Toán 7 Chương 1 Bài 5: Lũy thừa của một số hữu tỉ

Lũy thừa bậc n của một số hữu tỉ x, kí hiệu \(x^n\), là tích của n thừa số x (n là một số tự nhiên lớn hơn 1).

\({x^n} = \underbrace {x.x.x...x}_{n\,\,\,thừa\,\,số}\)  \(( x \in Q,n \in \mathbb{N},n>1)\).

\(x^n\) đọc là x mũ n hoặc x lũy thừa n hoặc lũy thừa bậc n của x; x gọi là cơ số, n gọi là số mũ.

- Quy ước: \(x^1=x\) và \(x^0=x \ \ \ \ \ \ (x \ne 0)\).

- Khi viết số hữu tỉ x dưới dạng \(\frac{a}{b} \ \ \ \ (a,b\in Z,b\ne 0)\), ta có:

\({\left( {\frac{a}{b}} \right)^n} = \underbrace {\frac{a}{b}.\frac{a}{b}...\frac{a}{b}}_{n \ thừa \ số} = \frac{{\overbrace {a.a...a}^{n \ thừa \ số}}}{{\underbrace {b.b...b}_{n \ thừa \ số}}} = \frac{{{a^n}}}{{{b^n}}}\).

Vậy \({\left( {\frac{a}{b}} \right)^n} = \frac{{{a^n}}}{{{b^n}}}\).

Khi ​nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng hai số mũ.

\({x^m}.{x^n} = {x^{m + n}}\).

Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số khác 0, ta giữ nguyên cơ số và lấy số mũ của lũy thừa bị chia trừ đi số mũ của lũy thừa chia.

 \({x^m}:{x^n} = {x^{m - n}}\) với \(x \ne 0,\,m \ge n\).

1.3. Lũy thừa của lũy thừa

Khi tính lũy thừa của một lũy thừa, ta giữ nguyên cơ số và nhân hai số mũ.

\({\left( {{x^m}} \right)^n} = {x^{m.n}}\).

Câu 1: Tính \({\left( {\frac{{ - 3}}{5}} \right)^2};{\left( { - \frac{1}{3}} \right)^3};{\left( { - 0,2} \right)^3};{\left( {1,2} \right)^0}\).

Hướng dẫn giải

\({\left( {\frac{{ - 3}}{5}} \right)^2} = \left( {\frac{{ - 3}}{5}} \right).\left( {\frac{{ - 3}}{5}} \right) = \frac{{3.3}}{{5.5}} = \frac{9}{{25}}\).

\({\left( { - \frac{1}{3}} \right)^3} = \left( { - \frac{1}{3}} \right).\left( { - \frac{1}{3}} \right).\left( { - \frac{1}{3}} \right) = - \frac{{1.1.1}}{{3.3.3}} = - \frac{1}{9}\).

\({\left( { - 0,2} \right)^3} = \left( { - 0,2} \right).\left( { - 0,2} \right).\left( { - 0,2} \right) = - \left( {0,2} \right).\left( {0,2} \right).\left( {0,2} \right) = - 0,008\)

\({\left( {1,2} \right)^0}=1\)

Câu 2: Chứng minh đẳng thức \({(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\).

Áp dụng, tính \(A = {(2{x^3} + 3{y^2})^2}\).

Hướng dẫn giải

Cách 1: Ta có \({(a + b)^2} = (a + b)(a + b)\)

Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân các số hữu tỉ đối với phép cộng, ta có:

\((a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b) = {a^2} + ab + ba + {b^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\).

Cách 2: Sử dụng cách đặt thừa số chung và đi từ vế phải, ta có:

\({a^2} + 2ab + {b^2} = {a^2} + ab + ab + {b^2} = a(a + b) + b(a + b) = (a + b)(a + b) = {(a + b)^2}\)

Áp dụng: \(A = {(2{x^3} + 3{y^2})^2} = {(2{x^3})^2} + 2(2{x^3})(3{y^2}) + {(3{y^2})^2}\)

\( \Rightarrow A = 4{x^6} + 12{x^3}{y^2} + 9{y^4}\).

Câu 1: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho: \(2.32 \ge {2^n} > 8\).

Câu 2: Tìm x, biết:

a) \(x:{\left( { - \frac{1}{2}} \right)^3} = - \frac{1}{2}\).

b) \(x.{\left( {\frac{3}{5}} \right)^3} = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^4}\).

c) \(x.{\left( {-\frac{3}{5}} \right)^3} = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^6}\)

Câu 3: Tìm một số 5 chữ số, là bình phương của một số tự nhiên và được viết bằng các chữ số 0; 1; 2; 2; 2

Câu 1: Tích của \({3^4}{.3^6}\) bằng:

A. \(3^2\).

B. \(9^2\).

C. \({3^{10}}\).

D. \(9^6\).

Câu 2: Chọn câu trả lời đúng trong các câu sau: \({a^n}:{a^2}\) bằng

A. \({a^{n - 2}}\).

B. \({a^{n + 2}}\).

C. \({a^{2n}}\).

D. \({\left( {a:a} \right)^{n - 2}}\).

Câu 3: Tìm giá trị của n biết: \({4^n} + {4^{n + 1}} = 80\)

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 4: Cho \({\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)^3} = - 8\). Giá trị của x là:

A. \(-3\).

B. \(- \frac{3}{2}\).

C. \(\frac{4}{3}\).

D. Không có giá trị nào của x thỏa.

Câu 5: Các số tự nhiên n thỏa \({3.3^2} \le {3^n} < {3^5}\) là?

A. n = 3.

B. n = 4.

C. \(n \in \left\{ {3;4} \right\}\).

D. \(n \in \left\{ {3;4;5} \right\}\).

Qua bài học này, các em cần đạt được những mục tiêu sau:

- Khái niệm về luỹ thừa của một số hữu tỉ với số mũ tự nhiên; cách nhân, chia hai luỹ thừa cùng cơ số, cách tính luỹ thừa của luỹ thừa.

- Vận dụng thành thạo các qui tắc nhân,chia hai lũy thừa cùng cơ số,lũy thừa của lũy thừa vào giải các bài toán.