Toán 7 Chương 4 Bài 9: Nghiệm của đa thức một biến

Mời các em cùng tham khảo nội dung bài giảng do eLib biên soạn và tổng hợp dưới đây. Bài học này sẽ giới thiệu đến các em khái niệm Nghiệm của đa thức một biến và các dạng toán liên quan, đi kèm là các bài tập minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các dễ dàng nắm đươc nội dung phần này.

Toán 7 Chương 4 Bài 9: Nghiệm của đa thức một biến

1. Tóm tắt lý thuyết

Nếu tại \(x=a\) đa thức \(P(x)\) có giá trị bằng 0 thì ta nói a là một nghiệm của đa thức đó.

Ví dụ 1: Trong các số \(-1; 1; 2\) số nào là nghiệm của đa thức \(f(x) = {x^2} - 3x + 2\)?

Ta có đa thức \(f\left( x \right) = {x^2} - 3x + 2\)

  • Với \(x=-1\) thì \(f\left( { - 1} \right) = {( - 1)^2} - 3.( - 1) + 2 = 1 + 3 + 2 = 6 \ne 0\) nên x=-1 không là nghiệm của đa thức f(x).
  • Với \(x=1\) thì \(f\left( 1 \right) = {1^2} - 3.1 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0\) nên x=1 là một nghiệm của đa thức f(x).
  • Với \(x=2\) thì \(f\left( 2 \right) = {2^2} - 3.2 + 2 = 4 - 6 + 2 = 0\) nên x=2 là một nghiệm của đa thức f(x)

Nhận xét:

  • Một đa thức (khác đa thức 0) có thể có một nghiệm, hai nghiệm,…hoặc không có nghiệm nào.
  • Người ta chứng minh được rằng số nghiệm của một đa thức (khác đa thức 0) không vượt quá bậc của nó.

2. Bài tập minh hoạ

Câu 1: Tìm nghiệm của đa thức \(P(x) = 2y + 6\)

Hướng dẫn giải

Từ \(2y + 6 = 0 ⇒ 2y = -6 ⇒ y =\dfrac{-6}{2} = -3\)

Vậy nghiệm của đa thức \(P(x)\) là \(-3\).

Câu 2: Chứng tỏ rằng đa thức sau không có nghiệm.

a) \(P(x) = {x^2} + 1\)

b) \(Q(x) = (2{y^4} + 5)\)

Hướng dẫn giải

a. Vì \({x^2} \ge 0\) nên \({x^2} + 1 \ge 1\). Do đó:

\(P(x) = {x^2} + 1 > 0\) nên đa thức P(x) không có nghiệm.

b. Vì\({y^4} \ge 0\)nên \(2{y^4} + 5 \ge 5.\). Do đó:

\(Q(x) = 2{y^4} + 5 > 0\) nên đa thức Q(x) không có nghiệm.

Câu 3:

a) Giả sử a, b, c là những hằng số, sao cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng đa thức \(f(x) = {a^2} + bx + c\) có một nghiệm là x=1.

Áp dụng để tìm một nghiệm của đa thức \(f(x) = 8{x^2} - 6x - 2.\)

b) Giả sử a, b, c là những hằng số, sao cho a - b + c = 0. Chứng minh rằng đa thức \(f(x) = a{x^2} + bx + c\) có một nghiệm là x=-1.

Áp dụng để tìm một nghiệm của đa thức \(f(x) = 7{x^2} + 11x + 4.\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(f(1) = a{.1^2} + b.1 + c = a + b + c = 0\)

Vậy x = 1 là một nghiệm của đa thức f(x)

Ta có 8+(-6)+(-2)=0, nên: \(f(x) = 8{x^2} - 6x - 2\) có một nghiệm x = 1.

b) Ta có: \(f( - 1) = a.{( - 1)^2} + b.( - 1) + c = a - b + c = 0\)

Vậy x = -1 là một nghiệm của đa thức f(x).

Ta thấy \(7 - (11) + 4 = 0,\) nên:

\(f\left( x \right) = 7{x^2} + 11x + 4\) có một nghiệm x = -1.

3. Luyện tập

3.1. Bài tập tự luận

Câu 1: Tìm nghiệm của đa thức:

a) \({x^2} - 2003x - 2004 = 0\).

b) \(2005{x^2} - 2004x - 1 = 0\).

Câu 2: Cho đa thức \(f(x) = {x^3} + 2{x^2} + {\rm{ ax}} + 1.\)

Tìm a biết rằng đa thức f(x) có một nghiệm x = -2.

Câu 3: Cho đa thức \(f(x) = {a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + ... + {a_1}x + {a_0}.\) Trong đó các hệ số \({a_1},{a_2},...,{a_n}\) và số hạng độc lập \({a_0}\) nhận các giá trị là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu f(x) có một nghiệm \(x = {x_0}\) nhận giá trị nguyên thì \({x_0}\) phải là một ước của \({a_0}\).

3.2. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Số nghiệm của đa thức x3 + 27 là 

A. 1

B. 2

C. 0

D. 3

Câu 2:Tích các nghiệm của đa thức 5x2 - 10x là 

A. -22

B. 2

C. 0

D. 4

Câu 3: Cho đa thức f(x) = ax2 + bx +c. Chọn câu đúng?

A. Nếu a + b + c = 0 thì đa thức f(x) có một nghiêm x = 1 

B. Nếu a - b + c = 0 thì đa thức f(x) có một nghiêm x = -1 

C. Cả A và B đều đúng 

D. Cả A và B đều sai

Câu 4: Cho đa thức sau f(x) = x2 + 5x - 6. Các nghiệm của đa thức đã cho là:

A. 2 và 3

B. 1 và -6

C. -3 và -6

D. -3 và 8

Câu 5: Tổng các nghiệm của đa thức x2 - 16 là 

A. -16

B. 8

C. 4

D. 0

4. Kết luận

Qua bài học này, các em cần nắm được những nội dung sau:

  • Nắm được khái niệm nghiệm của đa thức một biến.
  • Biết cách tìm nghiệm của đa thức một biến.
Ngày:23/08/2020 Chia sẻ bởi:Nguyễn Minh Duy

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM