Giải bài tập SGK Toán 10 Chương 2 Bài 2: Phương trình đường tròn

1. Giải bài 1 trang 83 SGK Hình học 10

Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau:

a) \({x^2} + {\rm{ }}{y^2} - 2x-2y - 2{\rm{ }} = 0\)

b) \(16{x^2} + {\rm{ }}16{y^2} + {\rm{ }}16x{\rm{ }}-{\rm{ }}8y{\rm{ }}-{\rm{ }}11{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

c) \({x^{2}} + {\rm{ }}{y^{2}} - {\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}6y{\rm{ }}-{\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)

Phương pháp giải

Cho phương trình đường tròn: \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0.\) Khi đó đường tròn có tâm \(I(a;\, b)\) và bán kính: \( {R^2} = {a^2} + {b^2} - c \Rightarrow R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} .\)

- Ráp công thức cụ thể vào công thức tổng quát để tìm a, b, c. Từ đó thay vào để tìm tâm và bán kính.

Hướng dẫn giải

Câu a:

Ta có: \(-2a = -2 \Rightarrow a = 1\)

           \(-2b = -2 \Rightarrow b = 1  \Rightarrow I(1; 1)\)

\({R^2} = {a^2} + {b^2} - c \)\(= {1^2} + {1^2} - ( - 2) = 4 \Rightarrow R = \sqrt 4  = 2\)

Câu b:

\(\displaystyle 16{x^2} + {\rm{ }}16{y^2} + {\rm{ }}16x{\rm{ }}-{\rm{ }}8y{\rm{ }}-{\rm{ }}11{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + x - {1 \over 2}y - {{11} \over {16}} = 0\)

\(\displaystyle \eqalign{
& - 2a = 1 \Rightarrow a = - {1 \over 2} \cr 
& - 2b = - {1 \over 2} \Rightarrow b = {1 \over 4} \cr 
& \Rightarrow I\left( { - {1 \over 2};{1 \over 4}} \right) \cr} \)

\(\displaystyle {R^2} = {a^2} + {b^2} - c \)\(\displaystyle = {\left( { - {1 \over 2}} \right)^2} + {\left( {{1 \over 4}} \right)^2} - \left( { - {{11} \over {16}}} \right) = 1\)\(\displaystyle \Rightarrow R = \sqrt 1  = 1\)

Câu c:

\(\eqalign{ & - 2a = - 4 \Rightarrow a = 2 \cr & - 2b = 6 \Rightarrow b = - 3 \cr & \Rightarrow I\left( {2; - 3} \right) \cr} \) \({R^2} = {a^2} + {b^2} - c \)\(= {2^2} + {\left( { - 3} \right)^2} - \left( { - 3} \right) = 16 \) \(\Rightarrow R = \sqrt {16} = 4\)

2. Giải bài 2 trang 83 SGK  Hình học 10

Lập phương trình đường tròn \((C)\) trong các trường hợp sau:

a) \((C)\) có tâm \(I(-2; 3)\) và đi qua \(M(2; -3)\);

b) \((C)\) có tâm \(I(-1; 2)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(d : x – 2y + 7 = 0\)

c) \((C)\) có đường kính \(AB\) với \(A(1; 1)\) và \(B(7; 5).\)

Phương pháp giải

Câu a:

Đường tròn \((C)\) có tâm \(I(a; \, b)\) và đi qua điểm \(M\) thì có bán kính là \(R=IM\) và có phương trình: \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2} = I{M^2}.\)

Câu b:

Đường tròn \((C)\) có tâm \(I(a; \, b)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(d\) thì \(R = d\left( {I;\;d} \right).\)

Câu c:

Đường tròn \((C)\) có đường kính \(AB\) thì có tâm \(I\) là trung điểm của \(AB\) và bán kính: \(R = \dfrac{{AB}}{2}.\)

Hướng dẫn giải

(C) có tâm \(I\) và đi qua \(M\) nên bán kính \(R = IM\).

