Toán 7 Chương 4 Bài 7: Đa thức một biến

• Đa thức một biến là tổng của các đơn thức của cùng một biến.

Ví dụ 1: Đa thức \(5x^5 + 4x^3 - 2x^2 + x\) là đa thức một biến (biến x).

Chú ý:

• Mỗi số cũng có thể coi là một đa thức của một biến nào đó.
• Sau khi thu gọn đa thức ta thường sắp xếp đa thức theo luỹ thừa giảm dần hoặc tăng dần của biến.

Ví dụ 2: Đối với đa thức \(P(x) = 6x + 3 - 6x^2 + x^3 + 2x^4\)

• Khi sắp xếp các hạng tử của nó theo lũy thừa giảm của biến, ta được:

\(P(x) = 2x^4 + x^3 - 6x^2 + 6x + 3\)

• Khi sắp xếp các hạng tử của nó theo lũy thừa tăng của biến, ta được:

\(P(x) = 3 + 6x - 6x^2 + x^3 + 2x^4\)

Bậc của đa thức một biến khác đa thức không (đã thu gọn) là số mũ lớn nhất của biến có trong đa thức đó.

Ví dụ 3:  Đa thức \(5x^5 + 4x^3 - 2x^2 + x\) có bậc 5.

Ví dụ 4: Cho đa thức sau: \(5x^7 - 7x^6 + 5x^5 - 4x^4 + 7x^6 - 3x^2 + 1 - 5x^7 - 3x^5\)

Bậc của đa thức đã cho là bao nhiêu?

Thu gọn đa thức ta được:

\(\begin{array}{l}
5{x^7} - 7{x^6} + 5{x^5} - 4{x^4} + 7{x^6} - 3{x^2} + 1 - 5{x^7} - 3{x^5}\\
 = \left( {5{x^7} - 5{x^7}} \right) + \left( { - 7{x^6} + 7{x^6}} \right) + \left( {5{x^5} - 3{x^5}} \right) - 4{x^4} - 3{x^2} + 1\\
 = 2{x^5} - 4{x^4} - 3{x^2} + 1
\end{array}\)

Đa thức đã cho có bậc là 5.

Chú ý: Để sắp xếp các hạng tử của một đa thức, trước hết ta phải thu gọn đa thức đó.

a) Hệ số của đa thức:

• Hệ số cao nhất là hệ số của số hạng có bậc cao nhất.
• Hệ số tự do là số hạng không chứa biến.

Ví dụ 5: Đa thức \(5x^5 + 4x^3 - 2x^2 + x\) có:

• Hệ số cao nhất là 5.
• Hệ số tự do là 0.

b) Giá trị của đa thức f(x) tại x=a được kí hiệu là f(a).

Ví dụ 6: Giá trị của đa thức \(f(x) =5x^5 + 4x^3 - 2x^2 + x\) tại \(x=1\) là \(f(1) =5.1^5 + 4.1^3 - 2.1^2 + 1\)

Câu 1: Thu gọn các đa thức sau và sắp xếp theo luỹ thừa giảm dần của biến:

a) \(2{x^3} - {x^5} + 3{x^4} + {x^2} - \frac{1}{2}{x^3} + 3{x^5} - 2{x^2} - {x^4} + 1\).

b) \({x^7} - 3{x^4} + 2{x^3} - {x^2} - {x^4} - x + {x^7} - {x^3} + 5\).

Hướng dẫn giải

a)

\(\begin{array}{l}2{x^3} - {x^5} + 3{x^4} + {x^2} - \frac{1}{2}{x^3} + 3{x^5} - 2{x^2} - {x^4} + 1\\ = (2{x^3} - \frac{1}{2}{x^3}) + ( - {x^5} + 3{x^5}) + (3{x^4} - {x^4}) + ({x^2} - 2{x^2}) + 1\\ = \frac{2}{3}{x^3} + 2{x^5} + 2{x^4} - {x^2} + 1\\ = 2{x^5} + 2{x^4} + \frac{2}{3}{x^3} - {x^2} + 1\end{array}\).

b)

\(\begin{array}{l}{x^7} - 3{x^4} + 2{x^3} - {x^2} - {x^4} - x + {x^7} - {x^3} + 5\\ = ({x^7} + {x^7}) + ( - 3{x^4} - {x^4}) + (2{x^3} - {x^3}) + ( - {x^2}) + 5\\ = 2{x^7} - 4{x^4} + {x^3} - {x^2} - x + 5\end{array}\).

