bảng xét dấu

Nhìn vào bảng, ta có:

f(x) > 0 khi \(x \in \left( { - \infty ; - \frac{1}{2}} \right) \cup \left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\)

f(x) < 0 khi \(x \in \left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\)

f(x) = 0 khi \(x =  \pm \frac{1}{2}\)

Giải các bất phương trình

a) \(\frac{2}{x-1}\leq \frac{5}{2x-1}\)

b) \(\frac{1}{x+1}<\frac{1}{(x-1)^{2}}\)

c) \(\frac{1}{x}+\frac{2}{x+4}<\frac{3}{x+3}\)

d) \(\frac{x^{2}-3x+1}{x^{2}-1}<1\)

Hướng dẫn giải:

Câu a: Giải bất phương trình \(\frac{2}{x-1}\leq \frac{5}{2x-1}\)

Ta có: \(\frac{2}{{x - 1}} \le \frac{5}{{2x - 1}}\)

\( \Rightarrow \frac{2}{{x - 1}} - \frac{5}{{2x - 1}} \le 0 \Leftrightarrow \frac{{3 - x}}{{(x - 1)(2x - 1)}} \le 0\)

Đặt \(f(x) = \frac{{3 - x}}{{(x - 1)(2x - 1)}}\)

f(x) không xác định tại \(x = 1,x = \frac{1}{2}\)

Các nhị thức: \(3 - x,x - 1,2x - 1\) có các nghiệm lần lượt là: \(3;1;\frac{1}{2}\)

Xét dấu f(x), ta có:

Nhìn vào bảng xét dấu, ta có:

\(f(x) \le 0 \Leftrightarrow x \in \left( {\frac{1}{2};1} \right) \cup {\rm{[}}3; + \infty )\)

Vậy bất phương trình có nghiệm: \(x \in \left( {\frac{1}{2};1} \right) \cup {\rm{[}}3; + \infty )\)

Câu b: Giải bất phương trình \(\frac{1}{x+1}<\frac{1}{(x-1)^{2}}\)

\(\frac{1}{{x + 1}} < \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{{(x - 1)}^2} - (x + 1)}}{{(x + 1){{(x - 1)}^2}}} < 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 3x}}{{(x + 1){{(x - 1)}^2}}} < 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{x(x - 3)}}{{(x + 1){{(x - 1)}^2}}} < 0\)

Đặt \(f(x) = \frac{{x(x - 3)}}{{(x + 1){{(x - 1)}^2}}}\)

f(x) không xác định tại x=-1; x=1

Xét dấu f(x):

Nhìn vào bảng xét dấu, ta có: \(f(x) < 0\)

\( \Leftrightarrow x \in ( - \infty ; - 1) \cup {\rm{[}}0;1) \cup (1;3)\)Vậy bất phương trình có nghiệm: \(x \in ( - \infty ; - 1) \cup {\rm{[}}0;1) \cup (1;3)\)

Câu c: Giải bất phương trình \(\frac{1}{x}+\frac{2}{x+4}<\frac{3}{x+3}\)

\(\frac{1}{x} + \frac{2}{{x + 4}} < \frac{3}{{x + 3}} \Leftrightarrow \frac{1}{x} + \frac{2}{{x + 4}} - \frac{3}{{x + 3}} < 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{(x + 4)(x + 3) + 2x(x + 3) - 3(x + 4).x}}{{x(x + 4)(x + 3)}} < 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{x + 12}}{{x(x + 4)(x + 3)}} < 0\)

Đặt \(f(x) = \frac{{x + 12}}{{x(x + 4)(x + 3)}}\)

f(x) không xác định tại x=0; x= -4; x=-3

Xét dấu f(x), ta có: 

\( \Rightarrow f(x) < 0 \Leftrightarrow x \in ( - 12; - 4) \cup ( - 3;0)\)

Vậy bất phương trình có nghiệm \(x \in ( - 12; - 4) \cup ( - 3;0)\).

Câu d: Giải bất phương trình \(\frac{x^{2}-3x+1}{x^{2}-1}<1\)

\(\frac{{{x^2} - 3x + 1}}{{{x^2} - 1}} < 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 3x + 1}}{{{x^2} - 1}} - 1 < 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{2 - 3x}}{{(x - 1)(x + 1)}} < 0\)

Đặt \( f(x) = \frac{{2 - 3x}}{{(x - 1)(x + 1)}}\) 

f(x) không xác định tại x=-1; x=1

Xét dấu f(x), ta có: 

Vậy bất phương trình có nghiệm: \(x \in ( - 1;\frac{2}{3}) \cup (1; + \infty ).\)

Giải các bất phương trình:

a) \(|5x - 4| \geq 6\)

b) \(\left| {\frac{{ - 5}}{{x + 2}}} \right| < \left| {\frac{{10}}{{x - 1}}} \right|\)

Hướng dẫn giải:

Câu a: Giải bất phương trình \(|5x - 4| \geq 6\)

\(\left| {5x - 4} \right| \ge 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
5x - 4 \ge 6\\
5x - 4 \le  - 6
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x \ge 2\\
x \le  - \frac{2}{5}
\end{array} \right.\)

Vậy bất phương trình có nghiệm: \(\left[ \begin{array}{l}
x \ge 2\\
x \le  - \frac{2}{3}
\end{array} \right.\)

Câu b: Giải bất phương trình \(\left| {\frac{{ - 5}}{{x + 2}}} \right| < \left| {\frac{{10}}{{x - 1}}} \right|\)

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2;1} \right\}\)

\(\begin{array}{l}\left| {\frac{{ - 5}}{{x + 2}}} \right| < \left| {\frac{{10}}{{x - 1}}} \right| \Leftrightarrow {\left( {\frac{{ - 5}}{{x + 2}}} \right)^2} < {\left( {\frac{{10}}{{x - 1}}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {\frac{{ - 5}}{{x + 2}}} \right)^2} - {\left( {\frac{{10}}{{x - 1}}} \right)^2} < 0 \Leftrightarrow \left[ {\frac{{ - 5}}{{x + 2}} - \frac{{10}}{{x - 1}}} \right]\left[ {\frac{{ - 5}}{{x + 2}} + \frac{{10}}{{x - 1}}} \right] < 0\\ \Leftrightarrow \frac{{ - 15x - 15}}{{(x + 2)(x - 1)}}.\frac{{5x + 25}}{{(x + 2)(x - 1)}} < 0\\ \Leftrightarrow \frac{{( - 15x - 15)(5x + 25)}}{{{{(x + 2)}^2}{{(x - 1)}^2}}} < 0\end{array}\)

Đặt \(f(x) = \frac{{( - 15x - 15)(5x + 25)}}{{{{(x + 2)}^2}{{(x - 1)}^2}}}\)

Hàm số \(f(x)\) không xác định tại x=-2 và x=1

Các nhị thức -15x-15 và 5x+25 có nghiệm lần lượt là -1 và -5

\(\begin{array}{l}
{(x + 2)^2} = 0 \Leftrightarrow x =  - 2\\
{(x - 1)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 1
\end{array}\)

Bảng xét dấu f(x):

Vậy f(x)<0 khi \(x \in ( - \infty ; - 5) \cup \left( { - 1;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\)