Câu a:

\(IM = \sqrt {{{\left( {2 - \left( { - 2} \right)} \right)}^2} + {{\left( { - 3 - 3} \right)}^2}}  \) \( = \sqrt {{4^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} = \sqrt {52} \)

\(\Rightarrow {R^{2}} = IM^2 = 52\)

Phương trình đường tròn \((C)\):

\({\left( {x{\rm{ }} + 2} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)^2} = 52\)

Câu b:

Đường tròn tiếp xúc với đường thẳng \(d\)

\( \Rightarrow \) \(d(I; d) = R\)

Ta có: \( R = d(I, d) = \dfrac{|-1-2.2+7|}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}}\) = \(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\) 

Phương trình đường tròn cần tìm là:

\({\left( {x{\rm{ }} + 1} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2}= \left(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right )^{2}\)  

\( \Leftrightarrow {\left( {x{\rm{ }} + 1} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2} = \dfrac{4}{5}\)

Câu c:

Tâm \(I\) là trung điểm của \(AB\), có tọa độ :

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_I} = \dfrac{{1 + 7}}{2} = 4\\
{y_I} = \dfrac{{1 + 5}}{2} = 3
\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {4;3} \right)\)

\(AB = \sqrt {{{\left( {7 - 1} \right)}^2} + {{\left( {5 - 1} \right)}^2}}  \) \( = \sqrt {{6^2} + {4^2}} = 2\sqrt {13} \)

Suy ra \( R  = \dfrac{{AB}}{2}= \sqrt {13}\)   

Phương trình đường tròn cần tìm là:

\({\left( {x{\rm{ }} - 4{\rm{ }}} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)^2} = 13\)

3. Giải bài 3 trang 84 SGK Hình học 10

Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm:

a) \(A(1; 2); B(5; 2); C(1; -3)\)

b) \(M(-2; 4); N(5; 5); P(6; -2)\)

Phương pháp giải

Câu a:

Gọi phương trình đường tròn có dạng:  \(x^2+y^2-2 ax – 2by +c = 0\) 

Khi đó thay tọa độ 3 điểm đề bài cho vào phương trình đường tròn ta được hệ phương trình 3 ẩn. Giải hệ phương trình này ta tìm được \(a, \, \, b, \, \, c\) hay tìm được phương trình đường tròn cần lập.

Hướng dẫn giải

Gọi phương trình đường tròn có dạng: \((C):x^2+y^2-2 ax – 2by +c = 0\)

\(A(1; 2)\in (C)\) nên:

\(1^2+ 2^2– 2a -4b + c = 0\)\(\Leftrightarrow   2a + 4b – c = 5\)

\(B(5; 2)\in (C)\) nên:

\(5^2+ 2^2– 10a -4b + c = 0 \)\(\Leftrightarrow    10a + 4b – c = 29\)

\(C(1; -3)\in (C)\) nên:

\(1^2+ (-3)^2 – 2a + 6b + c = 0   \)\(\Leftrightarrow     2a - 6b – c = 10\)

Ta có hệ: \(\left\{\begin{matrix} 2a + 4b- c = 5 (1) & & \\ 10a +4b - c= 29 (2) & & \\ 2a- 6b -c =10 (3) & & \end{matrix}\right.\)

Giải hệ ta được:  \(\left\{ \matrix{
a = 3 \hfill \cr 
b = - 0,5 \hfill \cr 
c = - 1 \hfill \cr} \right.\)

Phương trình đường tròn cần tìm là: \({{x^2} + {\rm{ }}{y^2} - {\rm{ }}6x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} - {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0} \)

Câu b:

\(M(-2; 4)\in (C)\) nên:

\((-2)^2+ 4^2+4a -8b + c = 0 \)\(  \Leftrightarrow   4a - 8b + c = -20\)

\(N(5; 5)\in (C)\) nên:

\(5^2+ 5^2– 10a -10b + c = 0\)\( \Leftrightarrow    10a +10b – c = 50\)

\(P(6; -2)\in (C)\) nên:

\(6^2+ (-2)^2 – 12a + 4b + c = 0   \)\(\Leftrightarrow     12a - 4b – c = 40\)

