Toán 7 Chương 1 Bài 8: Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Nội dung bài giảng Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau do eLib biên soạn và tổng hợp dưới đây bao gồm hệ thống kiến thức, bài tập minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em dễ dàng nắm vững nội dung bài học và vận dụng thành thạo kiến thức trọng tâm để giải các bài toán liên quan khác.

Toán 7 Chương 1 Bài 8: Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

1. Tóm tắt lý thuyết

1.1. Tính chất

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{{a + c}}{{b + d}} = \frac{{a - c}}{{b - d}}\,\,\,(b \ne d\,\,và\,\,b \ne - d)\).

- Mở rộng:

Từ dãy tỉ số bằng nhau: \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f}\) ta suy ra:

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{{a + c + e}}{{b + d + f}} = \frac{{a - c - e}}{{b - d - f}}\) (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).

1.2. Chú ý:

Khi các dãy tỉ số: \(\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{5}\), ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2, 3, 5.

Ta cũng viết: a : b : c = 2 : 3 : 5.

2. Bài tập minh họa

Câu 1: Tìm x, y biết:

a. \(\frac{x}{y} = \frac{{17}}{3}\) và \(x + y = - 60\).

b. \(\frac{x}{{19}} = \frac{y}{{21}}\)\(2x - y = 34\).

c. \(\frac{{{x^2}}}{9} = \frac{{{y^2}}}{{16}}\)\({x^2} + {y^2} = 100\).

Hướng dẫn giải

a. \(\frac{x}{y} = \frac{{17}}{3}\) và \(x + y =  - 60\)

\( \Rightarrow \frac{x}{7} = \frac{y}{{13}} = \frac{{x + y}}{{7 + 13}} = \frac{{ - 60}}{{20}} =  - 3\).

Do đó:

\(\begin{array}{l}\frac{x}{7} =  - 3 \Rightarrow x =  - 21\\\frac{y}{{13}} =  - 3 \Rightarrow y =  - 39\end{array}\).

b. \(\frac{x}{{19}} = \frac{y}{{21}}\) và \(2x - y = 34\)

\(\frac{x}{{19}} = \frac{y}{{21}} \Rightarrow \frac{{2x}}{{38}} = \frac{y}{{21}} = \frac{{2x - y}}{{38 - 21}} = \frac{{34}}{{17}} = 2\).

Do đó: \(\frac{x}{9} = 2 \Rightarrow x = 38\).

\(\frac{y}{{21}} = 2 \Rightarrow y = 42\).

c. \(\frac{{{x^2}}}{9} = \frac{{{y^2}}}{{16}}\) và \({x^2} + {y^2} = 100\).

\(\frac{{{x^2}}}{9} = \frac{{{y^2}}}{{16}} = \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{19 + 6}} = \frac{{100}}{{25}} = 4\).

Do đó: \(\frac{{{x^2}}}{9} = 4 \Rightarrow {x^2} = 36 \Rightarrow x =  \pm 6\).

\(\frac{{{y^2}}}{{16}} = 4 \Rightarrow {y^2} = 64 \Rightarrow y =  \pm 8\).

Câu 2: Chứng minh rằng nếu \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) thì:

a. \(\frac{{5a + 3b}}{{5a - 3b}} = \frac{{5c + 3d}}{{5c - 3d}}\).          

b. \(\frac{{7{a^2} + 3ab}}{{11{a^2} - 8{b^2}}} = \frac{{7{c^2} + 3cd}}{{11{c^2} - 8{d^2}}}\).

Hướng dẫn giải

a. Vì \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) nên \(\frac{a}{c} = \frac{b}{d}\).

Mặt khác \(\frac{a}{c} = \frac{b}{d} = \frac{{5a}}{{5c}} = \frac{{3b}}{{3d}} = \frac{{5a + 3b}}{{5c + 3d}} = \frac{{5a - 3d}}{{5c - 3d}}\).

Vậy \(\frac{{5a + 3b}}{{5a - 3b}} = \frac{{5a - 3b}}{{5c - 3d}}\).

b. Vì \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) nên \(\frac{a}{c} = \frac{b}{d}\).

Vậy \(\frac{a}{c}.\frac{a}{c} = \frac{b}{d} = \frac{b}{d} = \frac{a}{c}.\frac{b}{d}\) hay \(\frac{{{a^2}}}{{{c^2}}} = \frac{{{b^2}}}{{{d^2}}} = \frac{{ab}}{{cd}}\).

Mặt khác ta lại có:

\(\frac{{7{a^2}}}{{7{c^2}}} = \frac{{11{a^2}}}{{11{c^2}}} = \frac{{8{b^2}}}{{8{d^2}}} = \frac{{3ab}}{{3cd}} = \frac{{7{a^2} + 3ab}}{{7{c^2} + 3cd}} = \frac{{11{a^2} - 8{b^2}}}{{11{c^2} - 8d}}\)

Do đó ta có: \(\frac{{7{a^2} + 3ab}}{{11{a^2} - 8{b^2}}} = \frac{{7{c^2} + 3cd}}{{11{c^2} - 8{d^2}}}\).