Câu 2: Tính giá trị của các đa thức:

a) \(x + {x^2} + {x^3} + ... + {x^{99}} + {x^{100}}\) tại x=-1.

b) \({x^2} + {x^4} + {x^6}  + .... + {x^{98}} + {x^{100}}\) tại x=-1.

Hướng dẫn giải

a) Thay x=-1 vào ta được:

\(\begin{array}{l}x + {x^2} + {x^3}  + ... + {x^{99}} + {x^{100}}\\ = ( - 1) + {( - 1)^2} + {( - 1)^3}  + ... + {( - 1)^{99}} + {( - 1)^{100}}\\ =  - 1 + 1 - 1 +  ... - 1 + 1 = 0\end{array}\).

b) Thay x=-1 vào ta được:

\(\begin{array}{l}{x^2} + {x^4} + {x^6}+ .... + {x^{98}} + {x^{100}}\\ = {( - 1)^2} + {( - 1)^4} + {( - 1)^6} + .... + {( - 1)^{98}} + {( - 1)^{100}}\\ = \underbrace {1 + 1 + ...... + 1}_{50\,\,số\,\,\,hạng} = 50\end{array}\).

Câu 3: Cho đa thức sau:

\(5{x^7} - 7{x^6} + 5{x^5} - 4{x^4} + 7{x^6} - 3{x^2} + 1 - 5{x^7} - 3{x^5}\)

Bậc của đa thức đã cho là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:

Thu gọn đa thức đã cho ta được:

\(\begin{array}{l}5{x^7} - 7{x^6} + 5{x^5} - 4{x^4} + 7{x^6} - 3{x^2} + 1 - 5{x^7} - 3{x^5}\\ = (5{x^7} - 5{x^7}) + ( - 7{x^6} + 7{x^6}) + (5{x^5} - 3{x^5}) - 4{x^4} - 3{x^2} + 1\\ = 2{x^5} - 4{x^4} - 3{x^2} + 1\end{array}\).

Đa thức có bậc là 5.

Câu 1: Cho \(P(x) =  - 3{x^2} + 7x + 12 - 28{x^4}\) và \(Q(x) = 13{x^2} + 22{x^3} + 15{x^4} + 3x.\). Tính \(P(x) + Q(x)\) và \(P(x) – Q(x)\).

Câu 2: Cho đa thức: \(f = 2x - {x^2} + 2.|x + 1|\)

a) Thu gọn đa thức f.

b) Tính giá trị của f khi \(x =  - \dfrac{3}{2}\).

Câu 3: Cho P(x) là một đa thức bậc 4 sao cho P(1)=P(-1) và P(2)=P(-2). Chứng minh rằng \(P(x)=P(-x)\) với mọi \(x \in Q.\)

Câu 1: Cho đa thức A = x⁴ - 4x³ + x -3x² + 1. Tính giá trị của A tại x = -2

A. A = -35

B. A = 53

C. A = 33

D. A = 35

Câu 2: Cho hai đa thức f(x) = x⁵ + 2; g(x) = 5x³ - 4x + 2. So sánh f(0) và g(1)

A. f(0) = g(1)

B. f(0) > g(1)

C. f(0) < g(1)

D. Cả A, B, C đều sai

Câu 3: Cho hai đa thức f(x) = x⁵ + 2; g(x) = 5x³ - 4x + 2. Chọn câu đúng về f(-2) và g(-2)

A. f(-2) = g(-2)

B. f(-2) = 3.g(-2)

C. f(-2) > g(-2)

D. f(-2) < g(-2)

Câu 4: Với a, b, c là các hằng số, hệ số tự do của đa thức x² + (a + b)x - 5a +3b +2 là 

A. 5a + 3b +2

B. -5a + 3b +2

C. 2

D. 3b + 2

Câu 5: Hệ số cao nhất của đa thức 5x⁶ + 6x⁵ +x⁴ - 3x² + 7 là: 

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

Qua bài học này, các em cần nắm được những nội dung sau:

• Khái niệm đa thức một biến.
• Biết tính bậc của đa thức một biến
• Xác định được hệ số, giá trị của một đa thức.