Ta có hệ phương trình: 

$$\left\{ \matrix{
4a - 8b + c = - 20 \hfill \cr 
10a + 10b - c = 50 \hfill \cr 
12a - 4b - c = 40 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = 2 \hfill \cr 
b = 1 \hfill \cr 
c = - 20 \hfill \cr} \right.$$

Phương trình đường tròn đi qua ba điểm \(M(-2; 4); N(5; 5); P(6; -2)\) là:

\(x^2+ y^2- 4x – 2y - 20 = 0\) 

4. Giải bài 4 trang 84 SGK Hình học 10

Phương pháp giải

5. Giải bài 5 trang 84 SGK Hình học 10

Phương pháp giải

6. Giải bài 6 trang 84 SGK Hình học 10

Cho đường tròn \((C)\) có phương trình:

 \({x^2} + {\rm{ }}{y^2} - {\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}8y{\rm{ }} - {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

a) Tìm tọa độ tâm và bán kính của \((C).\)

b) Viết phương trình tiếp tuyến với \((C)\) đi qua điểm \(A(-1; 0).\)

c) Viết phương trình tiếp tuyến với \((C)\) vuông góc với đường thẳng \(3x – 4y + 5 = 0.\)

Phương pháp giải

Câu a:

Đường tròn \((C): \, {x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) có tâm \(I(a; \, b)\) và bán kính \(R=\sqrt{a^2+b^2-c}.\)

Câu b:

Xét xem điểm A có thuộc đường tròn (C) hay không.

Nếu A thuộc (C) thì tiếp tuyến tại A của (C) nhận \(\overrightarrow {IA} \) làm VTPT.

Từ đó lập phương trình đường thẳng đi qua A và nhận \(\overrightarrow {IA} \) làm VTVPT.

Câu c:

Gọi phương trình tiếp tuyến cần lập có dạng: \(d: \, 4x+3y+c=0.\)

Khi đó ta có: \(R = d\left( {I;\;d} \right).\)

Từ đó ta tìm được ẩn \(c\) hay lập được phương trình đề bài yêu cầu.

Hướng dẫn giải

Câu a:

Ta có: \(a = 2,b =  - 4,c =  - 5\)

Đường tròn có tâm \(I(2;-4)\), bán kính \(R = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} - \left( { - 5} \right)}  = 5\)

\({x^2} + {\rm{ }}{y^2} - {\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}8y{\rm{ }} - {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 2.x.2 + {2^2} + {y^2} + 2.y.4 + {4^2}\)\( = 25 \)

\(\Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = {5^2}\)

 Tâm \(I(2 ; -4)\), bán kính \(R = 5\)

Câu b:

Thay tọa độ \(A(-1 ; 0)\) vào vế trái, ta có :

\((-1- 2 )^2 + (0 + 4)^2 = 3^2+4^2= 25\)

Vậy \(A(-1 ;0)\) là điểm thuộc đường tròn.

Tiếp tuyến với (C) tại \(A\) nhận \(\overrightarrow {IA} ( - 3;4)\) làm VTPT.

Phương trình tiếp tuyến với đường tròn tại \(A\) là:

\(-3(x +1) +4(y -0) =0 \)\(  \Leftrightarrow   3x - 4y + 3 = 0\)

Câu c:

Đường thẳng \(3x – 4y + 5 = 0\) có VTPT \(\overrightarrow n(3;-4)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}}  = \left( {4;3} \right)\) là VTCP của d.

Tiếp tuyến \(d'\) vuông góc với đường thẳng \(3x – 4y + 5 = 0\) nên VTPT \(\overrightarrow {n'}=\overrightarrow {{u_d}}=(4;3)\) 

Phương trình \(d'\) có dạng là: \(4x+3y+c=0\)

\(d'\) tiếp xúc \((C)\)

\(\Leftrightarrow d(I,d')=R\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow {{|4.2 + 3.( - 4) + c|} \over {\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = 5 \) \(\Leftrightarrow |c - 4| = 25\)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
c - 4 = 25 \hfill \cr 
c - 4 = - 25 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
c = 29 \hfill \cr 
c = - 21 \hfill \cr} \right.\)

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

\(4x+3y+29=0\) và \(4x+3y-21=0\).