Câu 3: Cho bốn số khác 0 là \({a_1},{a_2},{a_3},{a_4}\) thoả mãn \({a_2}^2 = {a_1}a{}_{3,}{a_3}^2 = {a_2}{a_4}\). Chứng minh: \(\frac{{a_1^3 + a_2^3 + a_3^3}}{{a_2^3 + a_3^3 + a_4^3}} = \frac{{{a_1}}}{{{a_4}}}\).

Hướng dẫn giải

Từ giả thiết ta có:

\(\begin{array}{l}a_2^2 = {a_1}.{a_3} \Rightarrow \frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{a_2}}}{{{a_3}}}\\a_3^2 = {a_2}.{a_4} \Rightarrow \frac{{{a_2}}}{{{a_3}}} = \frac{{{a_3}}}{{{a_4}}}\end{array}\).

Nên \(\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{a_2}}}{{{a_3}}} = \frac{{{a_3}}}{{{a_4}}}\).

Suy ra: \(\frac{{a_1^3}}{{a_2^3}} = \frac{{a_2^3}}{{a_3^3}} = \frac{{a_3^3}}{{a_4^3}} = \frac{{{a_1}}}{{{a_2}}}.\frac{{{a_2}}}{{{a_3}}}.\frac{{{a_3}}}{{{a_4}}} = \frac{{{a_1}}}{{{a_4}}}\).

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{{a_1^3 + a_2^3 + a_3^3}}{{a_2^3 + a_3^3 + a_4^3}} = \frac{{{a_1}}}{{{a_4}}}\).

3. Luyện tập

3.1. Bài tập tự luận

Câu 1: Biết \(\frac{{bz - cy}}{a} = \frac{{cx - az}}{b} = \frac{{ay - bx}}{c}\). Chứng minh rằng: \(\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}.\)

Câu 2: Ba vòi nước cùng chảy vào một hồ có dung tích \(15,8{m^3}\) từ lúc không có nước cho tới khi đầy hồ. Biết rằng thời gian để chảy được \(1{m^3}\) nước của vòi thứ nhất là 3 phút, vòi thức hai là 5 phút và vòi thứ ba là 8 phút. Hỏi mỗi vòi chảy được bao nhiêu nước vào hồ?

Câu 3: Ba học sinh A, B, C có số điểm mười tỉ lệ với các số 2; 3; 4. Biết rằng tổng số điểm 10 của A và C hơn B là 6 điểm 10. Hỏi mỗi em có bao nhiêu điểm 10?

3.2. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho tỉ lệ thức \(\frac{{3{\rm{x}} - y}}{{x + y}} = \frac{3}{4}\). Tính giá trị của tỉ số \(\frac{x}{y}\)?

A. \(\frac{9}{7}\).

B. \(\frac{8}{7}\).

C. \(\frac{7}{8}\).

D. \(\frac{7}{9}\).

Câu 2: Tìm x, y biết \(\frac{{{x^2}}}{16} = \frac{{{y^2}}}{{9}}\) và  \({x^2} + {y^2} = 100\)

A. \(x=8; y=6\).

B. \(x=-8; y=6\).

C. \(x = \pm 6;\,\,y = \pm 8\).

D. \(x = \pm 8;\,\,y = \pm 6\).

Câu 3: Cho các số a, b, c khác 0 thỏa mãn  \(\frac{{ab}}{{a + b}} = \frac{{bc}}{{b + c}} = \frac{{ca}}{{c + a}}\). Tính giá trị của biểu thức \(P = \frac{{{a^2}b + {b^2}c + {c^2}a}}{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}\)

A. -1.

B. 0.

C. 1.

D. 2.

Câu 4: Diện tích của hình chữ nhật là bao nhiêu, biết rằng tỉ số giữa hai cạnh là \(\frac{2}{3}\)  và chu vi hình chữ nhật là 70 (cm)

A. 294 (cm).

B. 294 (\(cm^2\)).

C. 249 (cm).

D. 249 (\(cm^2\)).

Câu 5: Điều kiện đối với a, b để ta có tỉ lệ thức: \(\frac{a}{b} = \frac{{a + c}}{{b + c}},\,\,c \ne 0\)

A. a = c.

B. a > b.

C. a = b.

D. c = b.

4. Kết luận 

Qua bài học này, các em cần nắm được những nội dung sau:

- Các tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.

- Biết vận dụng các tính chất của tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải các bài toán dạng: tìm hai số biết tổng (hoặc hiệu) và tỉ số của chúng.

Ngày:17/07/2020 Chia sẻ bởi:Oanh

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM