Toán 7 Chương 3 Bài 8: Tính chất ba đường trung trực của tam giác

- Trong một tam giác đường trung trực của một cạnh gọi là một đường trung trực của tam giác đó.

- Mỗi tam giác có ba đường trung trực.

Nhận xét: Trong một tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh này.

Định lý: Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

Ví dụ: Ba đường trung trực của tam giác  ABC cùng đi qua điểm O. suy ra OA = OB =OC

Chú ý:

• Vì giao điểm O của ba đường trung trực của tam giác ABC cách đều ba đỉnh của tam giác đó nên có một đường tròn tâm O đi qua ba đỉnh A, B, C.
• Ta gọi đường tròn đó là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Câu 1: Trên ba cạnh AB, BC và CA của tam giác đều ABC. Lấy các điểm theo thứ tự M, N, P sao cho AM=BN=CP. Gọi O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC. Chứng minh O cũng là giao điểm ba đường trung trực của tam giác MNP.

Hướng dẫn giải

Theo giả thiết O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC nên ta có:

OA = OB = OC

\( \Rightarrow \) Các tam giác AOM, BON và COP có:

AM = BN = CP (giả thiết)

\(\widehat {{A_1}} = \widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}} = {30^0}\) (Vì ABC là tam giác đều nên đường trung trực cũng là đường phân giác) và OA = OB = OC

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta AOM = \Delta BON = \Delta COP\,\,\,(c.g.c)\\ \Rightarrow \,\,OM = ON = OP\end{array}\)

Điều này chứng tỏ O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác MNP

Câu 2: Cho tam giác ABC. Tìm một điểm O cách đều ba điểm A, B, C.

Hướng dẫn giải

Điểm O cách đều hai điểm A, B nên suy ra điểm O nằm trên đường phân trung trực của đoạn thẳng AB.

Điểm O cách đều hai điểm B, C nên O nằm trên đường trung trực của đoạn  thẳng BC.

Điểm O cách đều ba điểm A, B, C nên suy ra O là giao điểm của các đường trung trực của tam giác ABC.

Câu 1: Tam giác ABC có \(\widehat A\) là góc tù. Các đường trung trực của AB và của AC cắt nhau ở O và cắt BC theo thứ tự ở P và E. Đường tròn  tâm O bán kính OA đi qua những điểm nào trong hình vẽ.

Câu 2: Cho tam giác ABC và đường phân giác AK của góc A. Biết rằng giao điểm của đường phân giác của tam giác ABK trùng với giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC. Tìm số đo các góc của tam giác ABC.

Câu 3: Xác định dạng của tam giác có giao điểm các phân giác trùng với giao điểm các đường trung trực.

Câu 1: Cho ΔABC, hai đường cao BD và CE. Gọi M là trung điểm của BC. Em hãy chọn câu sai:

A. BM = MC

B. ME = MD

C. DM = MB

D. M không thuộc đường trung trực của DE

Câu 2: Cho ΔABC có AC > AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho CE = AB. Các đường trung trực của BE và AC cắt nhau tại O. Chọn câu đúng

A. ΔABO = ΔCOE

B. ΔBOA = ΔCOE

C. ΔAOB = ΔCOE

D. ΔABO = ΔCEO

Câu 3: Cho ΔABC có AC > AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho CE = AB. Các đường trung trực của BE và AC cắt nhau tại O. Chọn câu đúng

A. AO là đường trung tuyến của tam giác ABC

B. AO là đường trung trực của tam giác ABC

C. AO ⊥ BC

D. AO là tia phân giác của góc A

Câu 4: Cho ΔABC trong đó ∠A = 100°. Các đường trung trực của AB và AC cắt cạnh BC theo thứ tự tại E và F. Tính ∠EAF .

A. 20°            

B. 30°            

C. 40°            

D. 50°

Câu 5: Cho ΔABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Trên cạnh AC lấy điểm K sao cho AK = AH. Kẻ KD ⊥ AC (D ∈ BC) . Chọn câu đúng

A. ΔAHD = ΔAKD

B. AD là đường trung trực của đoạn thẳng HK

C. AD là tia phân giác của góc HAK

D. Cả A, B, C đều đúng

Qua bài học này, các em cần nắm được những nội dung sau:

• Định nghĩa được đường trung trực của tam giác.
• Nắm đươc tính chất ba đường trung trực của tam giác.
• Áp dụng để giải được những bài toán liên quan.